第三章 应变状态理论

第

三

章

应

变

状

态

理

论23.07.2020

1外力(或温度变化)作用下，物体内部各部

分

之间

要

产

生

相

对

运

动。

物

体的

这

种

运

动形

态

，

称为变形。本章

任

务

有

两

个

：1、分析一点的应变状态；2、

建

立几

何

方

程

和

应

变

协

调

方

程

。23.07.2020

23.1位移分量与应变分量一几何方程3.2一点的形变状态形变张量3.3转轴时应变分量的变换3.4主形变形变张量不变量3.5

体应变应变协调方程23.07.2020

33.1

位

移

分

量

与

应

变

分

量一几何方程23.07.2020

4在外力作用下，物

体整体发生位置和形状

的变化，

一般说来各点的位移不同。23.07.20205如果各点的位移不

同，但各点间的相对距

离

保

持

不

变，

物

体

发

生

刚体转动等刚体移动。如果各点的位移完

全相同，

物体发生刚体

平移；23.07.20206如果各点(或部分点)间的相对距离

发生变化，则物体发生了变形。这种变

形一

方

面

表

现

在

微

线

段

长

度的

变

化，

称

为线应变；一方面表现在微线段间夹角

的变化，称为切应变。23.07.20207我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA,

变形后为P'A',P

'点的位移为(u,v),A

'点x方向的位移为23.07.2020

8y方向上的位移为v+

dxPA的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的，因此PA

正应变为PA的转角为23.07.2020

9位移所引起的，

因此PB

正应变为：北京理工大学BEIJING

INSTITUTE

OF

TECHNOLOGY10我们从物体中取出y方向

上长dy的线段PB,变形后为

P'B',B

'点y方向的位移为x方向上的位移为PB

的转角为

：23.07.2020PB

的正应变在小变形时是由y方向的于是，直角APB

的改变量为k,-+P+有时

用

张

量

分

量线段PA的转角是线段PB

的转角是北京理工大学11BEIJING

INSTITUTE

OF

TECHNOLOGY23.07.2020

这

样，

平

面

上

一点的

变形我们用该点x方向上

的正应变、

y方向上的正

应变和xy方向构成的直角

的变化来描述，称为应变

分量，也就是所说的几何

方程。从几何方程可见，

当物体

的位移分量完全确定时，

形

变

分

量即

完

全

确

定

。思考题：当形变分量完全确定时，位移分量是否能

完

全

确

定

。23.07.202012同样，空间一

点的变形我们用该

点x、y、z方向上的

正应变和xy、yz、zx方向构成的直角的变化一切应变来

描述

。张量形式为23.07.202013Z空间的应变分量共九

个分量，是一个对称张量，

和应力张量一样，它们遵

从坐标变换规则，同样存

在着三个互相垂直的主方向，对应的主应变值是该张量的特征值。这些互相

垂直的主方向构成的直角

在该应变张量的变形时，

角度不变，

由主平面组成

的单元体，

由正方体变为

直角长方体。在主方向构

成的坐标系中，张量分量

构成对角阵，切应变分量为零。23.07.202014Z物体除形变外，还存在转动、刚体位移：(a)均匀形变：u、v、w

是线性函数，称为均匀形变；(b)刚体位移：

“形变为零”时的位移，即是“与形变

无关的位移”;(c)纯形变：形变分量不等于零，而转动分量等于零。23.07.2020

153.2一点的形变状态，形变张量23.07.2020

16相对位移张量6个应变分量是通过位移分量的9个一阶偏导，即：引入其中

为那勃勒算子，U是位移矢量，不难算得α的3个分量为：

23.07.2020

17这里的c称

为

转

动

矢

量，

而

0

x,0,,0.称

为

转

动

分

量

。由此

，

可将相对位移张量分解为两个张量

：23.07.2020

18元体的纯变形，称为应变张量，第二项为反对称张量，它表示微元体的刚体转动，即表示物体变形后微元体的方位变化。如物体中一点M的形变分量为

上式，等号右边第一项为对称张量，表示微则相对位移张量(非对称)可分解为应变张量与转动张

量

。23.07.2020

19XyZXl₁M

1N

1ylm

2n2Z7m₃n

₃设在坐标轴oxyz

下，物体内某一点的6个应变分

量

为

云

云

K,K₂k

现使坐标轴旋转一个角度，新老坐标的关系为：其中

4

gR123方

向

余

弦

。23.07.20203.3

转轴时应变分量的变换表示新坐标轴对老坐标轴的2320号

23.07.2020

21其中为3个新坐标轴的单位矢量。

利用方向导数公式位移矢量在新坐标系中的3个分量u,v',w'分别为：于是新坐标系中的应变分量为号一同理，可求其它五个应变分量。经整理可得：23.07.2020

22张量式表示为Zt同理，可以给出某一点沿任意方向微分线段的伸

长

率23.07.2020

233.4主形变，形变张量不变量23.07.2020

24与应力状态相类似，把切应变等于零的面称为

主平面。主平面的法线方向称为主应变方向，主平面上的正应变就是主应变。

同样存在第一、第二和第

三

应

变

不

变

量

。23.07.2020

253.4

体

应

变

应

变

协

调

方

程23.07.2020

26体

应

变：

物

体

变

形

后

单

位

体

积的改

变

。

如给

定的

六

面

体，

其

微

分

体

积

为23.07.2020

27其

变形

后的

体

积为

：则体应变为对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形

后必须保持其整体性和连续性，

即物体既不开裂，又不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不协

调

的。又可表示为：o-2+23.07.2020

28+2从数学的观点说，要求位移函数u;在其定义

域内为单值连续函数。如出现了开裂，位移函数

就会出现间断；出现了重叠，位移函数就不可能

为单值。因此，为保持物体变形后的连续性，各

应变分量之间，必须有一定的关系。23.07.2020

29

由

前

面

的

讨

论

可

知

，

在

小

变

形

情

况

下

的

六

个

应

变

分量是通过六个几何方程与三个位移函数相联系

的。如已知位移分量ui,

极易通过几何方程求得

各

个

应

变

分

量

。●但反过来，如给定一组应变E;,几何方程是关于

未知位移函数u;的微分方程组，其中包含了六个方

程，

但

仅

三

个

未

知函

数。

由于

方

程的

个

数

超

过

了未知数的个数，如任意给定e;

,则几何方程不

一

定

有

解，

仅当

ε,满足

某

种

可

积

条

件，或

称

为

应变协调关系时，才能由几何几何方程积分得到单

值

连

续

的

位

移

场

。23.07.2020