2021年湖南省株洲市中考数学真题（解析版）

2021年湖南省株洲市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分)

1.若。的倒数为2,则〃=()

A.AB.2C.-AD.-2

22

【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案.

【解答】解：•••”的倒数为2,

.,.”=工

2

故选：A.

2.方程三-1=2的解是()

2

A.x—2B.x=3C.x=5D.x=6

【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可.

【解答】解：三-1=2,

2

移项，得三=2+1,

2

合并同类项，得三=3,

2

系数化成1,得x=6,

故选：D.

3.如图所示，四边形ABCZ)是平行四边形，点E在线段2c的延长线上，若/Z)CE=132°,

则/A=()

F

A.38°B.48°C.58°D.66°

【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度

数即可.

【解答】解：；NOCE=132°,

AZDCB=1800-ZDCE=180°-132°=48°,

四边形ABCD是平行四边形，

.*./A=N£>C8=48°,

故选:B.

4.某月1日-10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误

的结论是（）

7

-

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

A.1日-10日，甲的步数逐天增加

B.1日-6日，乙的步数逐天减少

C.第9日，甲、乙两人的步数正好相等

D.第11日，甲的步数不一定比乙的步数多

【分析】根据图中给出的甲乙两人这10天的数据，依次判断A,B,C,。选项即可.

【解答】解：A.1日-10日，甲的步数逐天增加；故A正确，不符合题意；8.1日-5

日，乙的步数逐天减少；6日步数的比5日的步数多，故8错误，符合题意；

C.第9日，甲、乙两人的步数正好相等；故C正确，不符合题意；

D.第11日，甲的步数不一定比乙的步数多；故。正确，不符合题意；

故选：B.

5-计算：-4X^1=（）

A.-272B.-2C.-A/2D.272

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.

【解答】解：-4X栏=-4X乎=-2M.

故选：A.

6.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粉米三十…”

（粟指带壳的谷子，粉米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的新米…”.问

题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的糊米为（）

A.1.8升B.16升C.18升D.50升

【分析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粉米…”列式可得结

论.

【解答】解：根据题意得：3斗=30升，

设可以换得的新米为x升，

则改=毁，

30x

解得：*=迎2£3=18（升），

5

答：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粉米为18升.

故选：C.

7.不等式组1的解集为（）

1-x+l>0

A.x<lB.xW2C.1<XW2D.无解

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式X-2W0,得：xW2,

解不等式-x+l>0,得：x<l,

则不等式组的解集为

故选：A.

8.如图所示，在正六边形ABCDEF内，以为边作正五边形ABGH/,贝叱以/=（）

【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论.

【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABG”/中，NM5=120°,N/AB=108°,

：.ZFAI=ZFAB-ZMB=120°-108°=12°,

故选：B.

9.二次函数y=o?+公:+c(aW0)的图象如图所示，点尸在x轴的正半轴上，且OP=1,

设M=〃c(a+加-c),则M的取值范围为()

A.M<-1B.-1<M<0C.M<0D.M>0

【分析】由图象得x=l时，y<0BPa+b+c<0,当y=0时，得与无轴两个交点，

a

<0,即可判断M的范围.

【解答】解：：OP=1，P不在抛物线上，

，当抛物线y=ox2+/zr+c(“#0),

x=1时，y=a+b+c<0,

当抛物线y=0时，Wa^+bx+c—O,

由图象知xix2=q<0，

a

.'.ac<0,

.'.ac(a+b+c)>0,

即M>0,

故选：D.

10.某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面/i于点A,8E与水平线/2的夹角为a(0°

WaW90°),EF//l\//li,若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为/?(单位：米)，不

考虑闸口与车辆的宽度：

①当a=90°时，力小于3.3米的车辆均可以通过该闸口:

②当a=45°时，〃等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；

③当a=60°时，。等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.

则上述说法正确的个数为()

【解答】解：由题知，

限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2Xsina,

①当a=90°时，h<(1.4+2)米，即〃<3.4米即可通过该闸口，

故①正确；

②当a=45°时，h<(1.4+2又返)米，即力<2.814米即可通过该闸口，

2

故②正确；

③当a=60°时，h<(1.4+2X返)米，即〃<3.132米即可通过该闸口，

2

故③不正确；

故选：C.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)

11.计算：(2a)2«Q3=4a5.

【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幕分别相加，

其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可.

【解答】解：(2a)2*a3=4a2,a3=(4X1)(a2«a3)—4a5.

故答案为4/.

12.因式分解：6/-4xy=2x(3x-2y).

【分析】直接提取公因式2%,即可分解因式得出答案.

【解答】解：6?-4xy=2x(3x-2y).

故答案为：2x(3x-2y).

13.据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078X

10",则”=7.

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为“XI",其中1W⑷<10,〃为整数,

据此判断即可.

【解答】解：1078万=10780000=1.078X1()7,

则ii=7.

故答案为：7.

14.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是

【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果

数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图如下：

开始

反

正反正反

共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种,

.•.两次都是“正面朝上”的概率=上.

4

故答案为：1

4

15.如图所示，线段BC为等腰△4BC的底边，矩形AO8E的对角线A8与OE交于点。,

若00=2,则AC=4

【分析】由矩形的性质可得AB=2OD=4,由等腰三角形的性质可求解.

【解答】解：四边形AD8E是矩形，

:・AB=DE,AO=BO,DO=OE,

：.AB=DE=2OD=4,

*：AB=AC,

・"C=4,

故答案为4.

16.中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在一个时间

段，某中药房的黄茜、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：

中药黄茂焦山楂当归

销售单价（单位：元/806090

千克）

销售额（单位：元）120120360

则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为2.5千克.

【分析】利用销售数量=销售额+销售单价，可分别求出黄黄、焦山楂、当归三种中药

的销售数量，再求出三者的算术平均数即可得出结论.

【解答】解：黄芭的销售量为120+80=1.5（千克），

焦山楂的销售量为120+60=2（千克），

当归的销售量为360+90=4（千克）.

该中药房的这三种中药的平均销售量为"1空=2.5（千克）.

3

故答案为：2.5.

17.点4（xi,yi）、B（xi+1,是反比例函数y=K图象上的两点，满足：当xi>0时，

x

均有.VI<>-2.则k的取值范围是k<0.

【分析】根据反比例函数的性质，即可解决问题.

【解答】解：•.•点A（XI，川）、B（xi+1,”）是反比例函数y=K图象上的两点，

X

又〈OVNIVxi+1时，yiV”，

，函数图象在二四象限，

故答案为k<0.

18.《蝶儿图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“纯”为“嘘”，同"蝶”），

它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四

只、大三斜两只，共十三只（图①中的“檬”和“:ft”为“样”和“只”）.图②为某蝶

几设计图，其中△48。和△CBD为“大三斜”组件（“一檬二:ft”的大三斜组件为两个

全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线。。对称，连接

CP、DP.若NAOQ=24°,则N£>CP=21度.

K:

魏

小

揍■\

n«♦.;

a网

华

・

“a

/w

«L2

a

令

加A/

-s^-lJt

l〃

M

^*«

<

-<"."

・

固<42

♦,

4l

4*»M

-*s

*<4

I

Al>8r

，

A

f

图①图②

【分析】由点尸与点A关于直线。。对称求出NP。。，再由△A8D和△CB。求出NOO8

和NAQB,进而计算出NQ9P,最后利用三角形内角和即可求解.

【解答】解：♦.,点P与点A关于直线OQ对称，ZADQ=24a,

.,./P£>Q=NAL>Q=24°,AD=DP,

^.•△4B。和△CB。为两个全等的等腰直角三角形，

：.ZDDB=ZADB=45°,CD=AD,

：.ZCDP^ZDDB+ZADB+ZPDQ+ZADQ^i^,

'：AD=DP,CD=AD,

：.CD=DP,即△£）（:2是等腰三角形，

/.ZDCP=A（1800-NCDP）=21°.

2

故答案为：21.

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19.（6分）计算：|-2|+V3sin60°-21.

【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幕的性质分别化

简得出答案.

【解答】解：原式=2+\^X返-工

22

=2+2—-

22

=3.

20.（8分）先化简，再求值：学—,（1_2）一1_,其中》=圾一2.

2

X-A.xx+2

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案.

【解答】解：原式一©_

(x-2)(x+2)xx+2

=.2.3

x+2x+2

=-1

x+2’

当2时，

原式=--A_=-__1——=-返.

x+2V2-2+22

21.(8分)如图所示，在矩形ABC。中，点E在线段8上，点F在线段48的延长线上,

连接EF交线段BC于点G,连接8。，若DE=BF=2.

(1)求证：四边形BFED是平行四边形；

(2)若tanNABO=2,求线段BG的长度.

3

【分析】(1)由矩形的性质可得OC〃A8,可得结论;

(2)由平行四边形的性质可得。B〃EF,可证NA8O=NF,由锐角三角函数可求解.

【解答】证明：(1)•四边形A8CO是矩形,

.'.DC//AB,

又；DE=BF,

二四边形DEFB是平行四边形；

(2)•.•四边形OEFB是平行四边形,

J.DB//EF,

ZABD=ZF,

tanZABD=tanF=—,

3

•••BG=2—,

BF3

又,：BF=2,

.,.BG=A.

3

22.（10分）将一物体（视为边长为2米的正方形ABCQ）从地面尸。上挪到货车车厢内.如

7T

图所示，刚开始点8与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点8（E）按逆时针方向旋

转至正方形AiBCiG的位置，再将其沿EF方向平移至正方形4282c2。2的位置（此时点

历与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.己知MG〃尸。/F8P=30°,

过点/作于点”，尸/7=2米，EF=4米.

3

（1）求线段FG的长度；

（2）求在此过程中点A运动至点出所经过的路程.

【分析】（1）在RtZ\FGH中，由BG=2FH,可得结论.

（2）求出GE,利用弧长公式求解即可.

【解答】解：（1）'CGM//PA,

；./FGH=NFBP=30°,

VFW1GM,

；.NFHG=90°,

：.FG=2FH=2.（米）.

3

（2）；EF=4米，尸G=2米.

3

：.EG=EF-FG=4-2=12.（米），

33

；乙484=180°-90°-30°=60°,84=2米，

K

9

60-K--

二点A运动至点A2所经过的路程=--------L+」&=4（米）.

1803

23.（10分）目前，国际上常用身体质量指数“BM/”作为衡量人体健康状况的一个指标，

其计算公式：（G表示体重，单位：千克；力表示身高，单位：米）.已知某区

h2

域成人的8例/数值标准为：BM/C16为瘦弱（不健康）；16WBM/V18.5为偏瘦；18.5W

BM1<24为正常；24WBA〃<28为偏胖；8M/228为肥胖（不健

（女性身体属性与人数统计图）

某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本,

计算每名成人的数值后统计：

（男性身体属性与人数统计表）

身体属性人数

瘦弱2

偏瘦2

正常1

偏胖9

肥胖m

（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；

（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BM/数值；

（3）当且G2（机、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男

性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值.

【分析】（1）样本中身体属性为“正常”的女性人数加上样本中身体属性为“正常”的

男性人数即可；

（2）根据计算公式求出该女性的数值即可；

（3）当相23且”22（相、"为正整数）时，根据抽取人数为55计算出机的值，即可求

解.

【解答】解：（1）9+1=10（:人），

答：这个样本中身体属性为“正常”的人数是10;

(2)BM1=-L.=51-2=20,

h21.62

答：该女性的BM/数值为20；

(3)当，wN3且〃22(m、"为正整数)时，

这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数：>17,

这个样本中身体属性为“不健康”的女性人数：“+4+9+8+4227,

,/2+2+1+9+m+〃+4+9+8+4=55,

.'.m+n—16,

由条形统计图得〃<4,

〃=13时，"=3,这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”

的女性人数的比值为32=」在；

3+47

加=14时，〃=2,这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”

的女性人数的比值为自2=B.

2+43

答：这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数

的比值为型或

73

24.(10分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x的图象/与函数、=上(/

x

>0,x>0)的图象(记为「)交于点A,过点A作轴于点8,且AB=1,点C在

线段。8上(不含端点)，S.OC=t,过点C作直线/i〃x轴，交/于点O,交图象「于

点E.

(1)求A的值，并且用含f的式子表示点。的横坐标；

(2)连接OE、BE、AE,记△OBE、△AQE的面积分别为Si、Si,设U=S]-S2，求U

的最大值.

【分析】(1)先求出点4的横坐标，再代入直线y=2x中求出点A的坐标，再将点A坐

标代入反比例函数解析式中求出k；先求出点C的纵坐标，代入直线y=2r中求出点D

的横坐标，即可得出结论;

(2)根据点C的纵坐标求出点E的坐标，进而求出CE=2,进而得出S1=2,由(1)

tt

知，A(1,2),D(i,t),求出D£=--—t,进而得出S2=S^ADE=—12--lr+--1,

2t242t

进而得出U=Si-S2=-l(L1)2+5,即可得出结论.

44

【解答】解：(1)轴，且AB=1,

.♦•点A的横坐标为1,

♦.•点A在直线y=2x上,

."=2X1=2,

...点A(1,2),

：.B(0,2),

♦.•点A在函数y=K上,

x

：.k=\X2=2,

OC=f,

：.C(0,r),

：CE〃x轴，

.♦•点。的纵坐标为f,

♦.,点。在直线y=2x上，t=2x,

...点。的横坐标为

2

(2)由(1)知，k=2,

.••反比例函数的解析式为y=2,

x

由(1)知，CE〃龙轴，

:.c(0,t),

.•.点E的纵坐标为f,

•.•点E在反比例函数y=2的图象上，

X

•丫=2

t

：.E(2,t),

t

CE=2,

t

,:B(0,2),

：.OB=2.

：.S1=SAOBE=L()B.CE=AX2X2=2

22tt

由(1)知，A(1,2),D(L,r),

2

：.DE=2--1J,

t2

：CE〃x轴，

S2=S&ADE=—DE(>-A-yo)=—(—-—r)(2-r)=—L+Z-i,

22t242t

u=si-S2=---—t+—-1)=-工P+L+i=-A(/-1)2+A,

t42t4244

•.•点C在线段08上(不含端点)，

：.0<t<2,

.•.当r=l时，U最大=区.

4

25.(13分)如图所示，AB是。。的直径，点C、。是。。上不同的两点，直线8。交线段

OC于点E、交过点C的直线C尸于点F,若OC=3CE,且9(E尸-C产)=OU.

(1)求证：直线C5是。。的切线；

(2)连接。。、AD,AC.DC,若NCOD=2NBOC.

①求证：MACDs20BE；

②过点E作EG〃A8,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点，若AO=4,求线段

MG的长度.

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明/EC尸=90°,可得结论.

（2）①证明/D4C=/EOB,NDCA=NEBO,可得结论.

②利用相似三角形的性质求出AC,再求出CM,CG,可得结论.

【解答】（1）证明：：9（EF2-C卢）=O&OC=3OE,

：.9（E■尸-c/2）=9EC2,

：.EF1=EC2+CF2,

：.ZECF=90°,

：.OCLCF,

二直线C尸是。0的切线.

(2)①证明：VZCOD=2ZDAC,ZCOD=2ZBOC,

:./DAC=NEOB,

'：ZDCA^ZEBO,

：./\ACD^/^OBE.

②解：'：OB=OC,OC=3EC,

：.OB：OE=3：2,

"：/\ACD^/\OBE,

•AC=AD

，#0BOE'

AAC=0B=_3>

,*ADOE~2

"：AD=4,

：.AC=6,

是4c的中点，

；.CM=MA=3,

'：EG//OA,

.CG_=CE=1

'"cKco3"

：.CG=2,

：.MG^CM-CG^3-2=1.

26.(13分)已知二次函数)=0?+芯+。(a>0).

(1)若。=上，b—c--2,求方程a/+6x+c=0的根的判别式的值；

2

(2)如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A(xi,0)、B(%2.0),且xi<0<X2,

与y轴的负半轴交于点C,点£>在线段OC上，连接AC、BD,满足NACO=NABQ,

-A+c=X|.

a

①求证：△AOC部△QO8；

②连接BC,过点。作OEL8C于点E,点尸(0,xi-X2)在y轴的负半轴上，连接A尸,

且N4CO=NC4尸+NCBO,求的值.

X1

(2)①由X[+X2=-电得到X2=-c=OC,进而求解;

a