考研数学二-273-真题(含答案与解析)-交互

考研数学二-273(总分150,做题时间90分钟)一、选择题

下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.

若函数y=f(x)有，则当Δx→0时，该函数在x=x0点处的微分dy是______．A

与Δx等价的无穷小B

与Δx同阶的无穷小C

比Δx低阶的无穷小D

比Δx高阶的无穷小该题您未回答:х

该问题分值:4答案:B[考点]等价无穷小

[解析]由导数与微分的关系(当Δx=dx→0)，dy是与Δx同阶且不等价的无穷小．2.

设，则存在函数u=u(x)，使______．A

I1=I2+xB

I1=I2-xC

I2=-I1D

I2=I1该题您未回答:х

该问题分值:4答案:D[考点]不定积分的计算

[解析]，设u=xex，则3.

______．A

1B

0C

.aD

不存在该题您未回答:х

该问题分值:4答案:B[考点]极限、夹逼定理

[解析]由函数性质，，使当x＞X＞0时，

有，

应用夹逼定理得．4.

设，其中f为连续的奇函数，D是由y=-x3，x=1，y=1所围成的平面闭域，则k等于______．

A．0

B．

C．

D．2A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:4答案:B[考点]二重积分

[解析]如图：加一条曲线y=x3，将D分为D1和D2，

则

而

因为f为奇函数，所以f(-xy)=-f(xy)，

而D1，D2分别对称y轴和x轴，故有，，

从而原积分．

5.

已知，设，则F(x)为______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:4答案:D[考点]根据x的取值范围和积分的可加性，分段讨论积分即可

[解析]当D≤x＜1时，；当1≤x≤2时，，故综上有．6.

设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量Δx=-0.1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0.1，则f"(1)=______．A

-1B

0.1C

1D

0.5该题您未回答:х

该问题分值:4答案:D[考点]增量与微分

[解析]由于增量的线性主部等于函数的微分，因此由题设

Δy=Δf(x2)=2xf(x2)Δx+o(Δx)，

将x=-1，Δx=-0．1代入得

Δy|x=-1=-2f"(1)Δx+o(Δx)=0.2f"(1)+o(Δx)=0.1+o(Δx)，

所以0.2f"(1)=0.1，．7.

A是n阶矩阵，且A3=0，则______．**不可逆，E-A也不可逆**可逆，E+A也可逆**+E与A2+A+E均可逆**不可逆，且A2必为0A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:4答案:C[考点]矩阵的可逆性

[解析]由行列式性质|A|3=|A3|=0，可知A必不可逆，但从(E-A)(E+A+A2)=E-A2=E，(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E，知E-A，E+A，E+A+A2，E-A+A2均可逆．

当A3=0时，A2是否为0是不能确定的，

例如：有

但且．8.

已知A=(aij)n×n，B=(bij)n×n且有关系．则下列关系式正确的是______．A

A(B+E)=BB

(B+E)A=BC

B(A-E)=AD

(E-A)B=A该题您未回答:х

该问题分值:4答案:B[考点]矩阵的乘法

[解析]由关系，

得B=A+BA，从而得B=(E+B)A．二、填空题1.

______．该题您未回答:х

该问题分值:4e[考点]数列的极限

[解析]因为，所以2.

曲线上对应于的点处的法线斜率为______．该题您未回答:х

该问题分值:4[考点]参数方程所确定的函数的导数

[解析]因，故其切线的斜率为法线斜率为3.

______．该题您未回答:х

该问题分值:4-cotxln(sinx)-cotx-x+C[考点]不定积分

[解析]原式=-∫ln(sinx)d(cotx)=-cotxln(sinx)+∫cotxd[ln(sinx)]

=-cotxln(sinx)+∫(csc2x-1)dx=-cotxln(sinx)-cotx-x+C．4.

函数的单调减少区间______．该题您未回答:х

该问题分值:4[考点]导数的应用

[解析]，所以．5.

微分方程的通解是______．该题您未回答:х

该问题分值:4y=Cxex，C为任意常数[考点]一阶微分方程的通解

[解析]微分方程是可变量分离的一阶方程，分离变量得

积分得ln|y|=ln|x|+x+C1，即|y|=eC1|x|ex，

所以，原方程的通解为y=Cxex，C为任意常数．6.

设A=(aij)n×n是正交矩阵，将A以行分块为A=(α1，α2，…αn)T，则方程组AX=b，b=(b1，…，bn)T的通解为______．该题您未回答:х

该问题分值:4[考点]方程组的通解

[解析]因A为正交矩阵，故A-1=AT，而方程组AX=b的解为：

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设z=f(2x-y，ysinx)，其中f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求．该题您未回答:х

该问题分值:10这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数．先求．

由复合函数求导法得

则[考点]复合函数的偏导数2.

已知，求常数a．该题您未回答:х

该问题分值:10由有2a=ln9，于是a=ln3．[考点]极限中常数的确定设a，b为正常系数，λ为非负常数，微分方程3.

求该方程的通解；该题您未回答:х

该问题分值:5.5通解为4.

证明：当λ=0时，；当λ＞0时，．该题您未回答:х

该问题分值:5.5当λ=0时，，

所以，．

当x＞0且λ≠a时，，

当x＞0且λ=a时，y(x)=(bx+c)e-ax，．[解析]微分方程的通解5.

设函数f(x)在[0，+∞]上连续，且f(0)＞0，已知其在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均值，求f(x)．该题您未回答:х

该问题分值:10由题意得，令，

有，两边求导，得，

即．令，得，

可求得，即．[考点]平均值的相关计算6.

求微分方程y"+5y"+6y=2e-x的通解．该题您未回答:х

该问题分值:10所给微分方程的特征方程为λ2+5λ+6=(λ+2)(λ+3)=0，故特征根为-2和-3，于是，对应齐次微分方程的通解为，其中C1，C2为任意常数．设所给非齐次方程的特解为y*(x)=Ae-x．将y*(x)代入原方程，可得A=1．

由此得所给非齐次微分方程的一个特解是y*(x)=e-x，

从而，所给微分方程的通解为y(x)=C1e-2x+C2e-3x+e-x．[考点]微分方程的通解7.

设f(x)在[0，1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，该题您未回答:х

该问题分值:10因f(x)在[0，1]上连续，由定积分的可加性和积分中值定理知

=λ(1-λ)[f(ξ)-f(η)]，其中0＜ξ＜λ＜1．

又0＜λ＜1，f(x)在[0，1]上递减，则0＜1-λ＜1，f(ξ)＞f(η)，

因此λ(1-λ)[f(ξ)-f(η)]]≥0，故[考点]利用函数的单调性及积分中值定理已知曲线L的方程为8.

讨论L的凹凸性．该题您未回答:х

该问题分值:3.XX667先求．由已知，

代入y得，于是．

所以曲线L是凸的．9.

过点(-1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程．该题您未回答:х

该问题分值:3.XX667设L上切点(x0，y0)处的切线方程是．

令x=-1，y=0，则有．

再令，得，即．

解得t0=1，t0=-2(不合题意)．所以切点是(2，3)，相应的切线方程是

y=3+(x-2)，即y=x+110.

求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．该题您未回答:х

该问题分值:3.XX667切点为(x0，y0)的切线与L及x轴所围成的平面图形如下图所示，则所求平面图形的面积为

[解析]切线方程、平面图形的面积11.

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．该题您未回答:х

该问题分值:11由α2，α3，α4线性无关及α1=2α2-α3，知，向量组的秩r(α1，α2，α3，α4)=3，即矩阵A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只包含一个向量，

那么由知，Ax=0的基础解系是(1，-2，1，0)T．

再由知，(1，1，1，1)T是Ax=β的一个特解．

故Ax=β的通解是，其中k为任意常数．[考点]线性方程组的通解12.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行