湖南省衡阳市仁爱实验中学高一数学理知识点试题含解析

湖南省衡阳市仁爱实验中学高一数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()A．V1比V2大约多一半

B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍

D．V1比V2大约多一倍半参考答案：D2.函数，对任意的非零实数，关于的方程的解集不可能是（

）A．{1,2017}

B．{1,2018}

C.{1,2,2017,2018}

D．{2016,2017,2018}参考答案：D由题意得函数图象的对称轴为．设方程的解为，则必有，由图象可得是平行于x轴的直线，它们与函数的图象必有交点，由函数图象的对称性得的两个解要关于直线对称，故可得；同理方程的两个解也要关于直线对称，同理．从而可得若关于的方程有一个正根，则方程有两个不同的实数根；若关于的方程有两个正根，则方程有四个不同的实数根．综合以上情况可得，关于的方程的解集不可能是．选D．

3.下列哪个函数与y=x相同

（

）

A．y=（）2

B．y=

C．y=

D．y=参考答案：C4.已知集合，M={﹣1，1}，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{0} C．{﹣1} D．{﹣1，0}参考答案：C【考点】指数型复合函数的性质及应用；交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性及特殊点，解指数型不等式求出集合N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．【解答】解：∵集合={x|﹣1＜x+1＜2，x∈z}={x|﹣2＜x＜1，x∈z}={﹣1，0}，M={﹣1，1}，∴M∩N={﹣1}，故选C．5.下列图像是函数的是（

）参考答案：A6.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用向量加法的三角形法则可得，化简后可得正确选项.【详解】，故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.7.数列的通项公式是，若前项和为，则项数的值为()A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.若函数的图象不经过第二象限，则有A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.等差数列各项均为正数,且,则公差(

)A.2

B.5

C.3

D.1参考答案：C10.已知点是直线上一动点，直线PA，PB是圆的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（

）A.2 B. C. D.4参考答案：A圆即,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆。由于四边形PACB面积等于，而.故当PC最小时，四边形PACB面积最小.又PC的最小值等于圆心C到直线的距离d,而，故四边形PACB面积的最小的最小值为，故选A.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与，两数的等比中项是．参考答案：±1【考点】8G：等比数列的性质．【分析】要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案．【解答】解：设A为与两数的等比中项则A2=（）?（）=1故A=±1故答案为：±112.下列四个命题①f(x)=是函数;②若函数的值域是，则它的定义域是;③函数y=2x(x)的图象是一条直线；④函数y=的图象是抛物线，⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是其中正确的命题序号是

.参考答案：②13.已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是．参考答案：[，4）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】当x＞1时f（x）=ax单调递增，当x≤1时f（x）=（2﹣）x+2单调递增，且（2﹣）×1+2≤a1，由此能求出实数a取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴当x＞1时f（x）=ax单调递增，则a＞1①；当x≤1时f（x）=（2﹣）x+2单调递增，则2﹣＞0，解得a＜4，②；且（2﹣）×1+2≤a1，解得a≥，③．综合①②③，得实数a取值范围是[，4）．故答案为：[，4]．14.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_______．参考答案：略15.已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，，四面体ABCD的体积最大值为____参考答案：2【分析】为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.【详解】如图所示，四面体内接于球，为球的直径，，，，过作于，，点在以为圆心，为半径的小圆上运动，当面面时，四面体的体积达到最大，.【点睛】立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.16.某产品的总成本C（万元）与产量x(台)之间有函数关系式：C=3000+20x-0.1x2,其中x(0,240)。若每台产品售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为

台参考答案：15017.（5分）已知sinα+cosα=，且0＜α＜，则sinα﹣cosα的值为

．参考答案：﹣考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 利用完全平方公式，先求出2sinαcosα，即可得到结论．解答： 由sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=，∵0＜α＜，∴sinα﹣＜cosα，即sinα﹣cosα＜0，则sinα﹣cosα=﹣==﹣，故答案为：﹣；点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.根据两角的和的正弦公式，有：

①

②由①+②得，

③令，则，代入③得：(I)类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：；(Ⅱ)若的三个内角、、满足试判断的形状.参考答案：证明：（I）由

①

②①-②得，

③令，则代入③得：（Ⅱ）为直角三角形，证明如下：由余弦的二倍公式得，，利用（I）证明的结论可知，，又已知所以，则，即因为，所以，即，所以为直角三角形.19.（10分）（2013秋?和平区校级期中）设集合A={x|3x﹣2＞1}，B={x|2m≤x≤m+3}①当m=﹣1时，求A∩B，A∪B；②若B?A，求m的取值范围．参考答案：【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．

【专题】集合．【分析】①求出A中不等式的解集确定出A，把m=﹣1代入B确定出B，进而求出A与B的交集与并集即可；②根据B为A的子集，确定出m的范围即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A={x|x＞1}；①把m=﹣1代入B中得：﹣2≤x≤2，即B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B={x|x≥﹣2}；②∵B?A，∴2m＞1，解得：m＞0.5．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．20.（12分）已知函数，

(1)当时，求f(x)在区间[1,6]上最大值和最小值；（2）如果方程f(x)=0有三个不相等的实数解，求的取值范围.参考答案：（1）因为，则所以，当时，函数为单调递增函数，所以，；当时，函数是先减后增的函数，所以，，所以函数的最大值为，最小值为.（2）设，则方程，等价于有三个实数根，此时，①若，因为方程有三个不相等的实根，故时，方程有两个不相等的实根，时，方程有一个不相等的实根，所以，解得，不妨设，则，所以，所以的取值范围是；②若，当时，方程的判别式小于，不符合题意；③若时，显然不合题意，故的取值范围是；

21.(本题满分12分)若关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．(1)方程两根都小于1；(2)方程一根大于2，另一根小于2.

参考答案：解:设f(x)＝x2＋2ax＋2－a(1)∵两根都小于1，∴，解得a>1∴a∈（1，﹢∞）.……（6分）(2)∵方程一根大于2，一根小于2，∴f(2)<0∴a<－2.

a∈（－∞，-2）

……….（12分）22.设函数f（x）=（Ⅰ）当时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数单调性的性质；函数的值．【分析】（Ⅰ）a=时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，可求此时函数f（x）的值域；同理可求得当x≥1时，减函数f（x）=的值域；（Ⅱ）函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，三个条件需同时成立，①≥1，②0＜a＜1，③12﹣（4a+1）?1﹣8a+4≥0，从而可解得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，所以f（x）＞f（1）=﹣2，即x＜1时，f（x）的值域是（﹣2，+∞）．（3分）当x≥1时，f（x）=是减函数，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1时，f（x）的值域是（﹣∞，0]．于是函数f（x）的值域是（﹣∞，0]∪（﹣2，+∞）=R．（6分）