统计计算 课后习题答案 第一章习题答案

习题1.11、计算球的体积，相对误差限为1%，则测量半径R时允许的相对误差限为多少？解：体积公式为v4x3，若自变量x有绝对误差，函数的相对误差限为3e(f(x))f(x)f(x)f(x)3xe(f(x)) 3e(x)1%，e(f(x))f(x)f(x)f(x)3xr r r对误差限为0.00333。2、某圆柱体高度h的近似值h*=20cm，半径r的近似值r*=5cm，已知hh*

0.2cm,rr*

0.1cm，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。vv*

r2hr*2h*

hh*

rr*

hh*

rr*vhvrvhvrr*2hh*2r*h*rvhvrvhvrvvv*

r*20.22r*h*0.125。相对误差限v*

4%。52203、自变量x的近似值x*=0.236，误差限为0.5105，则该近似值有几位有效数字？xx*

0.5105，x*0.236100，因此近似值有6位有效数字。4、圆周率=3.14159，它的具有4位有效数字的近似值*为多少？解：=3.14159=0.31459101，*0.51014，所以0.5103*0.5103，即3.14109*3.14209。5、已知x为正数，x的相对误差限为，求lnx的绝对误差限和相对误差限。xxx*x*解：绝对误差限：lnxlnx ，相对误差限：

。lnxlnx*lnx*xxlnxlnx*lnx*xx*x*lnx*lnx*xn(x*)nn(x*)n1(xx*)n(xx*)n解：(x*)n

。(x*)n x*7、自变量x的四舍五入的近似值x*=0.1753，则该近似值的误差限为多少？解：xx*0.0000a0.5104，a0,1,2,3,4，或xx*0.0000(10a)0.5104，a5,6,7,8,9因此绝对误差限为0.5104。8、3.141，3.14，3.15分别作为的近似值，确定它们各有几位有效数字。解：3.141=0.3141×101，3.14=0.314×101，3.15=0.315×101，xx*3.14159263.1410.00059260.0050.5102，因此有3位有效数字。xx*3.14159263.140.00159260.0050.5102，因此有3位有效数字。xx*3.14159263.150.008407350.050.5101，因此有2位有效数字。n9、已知积分s11xnn0x5

(n0,1,)，分别使用s0和s10作为初值，计算积分sn的值。1解：对该积分使用分部积分法可得递推公式：11s 11

xndx 1

xn1(x55)dx

1(xn1 5

xn1)dx15s ，n0x5

0x5

0 x5

n n111s 1 dxln60.1823，1s 111

x10dx1

，取这两个数的中值00x5 5

66 10

0x5 551(11≈0.01667s10作的近似值。266 55（1）先从s0作为初值开始计算。算法为：0 s0.18230s15s ,k2,,10代码：importnumpyasnps0=0.1823n=10forkinrange(n+1):s1=1/(k+1)-5*s0

kk k1print(k+1,s0)s0=s1输出结果：10.182320.0885000000000000230.05749999999999988540.0458333333333338950.0208333333333305460.095833333333347317-0.3125000000000699481.70535714285749259-8.4017857142874631042.12003968254843（2）先从s10作为初值开始计算。算法为：s

s100.016671k,k1,2代码：t0=0.01667n=10forkinrange(n,0,-1):t1=1/(5*k)-t0/5print(k,t1)t0=t1输出结果：100.01666690.0188890222222222280.02122219555555555670.02432698946031745860.0284679354412698450.03430641291174603440.04313871741765079630.05803892318313650520.088392215363372710.18232155692732546

k1k 5习题1.21、求方程xxe0的根，精度要求为10-5。解：两边取对数，得：xlnx1，求出方程xlnx10的根即可。令f(x)xlnx1，

f(x)lnx1，

f(x)1x

，牛顿法迭代公式为：x x

xklnxk1f(2)0.38629f1kk

lnxk1 x迭代的轮数i输出值误差11.771850.2281521.763240.0086131.763220.00002在区间[1,2]为正的，因此在区间[1,2]f迭代的轮数i输出值误差11.771850.2281521.763240.0086131.763220.00002步骤：x0=2n=20；第二步，定义函数和函数的导数；n，设置终止条件为nn0.00001。输出结果：

，其中0迭代值1.7718483274489238绝对误差为0.228151672551076161迭代值1.7632362113366402绝对误差为0.008612116112283632迭代值1.7632228343842757绝对误差为1.3376952364474448e-052、用牛顿迭代法求方程x33x10的根，精度要求为10-4。解：令f(x)x33x1，f(x)3x23，f(x)6x，牛顿法迭代公式为：x33x1xk

xk

k k f(2)1k3x23k

f(x)6x在区迭代的轮数i输出值误差11.888880.11111间[1,2]为正的，因此在区间[1,2]f(2)f(x)迭代的轮数i输出值误差11.888880.1111121.879450.0094331.879390.00006因此根为1.87939。步骤：x0=2n=50；第二步，定义函数和函数的导数；第三步，按照迭代公式计算n，设置终止条件为nn0.0001。输出结果：1迭代值1.8888888888888888绝对误差为0.11111111111111116

，2迭代值1.879451566951567绝对误差为0.009437321937321833迭代值1.879385244836671绝对误差为6.632211489598916e-053(x)xc(x2)（1c{x}收敛于3（2）c取何值时收敛速度最快。33（1）(x)1x(3)1c3（2）(3)0时收敛速度最快，因此c1 。23

1，因此

1c034yx1+x2-x3，x1是区间[-2,5]是区间[2,6]是区间[-5,2]y[3,5,2]。轮数解集函数值最大值最优解1{(3,5,2)2,5,2(4,5,2)，(3,4,2)，(3,6,2)，(3,5,1)}6，5，7，5，7，75(2,5,2)2{(2,5,2)（15,2(3,5,2)(2,4,2)，(2,6,2)，(2,5,1)}5，4，6，4，6，64（1,5,2）3{(1,5,2)0,5,2(2,5,2)，(1,4,2)，(1,6,2)，(1,5,1)}4，3，5，3，5，53(0,5,2)4{(0,5,2)（1,5,2，(1,5,2)，(0,4,2)，(0,6,2)，(0,5,1)}3，2，4，2，4，42(-1,5,2)5{(-1,5,2)-2,5,2，(05,2)，(-1,4,2)，(-1,6,2)，(-1,5,1)}2，1，3，1，3，31(-2,5,2)6{(-2,5,2)-1,5,2，(-,4,2)，1，2，0，2，20(-2,4,2)(-2,6,2)，(-2,5,1)}7{(-2,4,2)-1,4,2，(-,3,2)，(-2,5,2)，(-2,4,1)}0，1，-1，1，1-1(-2,3,2)8{(-2,3,2)-1,3,2，(-,2,2)，(-2,4,2)，(-2,3,1)}-1，0，-2，0，0-2(-2,2,2)}9{(-2,2,2)-1,2,2，(-,3,2)，(-2,2,1)}-2，-1，-1，-1-2(-2,2,2)输出结果：7[2,5,2]6[1,5,2]5[0,5,2]4[-1,5,2]3[-2,5,2]2[-2,4,2]1[-2,3,2]0[-2,2,2]-1[-2,2,2]最优解为：-2取得最优解时自变量为[-2,2,2]5yx1+x2-x3，x1是区间[-2,5]是区间[2,6]是区间[-5,2]y[3,5,2]。解：轮数解集函数值最大值最优解1{(3,5,2)2,5,2(4,5,2)，(3,4,2)，(36,2)（3,5,1）}6，5，7，5，7，77(2,5,2)2{(4,5,2)3,5,2(5,5,2)，(4,4,2)，(46,2)（4,5,1）}7，6，8，6，8，88(5,5,2)3{(5,5,2)4,5,2(5,4,2)，(5,6,2)（55,1）}8，7，7，9，99(5,6,2)4{(5,6,2)4,6,2，(5,5,2)，（5,6,1）}9，8，8，1010(5,6,1)5{(5,6,1)4,6,1(5,5,1)，（5,6,0，(5,6,2)}10，9，9，11，911(5,6,0)6{(5,6,0)4,6,0，(5,5,0)，（5,6,-1，(5,6,1)}1012(5,6,-1)7{(5,6,-1)（4,6,-1，(5,5,-1)，13(5,6,-2)（5,6,-2，(5,6,0)}118{(5,6,-2)（4,6,-2，(5,5,-2)，(5,6,-3)，(5,6,-1)}1214(5,6,-3)}9{(5,6,-3)，(4,6,-3)，(5,5,-3)，(5,6,-4)，(5,6,-2)}1315(5,6,-4)10{(5,6,-4)，(4,6,-4)，(5,5,-4)，(5,6,-5)，(5,6,-3)}1416(5,6,-5)11{(5,6,-5)，(4,6,-5)，(5,5,-5)，(5,6,-4)}16，15，15，1516(5,6,-5)输出结果：7[4,5,2]8[5,5,2]9[5,6,2]10[5,6,1]11[5,6,0]12[5,6,-1]13[5,6,-2]14[5,6,-3]15[5,6,-4]16[5,6,-5]16[5,6,-5]最优解为：16取得最优解时自变量为[5,6,-5]6yx1+x2-x3，x1是区间[-2,5]是区间[2,6]是区间[-5,2]y取值最小的解。初值在范围内随机选取。输出结果：0[-1,4,-5]-1[-2,4,-5]-2[-2,3,-5]-3[-2,2,-5]-4[-2,2,-5]最优解为：-5取得最优解时自变量为[-2,2,-5]分析：此时的初值为[-2,2,-3]，得到的最小值是-5。7、使用梯度下降法求函数yx22x5的最小值，初值为3，学习率为0.4。x=-14。输出结果：迭代次数0-0.200000000000000184.64迭代次数1-0.84000000000000014.0256迭代次数2-0.9684.001024迭代次数3-0.99364.00004096迭代次数4-0.998724.0000016384迭代次数5-0.9997444.000000065536迭代次数6-0.99994884.00000000262144迭代次数7-0.999989764.0000000001048575迭代次数8-0.9999979524.000000000004194迭代次数9-0.99999959044.0000000000001688zx2y2的最小值，初值为（1，3，学习率为0.4。解：很容易看出二元函数的最小值为0，此时(x,y）=(0,0)。输出结果为：迭代次数00.6000000000000000.2000000000000007.42638585493563e-9迭代次数10.1200000000000000.04000000000000007.42638585493563e-9迭代次数20.02400000000000000.007999999999999997.42638585493563e-9迭代次数30.004799999999999990.001600000000000007.42638585493563e-9迭代次数40.0009599999999999980.0003200000000000007.42638585493563e-9迭代次数50.0001920000000000006.39999999999999e-57.42638585493563e-9迭代次数63.83999999999999e-51.28000000000000e-57.42638585493563e-9结果分析：可以看出极小值为0，此时(x,y）=(0,0)9、使用梯度下降法求二元函数z1x21y2的最小值选取初值为(2,2)，学习率3 2α=6/5。解：很容易看出二元函数的最小值为0，此时(x,y）=(0,0)。输出结果：迭代次数00.400000000000000-0.4000000000000000.133333333333333迭代次数10.08000000000000010.08000000000000000.00533333333333333迭代次数20.0160000000000000-0.01600000000000000.000213333333333333迭代次数30.003200000000000000.003200000000000008.53333333333334e-6迭代次数40.000640000000000001-0.0006400000000000003.41333333333334e-7迭代次数50.0001280000000000000.0001280000000000001.36533333333333e-8迭代次数62.56000000000001e-5-2.56000000000000e-55.46133333333334e-10结果分析：可以看出极小值为0，此时(x,y）=(0,0)10z2(x1)2y2α=0.4。解：当(x,y）=(1,0)。二元函数取得最小值，为0。输出结果：迭代次数00.4000000000000000.4000000000000000.880000000000000迭代次数11.360000000000000.08000000000000000.265600000000000迭代次数20.7840000000000000.01600000000000000.0935680000000001迭代次数31.129600000000000.003200000000000000.0336025600000000迭代次数40.9222400000000000.0006399999999999990.0120936448000000迭代次数51.046656000000000.0001280000000000000.00435358105600001迭代次数60.9720064000000002.55999999999999e-50.00156728393728001迭代次数