广东省梅州市留隍中学高三数学文上学期摸底试题含解析

广东省梅州市留隍中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图E、F是正方形ABCD两边的三等分点，向正方形ABCD内任投一点M，记点M落在阴影区域的概率为p，则a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数零点的判定定理．专题：简易逻辑．分析：求出概率p，结合函数零点的关系以及成充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵E、F是正方形ABCD两边的三等分点，∴向正方形ABCD内任投一点M，记点M落在阴影区域的概率为p=，若函数y=ax2+2x+1有两个零点，则判别式△=4﹣4a≥0，即a≤1，则a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据概率的计算以及函数零点的关系是解决本题的关键．2.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为A．

B．

C.2

D．1参考答案：A3.已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A．

B．

C．－2

D．0参考答案：B定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.

4.命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是(

) A．p或q B．p且q C．q D．￢p参考答案：B考点：复合命题的真假．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答： 解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y；∴命题p是假命题；x2+y2≥2xy，这是基本不等式；∴命题q是真命题；∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题；∴是假命题的是B．故选B．点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．5.设函数则导函数的展开式项的系数为A．1440

B．-1440

C．-2880

D．2880参考答案：答案：C6.已知数列=A． B．C． D．参考答案：B7.复数满足：，则A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.“成等差数列”是“”成立的（

）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A9.已知集合，则满足条件A?C?B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．

【专题】不等式的解法及应用．【分析】通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A?C?B的集合C的个数即可．解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A?C?B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．【点评】本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．10.已知，则的值等于(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于定义域为D的函数，若存在区间则称区间M为函数的“等值区间”.给出下列四个函数：①；②；③；④.则存在“等值区间”的函数的序号是__________.参考答案：②④12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.则直线CD与平面AB1D1所成的角的余弦值为________．参考答案：13.已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．参考答案：【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，则有cos（α﹣45°）==，则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题．14.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.若两颗星的星等与亮度满足.其中星等为，星的亮度为.（1）若，则________；（2）若太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.5，则太阳与天狼星的亮度的比值为_______.参考答案：

6；

.【分析】（1）把已知数据代入中，求解即可；（2）把数据代入，化简后利用对数的运算性质求解.【详解】解：（1）把代入中，得到.（2）设太阳的星等是，设天狼星的星等是，由题意可得：，所以，则.故答案为：6；.【点睛】本题考查对数的运算性质，属于基础题.15.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工

．参考答案：1016.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（）＜f（﹣1），则x的取值范围是

．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范围是．故答案为．17.已知正方体中,E,F分别为的中点，那么异面直线AE与所成角的余弦值为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：右焦点F的坐标是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．（Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知经过点F的直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点，且，求的值．参考答案：【解】：（Ⅰ）由题意,椭圆方程为

……………（6分）（Ⅱ）设AB由得,所以*

………（8分）由得

，

………（10分）代入*得………………（13分）

略19.

如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段DE于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE平面，连接AB，AC、AG形成如图乙所示的几何体.

（I）求证BC⊥平面AFG.（II）求二面角的余弦值．

参考答案：(Ⅰ)在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．………………2分在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．……………………4分(Ⅱ)因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，FD，FG两两垂直．以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，所以，0)．……6分设平面ABE的一个法向量为．则，即，取，则，，则．………………8分显然为平面ADE的一个法向量，所以．………………10分二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．………12分略20.（本小题满分14分）

已知函数（a∈R）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围；

（3）已知当x>-1,n≥1时，，求证：当n∈N*，x2<n时，不等式成立．参考答案：(1)解： 1分

当a≤0时，，则在上单调递增 2分

当a>0时，在上单调递减，在上单调递增． 4分(2)解：由，得 5分

考查函数(x∈[1，2])，则 6分

令，

当1≤x≤2时，，∴在[1，2]上单调递增 7分

∴,，∴在[1，2]上单调递增

∴在[1，2]上的最小值为，最大值为 8分

∴当时，函数在[1，2]上有且仅有一个零点 9分(3)解： 10分

由(1)知，则 11分

∵，且n∈N*，∴，∴ 12分

又∵，∴ 13分

14分21.甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（Ⅰ)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．（Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．参考答案：解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4’表示)为：（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）（4’，4），共12种不同情况（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为；（3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，甲胜的概率，乙获胜的概率为．∵＜，

∴此游戏不公平．

略22.已知函数。（1）若不等式的解集为或，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数取值范围