江西省鹰潭市锦江中学高三数学理摸底试卷含解析

江西省鹰潭市锦江中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于A.12

B.4

C.

D.参考答案：B2.设函数满足，，则时，（

）A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值

D．既无极大值，也无极小值参考答案：D略3.已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈（﹣2，2），函数y=h（x）的零点个数（） A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组，求解a，b．令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c． 先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]，当|d|=2时，由（2）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点． 【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b． ∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点， ∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3． 得，f（x）=x3﹣3x， 令f（x）=t，h（x）=f（f（x））﹣c，则h（x）=f（t）﹣c．c∈（﹣2，2）， 先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2] 当|d|=2时，由（2）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数， ∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2． 当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2都不是f（x）=d的根． 由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）． ①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根． ②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数． 又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断， ∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根． 同理，在（一2，一1）内有唯一实根． ③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数． 又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断， ∴f（x）=d在（一1，1）内有唯一实根． 因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d有三个不同的根x3，x4，x5，满足|xi|＜2，i=3，4，5． 现考虑函数y=h（x）的零点： （i）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点． （ii

）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|＜2，i=3，4，5．而f（x）=ti有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点． 综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9个零点． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大． 4.函数的定义域为R，且定义如下：（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为

（

）]A．

B．

C．

D．参考答案：B5.若，是两个非零向量，则“”是“”的（

）（A）充分不必要条件

（B）充要条件

（C）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：6.已知是周期为2的奇函数，当时，设则（

）A．B．C．D．参考答案：D7.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）==，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．8.下列命题为真命题的个数是①；

②；

③；

④A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：C构造函数求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数也可）9.已知双曲线的左,右焦点分别为F1F2,若双曲线上存在点P,使,则该双曲线的离心率e范围为（

）A.（1,）

B.（1,）

C.（1,]

D.（1,]参考答案：A解:由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，由正弦定理得，又，即，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，即，由双曲线的几何性质，知，即，，解得，又，所以双曲线离心率的范围是，故选A.10.已知cos（x﹣）=，则cos（2x﹣）+sin2（﹣x）的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos（x﹣）=cos（﹣x）=，∴cos（2x﹣）+sin2（﹣x）=2﹣1+[1﹣]=2?﹣1+1﹣=，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的反函数是_____________.参考答案：12.设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||?||=．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的标准方程，由双曲线的定义及勾股定理即可求得：||?||=2．【解答】解：∵双曲线x2﹣4y2=4，∴双曲线的标准方程：，则a=2，b=1，c=，双曲线的定义可知：|||﹣丨丨|=4

①，，则⊥，由勾股定理可知：||2+丨丨2=（2）2，②由①②解得：||?||=2，故答案为：2．13.若α是锐角，且的值是

。参考答案：∵是锐角，,,所以，。14.函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为____________?参考答案：15.已知函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=

，f（）=，在（0，π）内满足f（x0）=0的x0=

．参考答案：2;.【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的周期公式求出ω，即可得到结论．【解答】解：∵三角函数的周期是π，则=π，则ω=2，则f（x）=2sin2x，则f（）=2sin=2×=，由f（x）=0得sin2x=0，∵x∈（0，π），∴2x∈（0，2π），则2x=π，故x=，故x0=，故答案为：2，，【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的周期公式求出ω是解决本题的关键．16.（几何证明选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=，AB=BC=4,则AC的长为

参考答案：C

17.（文）一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝ax＋(a>1)⑴证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；⑵用反证法证明f(x)＝0没有负数根．参考答案：略略19.(本小题满分12分)已知是定义在[－1，1]上的奇函数，且，若，恒成立.（1）判断在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）若对所有恒成立，求实数m的取值范围。参考答案：解：（1）设是奇函数由题设知时

，即在[－1，1]上是增函数（2）解法一：由（1）知，在[－1，1]上是增函数，且要，对所有恒成立必成立

恒成立只要最小值大于或等于0.（1）当（2）当恒成立（3）当上是减函数，必，综上知，解法二：令恒成立

只要满足20.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图，已知⊙与⊙相交于、两点，过点A作⊙的切线交⊙O2于点，过点作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.（I）求证：；（II）若是⊙的切线，且，，求的长．参考答案：解：（I）∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.····································································（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12

①∵AD∥EC，∴＝，∴＝

②由①、②解得(∵x>0，y>0)∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.

21.已知数列{an}前n项和Sn满足,{bn}是等差数列,且,．（1）求{an}和{bn}的通项公式:（2）求数列的前2n项和．参考答案：（1）,；（2）.【分析】（1）应用，可以求出数列的通项公式，通过,，列出方程组，可以求出等差数列的首项和公差，进而求出通项公式；（2）写出的表达式，化简，求出等差数列前项和，即可求出.【详解】解：（1），当时，得，当时，，作差得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列,所以.设等差数列的公差为，由，，所以，，所以，，所以.（2）又因，所以.【点睛】本题考查了利用前项和求数列通项公式以及利用基本量计算求等差数列通项公式的问题.重点考查了求等差数列前项和的问题.22.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上.（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB//平面ACM；（II）是否存在点M，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点.

又因为M为PD的中点，所以MH//BP.又