第4章 图形处理技术基础

第4章图形处理技术基础

4.1图形的几何变换

-图形几何变换的基本原理

-二维图形的基本变换

■二维图形的组合变换

■三维图形的变换、工程图的生成

4.L1图形几何变换的基本原理

-图形：无论二维或图形，都是由组成图形的点、

点之间的连线、连线构成的面、以及点、线、

面之间的关系表达的。

■图形变换：只是改变图形顶点的坐标，不改变

它们的拓扑关系。

■从原理上讲：图形的几何变换，实际上位点的

变换。

4.L2二维图形的基本变换

■一个点的坐标可以用矩阵形式[Xy]或表示，坐

标变换的矩阵表示形式为：步

■AT=B,T为变换矩阵

ab

设T

cd

ab

[axbx

[xy][xc。加

y]

变换类型

*

xaxcy

(1)比例变换

V*bxdy

当b=c=O,a、d>0,

A

[X**y][X[axdy]

中)等比例变换

a=d时

2)不等比例变换

a#d时

（2）对称变换

1）对X轴x*axcy

a=1,d=—1；y*bxdy

2）对Y轴

a=—1,d=1；

3）对原点

A=—1,d=-1

（3）错切变换

1）沿X方向Y

b=0,d=La=Lc#0时，

[x*y^lx+cyy]

练习：对如图所示的边长为10的正

方向进行c=2的错切变换。

4OO)OO)Z*

0

81o1O1O05

1*

00

c1KO1⑵13O1C

1*

DOO——0

1。*

20

2）沿Y方向

a=l,c=0,d=Lb#0时，

[x*y^]=[xbx+y]

练习：对如图所示的边长为10的

正方向进行b=-0.5的错切变换。

X*axcy

A0000y*bxdy

510010.5105B*

C101001105G

DO1000D*

3）沿X、Y两个方向错切

a=d=l,b，0,cWO时，[x*/]=[*+①bx+y]

举例：对如图所示的边长为10的正方向进行b=c=0.5的错

切变换。

x*axcy

y*bxdy

（4）旋转变换

当。dcos,bsin.csin,

[x**y][xcosj/siliixsmycos

绕原点的旋转，转角逆时针为正。

x*axcy

y*bxdy

（5）平移变换

■无论变换矩阵中的即b,c,dx*ax

为何值，均不能实现图形y*bxdy

的平移，为此需要图形的

另一种表示坐标一齐次坐

标。

齐次坐标

z[HxHyHzH]

齐次坐标

■将一个11维空间的点用n+1维坐标来表示。

口如在直角坐标系中，二维点［xy］的齐次坐标

通常用三维坐标［HxHyH］表示；

口一个三维点［xyz］的齐次坐标通常用四维坐

标［HxHyHzH］表示。

口最后一维坐标H称为比例因子，H为不为零

的任意实数。

■直角坐标与齐次坐标的关系

x=Hx/H

y=Hy/H

z=Hz/H

■任一点可用多个齐次坐标表示。

■例如二维点(20,10)用齐次坐标可表示为：(20,

10,1)、(40,20,2)或者(30,15,1.5);

■同理三维点(2,3,5)的齐次坐标可表示为(2,

3,5,1)或者(20,30,50,10)。

一般，总是将H设为“产，以保持两种坐标的一致

________________________________________________

ab

变换矩阵:Tftdq

Ims

当a=d=s=l,b=c=p=q=O,I、而不全为0时,

,100I

x**y1xy1010[x

加11Im

/为x方向的平移因子,1%为丫方向的平移因

子。

齐次变换矩阵

■对于二维坐标系上的点，齐次坐标为［HxHyH］；

■齐次坐标变换矩阵的形式是：

可以实现图形的比列、

对称、错切、旋转等

S

4.L3二维图形的组合变换

■工程应用中，仅用基本变换不能实现图形的

变换；

■必须采用两种或两种以上的基本变换组合才

能完成，即组合变换。

■设各次变换的变换矩阵分别为TLT2,

Tn,则组合变换矩阵是各次变换矩阵的乘

积。

绕任意一点对图形实施旋转变换

例1：三角形abc,坐标分别为a(6,4),b(9,4),c

(6,6),绕A(5,3)点逆时针旋转90。

图形变换由如下

步骤组合：

(1)平移变换

(2)旋转变换

(3)平移变换

(1)将图形平移

(—5,—3),使100

得旋转中心在原点no1o

531

(2)三角形绕原

0-

点旋转变换

0

(3)将图形平移(/,

阳)，得到满足要求

的几何变换。

①-④

■组合变换矩阵

H1oo0I0I00

TT\T2T010I000I0

li|l5Jl31

00I53I

则，变换后的顶点：

XJ6

a44I

，

XV9

Q-47

1

，

XJ6

a24I

思考：当图形要对画面中的某一点A(Xo，y°)作放

大时，通过哪些基本变换复合而成？

(1)首先将图形平移，使点A与坐标原点(0,0)

重合；

⑵然后图形以(0,0)为中心作放大；

(3)最后将图形平移，使点A回原处。

则以点（1yj为中心,放大系数分别为XS>

S的组合变换矩阵为：

V

LLI1oosxoohoo

o,s001

TT1T2TT010

1001Un%UnJy

1

4.L4三维图形的几何变换

三维点坐标—三维点齐次坐标

(x,y,z)——(x,y,z,1)

三维图形的几何一

变换矩阵

/in

000

比例0^00

T=

变换00i0

0001

1000

0100

等比例T=

变换0010

000s

1000店z[

平移0100

T=

变换0010

mn\

三维图变换及其变换矩阵

变换变换

名称柜库图例说明

。一绕渤的旋转角,

逆时针为正，顺时针为

负。

4

"cosfi0-smO'Z

0100P—绕Y轴的旋转角,

旋转sinfi0cosfl0逆时针为正，顺时针为

变换0001_0负°

■cosysinx0o-

店:包7-绕Z轴的旋转角,

-sinycosy00

0010逆时针为正，顺时针为

0001负。

三维图变换及其变换矩阵

变换变换

名称矩阵图例说明

1000

0100

T

00-10对XOY平面的对称变换

Y

0001乂咛

1000

『0-100

对称T—

0010对XOZ平面的对称变换

变换

0001

-1000

0100

对YOZ平面的对称变换

0010

0001

三维图变换及其变换矩阵

蠹矩阵变换图例

说明

000

沿X含Y的错切，

100

010d——错切因子,

001

1000

沿X含Z的错切，

,0100

错切T=

g010g——错切因子,

变换

0001

1600沿丫含X的错切，

0100

T=

0010b——错切因子,

0001

三维图变换及其变换矩阵

（3）二维图形变换及其变换矩阵

变换变换

名称矩阵图例说明

1000正面投影变换,

0000图形在XOZ平面的投

0010影，即Y坐标的比例因子

0001为零。

水平面投影变换

1000

图形在平面的投

0100XOY

投登T

0000影，即Z坐标的比例因子

变换

0001为零。

0000

图形在YOZ平面的投

0100

T=影，即挫标的比例因子

0010

0001为零。

应用举例：

(1)对称变换

四棱锥S-ABCD对XOZ平

对称变换

,4

00

2

00

B6301=5

10

6

01

、3

4.L5三维图形的组合变换

■原理同于二维图形的

组合变换

度”，求旋转后的矢量。

I”

设旋转后的矢量为

如图：

V=c+n*(Z*h)

c=nXZXn*cosa+

nXZ*sina

4.1.6投影变换

■投影变换是各类变换中最重要的一种，是把n维坐标系中的

点交成才、于n维坐标系的点。

投影中心：投影线的汇聚

点，或投影参考点

投影线：物体发出的光线

与投影中心的连线

观察平面：也称投影面，

投影图所在的平面

平行投影：投影中心与投

影面距离无限远

透视投影：投影中心与投

影面距离有限

投影变换过程：

■建立观察坐标系；

■将世界坐标系中的物体变换到观察坐标系中;

■通过正投影变换将场景投影到观察平面。

■Pref：注视点；P0：观察原点；N：观察平面法向量;

■观察方向为N的反方向；

思考题：

1.如何确定XM部的方向？

规定向上方向V=[010],再通过矢量叉乘建立观

察坐标系。

2.如何实现将世界坐标系中的物体变换到观察坐标

系中？

1.平行投影

■按投影方向是否垂直投影面，分为正平行

投影和斜平行投影。

■正平行投影的投影方向垂直于投影面。

■正投影可测量实体的距离、角度，可度量

性好，在工程制图中应用广泛。

工程图的生成

三维图形转化为二维工程图的变换

Z

主视图的生成

取XOZ面为主视图的投

影面，变化矩阵为

ooo

o0o

o1O

OO1

俯视图的生成

■俯视图：取XOY面为投影面，然后绕x轴顺时

针旋转90度，然后平移一定的距离d。

俯视图变换矩阵为

L管

1Ooo

10001000o1oo

01000cos(90)sin(90)0

oo

00000sin(90)cos(90)00ood

0001Ioo

左视图的生成

■左视图：取YOZ面为投影面,

然后绕Z轴逆时针旋转90度，

然后平移d。

ooooO1OOO

o1o0cos90sin90oOO1OO

0sin90cos90

oo1ooooooOO

oo1dOO

oooo11

2.轴测投影

CAD/CAM设计的图形大多数为三维，轴测图的显

示需要用到轴测投影变换。

轴测投影变换实质是三维组合变换，先绕2个轴旋

转，在向一个平面投影。

例如先绕y轴旋转（P角，再绕x轴旋转。角，最后向

XOY平面投影。

OOo

COsin.ooOOO

OOOOoO1OO

sm1

cos

OO•OOOOO

sincosmcos

OOOOOOOOO

■轴间角：ZX1O1YiZxq不、/Y1O1Z1

■轴向变形系数：OiX[/ox=%/0丫=小O1Z1/

OZ=r|z

正二轴测投影变换

■当％=2%=1=1时，为正二轴测投影；

■先绕y轴旋转（p=19。28”,再绕x轴旋转。=

20°42”

■变换矩阵为：

0.9350.11800

00.94300

T

0.3540.31210

ooor

正等轴测投影变换

■当1=%=%=0・82时，为正等轴测投影；

■轴间角120。

■先绕y轴旋转＜p=45。，再绕x轴旋转。=35。16"

■变换矩阵为：

0.7070.40800

00.81600

0.7070.40810

八001

3.透视变换

■通过投影中心将三维形体投影到投影面的变换。

■投影线从投影中心出发，投影线不平行。

■比轴测图更富立体感，投影面位于投影中心和实体之间。

小Z

P=(x,y,z)

■•

□投影中心/投影参考点(Projectionreferencepoint)

口为了简化计算，一般情况下取：

(1)观察平面位于观察坐标原点；

(2)投影中心在Z眼能方向，即xyprp=0o

■则经过坐标变换，使观察坐标系与世界坐标系重合

10°1°0°0

XyZ

011/40000

0010001

透视投影观察体

落在近、远裁剪平面之间的棱台体内的物体才能被显示。

OpenGL中，投影面与近裁剪平面重合，投影参考点位于

观察坐标系原点。

OpenGL实现透视变换实例

#include"stdafx.h"

#defineGLUT_DISABLE_ATEXIT_HACKglClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//Showthedolorwith

#include<GL/glut.h>displaywindowcolor

GLintwinWidth=600,winHeight=600;//Initialdisplay­/*Setparametersforacube.*/

windowsize.glColor3f(0.0,1.0,0.0);//Setobjectcolortogreen.

GLfloatxO=0.0,yO=0.0,zO=100.0;//Viewing­glutWireCube(50);

coordinateorigingIFIush();//PrcessallOpenGLroutinesasquicklyas

GLfloatxref=0.0,yref=0.0,zref=0.0;//Look-atpoint.possible

GLfloatVx=0.0,Vy=10,Vz=0.0;//View-upvector.}

/*Setcoordinatelimitsfortheclippingwindow:*/voidmain(intargc,char**argv)

GLfloatxwMin=-20.0,ywMin=-20.0,xwMax=20.0,ywMax={

20.0;glutlnit(&argc,argv);//InitialGLUT

/*Setpositionsfornearandfarclippingplanes:*/glutlnitDisplayMode(GLUT_SINGLE|GLUT_RGB);//Set

GLfloatdnear=30.0,dfar=150;displaymode,defaultset

voidinit(void)glutlnitWindowPosition(50,50);//Setleft-topdisplay

(windowposition

glClearColor(1.0,1.0,1.0,0.0);//SetdisplaywindowtoglutlnitWindowSize(winWidth,winHeight);//Setdisplay

whitewindowwidthandlength

gIMatrixMode(GL_MODELVIEW);//SetprojectioglutCreateWindow("PerspectiveViewofASquare");//Creat

parametersdisplaywindow

gluLookAt(xO,yO,zO,xref,yref,zref,Vx,Vy,Vz);init();//Executeinitializationprocedure

gIMatrixMode(GL_PROJECTION);//SetprojectioglutDisplayFunc(displayFcn);//Sendgrapicstodisplay

parameterswindow

gIFrustum(xwMin,xwMax,ywMin,ywMax,dnear,dfar);glutMainLoop();//Displayeverythingandwait

}}

voiddisplayFcn(void)

参考书［2］计算机图形学，2.9、7.10节

课后思考题：

课后自运行以上程序，改变观察点、参考点位置、远、近

裁剪平面参数，观察所得到的图形，体会投影变换的原理。

■灭点：透视图上任何一束不平行于投影面的

平行线的透视投影的交汇点。

■主灭点：与坐标轴平行的平行线的灭点。

■根据主灭点的个数，分为一点透视、二点透

视和三点透视。

1000

0101/yj

X0010fj

10001I(

p、q、r中，有1个不为零则为1点透视;

有2个不为零，则为2点透视；

有3个不为零，则为3点透视；

点透视三点透视

4.2图形的消隐技术

4.2.1消隐的概念和作用

显示设备描绘物体的图形时，必须把三维信息

经过某种投影变换，在二维的显示表面上绘制

出来。

在显示三维图形时，存在一些问题:

0图形表达的二义性

(b)(c)

两个立方体相互遮挡的关系

■概念

□消隐线和消隐面：沿着投影方向，三维实体被挡住

的线和面；

□消隐：消除消隐线和消隐面的过程。

□消隐技术：查找、确认并且消除隐藏的线与面的技

术。

■作用：

□投影变换失去了深度信息，导致图形的二义性。

□消除图形表达的二义性，提高图形的真实感，使其

只有唯一解释。

422消隐算法中的基本测试方法

测试那些线和面是可见的，那些是不可见

的。

1.重叠测试

许多物体的投影是由若干个多边形构成的,

将这些多边形两两判别，看它们是否有重

叠部分，如果不重叠，说明它们肯定不互

相遮挡。

nmsw------------------------------

□第一步（粗筛）：将根本不可能重叠的多变形

筛掉。判据为：

、＞linax",Emin；'/min~'Bniax

第二步：对于外接矩形有相交的情况；

□将多边形的各边与另一多边形的每条边比较;

口如果2个矩形有重叠，计算交点。

2.包含性测试

测试点与多边形的包含关系有两种方

法：

□射线交点数算法

□夹角求和算法

y\y卜引出射线;由交点数判断。

二交点数为奇数时，点在多边

形内；

"■交点数为偶数时，点在多边

■■形外；

■射线经过顶点：

•两条边在射线两侧，

记相交一次；

--•两条边在射线一侧，

记相交2或0次；

■射线经过多边形的边，改变

射线方向。

勺有向边。

■测试点与多边形每

条边的两端点构成

三角形；

■求被测试点与多变

形各边对应的中心

角；

2，在内部；

I

0,在外部；

i

3•深度测试

深度测试是用来测

本方法。

・ZAZ2,点门喘;

■Z2>Z1，速可见；

4.可见性测试

判别物体哪些部分是可见的，哪些部分是不可见的。

矢量S为观察方向；

Y

时、涧另］举蟒卜

希鎏正则为可见面。

■

X

423常用消隐算法

■经过测试，可判别物体之间是否有重叠，如

果有重叠，需进行消隐处理。

・很多基本算法，适用某些领域，没有一种能

够使用所用的领域；

□Z缓冲器扫描线算法

Z缓冲器算法

■深度缓冲器算法，图形消隐中经常使用的方法。

存放像素颜色值存放像素深度值

Z缓冲器算法基本原理

■物体上的点(X,y,z)对应于屏幕上的每个像素

点(x,y)

Z3>Z可见

Z缓冲器算法步骤

■初始化

□深度缓冲器的初始设置为足够小的z值；

□帧缓冲器中各单元（X,y）取背景色；

'逐点处理

□确定物体多边形上每一点的深度值z；

□如当前z值大于原有值，则将此深度值替换原有

值；

□此点的颜色值替换帧缓冲器中的原有值。

4.3图形裁剪技术

-图的大小和复杂程度不同，需要将图显示在

计算机屏幕上；

"裁剪技术：使图形恰当的显示在屏幕上的处

理技术

4.3.1窗口与视区

1.用户域与窗口区

■用户域：程序员用来定义整个草图的自然空间。

□用户域数连续无限的；

口用户域中的坐标系为用户坐标系或世界坐标系。

用笛卡尔右手坐标系表示。

■窗口区：用户指定的任一区域。

□小于或等于用户域。

■只关心整幅图形的特定部位，希望这部分图形清

晰地显示出来。

■在二维平面，窗口为一矩形，用四个变量代表窗

口左下角和右上角点的坐标，即：

WrXWmin