整式的乘法讲义　人教版八年级数学上册

整式的乘法与因式分解

第1节整式的乘法

【知识梳理】

(1)同底数嘉的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

即暧("、"都是正整数)

逆运用am+n=am-an=ap-a\m+n=p+q)

(2)0哥的乘方法则：哥的乘方，底数不变，指数相乘。

即"')"=*(机、”都是正整数)

逆运用“相〃=卜〃((加”=pg)

(3)积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的募相乘

即(")"=〃》"("为正整数)

逆运用a"b"=(")"a2'"-b3m=(a2b3)"'

(4)同底数塞的除法法则：同底数得相除，底数不变，指数相减.

即am^a"=am-"("、"都是正整数)

逆运用a'n-"=a"'^an=ap^a'l(m-n=p-q)

(a-b)m,当机奇数时，-=-(»"•;

当机偶数时，

(a+炉，不论m为奇数还是偶数，都有(〃+炉=("〃广.

(5)单项式与单项式相乘：

系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指

数作为积的一个因式.

如：ab-3a2b^c2=3a)b4c2,两个单项式的系数分别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式

中关于字母。的寨分别是。和/,乘积中。的密是同理，乘积中b的舞是另外，单

项式访中不含c的募，而3a263c2中含c?,故乘积中含

(6)单项式与多项式相乘：

单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加.

公式为：m(a+b+c)=ma+mb+mc,其中机为单项式，a+b+c为多项式.

(7)多项式与多项式相乘：

将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积

相加.

公式为：(加+〃)(。+b)=ma+mb+na+nb

(8)单项式除以单项式：

系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的

指数作为商的一个因式.

如：3aW^ab=3ab2c2,被除式为3办3c2,除式为",系数分别为3和1,故商中

的系数为3,。的嘉分别为"和“，故商中。的嘉为,产二〃，同理，〃的毒为从，另外，被

除式中含C2,而除式中不含关于c的福，故商中c的福为,2.

(9)多项式除以单项式：

多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加.

公式为：(a+b+c)^-m=a^in+b^m+c^-m,其中，〃为单项式,a+b+c为多项式.

【诊断自测】

1、(1)同底数暮相乘，—不变，相加。

(2)募的乘方，不变，指数_______o

(3)积的乘方，等于把积的每个因式，再把所得的塞。

2、(1)单项式相乘，把它们的分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则

(2)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘再把所得的积______

(3)多项式乘多项式，先用一个多项式的______乘以另一个多项式的，再把所得

的积o

3、(1)(-。尸•(一4>.(一。)=

⑵C--a3by=

3

4,(1)-2a(a-b+c)~

(2)(2汕3一14/72+21〃)+78=

【考点突破】

类型一：同底数塞的乘法

例1、计算6//的结果是（）

A.6KB.6JC5C.6X6D.6』

2n+,+3

例2、xx%"=；

类型二：幕的乘方

例3、（-优"）2等于（）

A./"-2B.-a2,1-2C./'ID.-a2,1-2

例4、计算：（-2X2/）+8（无2）2.（x）2.（y）3

类型三：积的乘方

例5、计算（Jy）3的结果是（）

A.x5yB.x6yC.x2y3D.臼3

例6、[（-1）"+Lp2]〃等于（）

A.p2nB.-p2".C.-p"+2D.无法确定

类型四：单项式乘单项式

222/33\

例7、计算（-|xyz）・/y

2

3

例8、计算/-y2（Xy）的结果是（）

A.x5y'°B,x4/C.-x5/D,x6y12

类型五：单项式乘多项式

例9、-5x-（%2-x+3）的计算结果为（）

A.-10x3+5x2-15xB.-10x3-5x2+15x

C.10x3-5x2-15xD.-10丁+5/-3

例10、化简（；£1炉一ga2b—6ab）-6ab的结果为（）

A.36a26B.5a3〃+36a2〃

C.-3a%3+2a%2+36/)2D

类型六：多项式乘多项式

例11、下列等式中正确的是()

A.(x-y)(x-2y)=x2-3xy+2y3B.(l+2x)(l-2x)=1-4x+4x2

C.(2a-38)(2。+3b)=4〃-9人2D,(x+3y)(2x-3y)=-3封+”?

例12、若(x+2)(x+〃)=犬+nxr-16,则加+〃的值为()

A.-14B,-2C.2D.18

类型七：同底数褰的除法

2L

例13、(。6)+

例14、[(x3)2-(-x4)3]-(-x6)3

类型八：单项式除以单项式

3

例15、(1)(2a)血+i2a3b2；

(2)(―|a7bs)+|a2b§

类型九：多项式除以单项式

例16、已知(3——5/+4x)+3x的商为+公+人，贝1］。-匕=.

例17、长方形的宽为2a2。，面积为6a3》+4/。2+2"。，则长方形的长是

例18、计算(一6%3y2+2xy)+xy=.

【易错精选】

1、下列计算正确的是（）

A.6%3-3xy=9x3yB.(2a/)2)-3ab=-a2/73

2

C.(mn)-m2n=m3n2D.3x2y-3xy=9x3y

2.计算：—x2•(—x)=.

3、计算：(2m)3*n34-8m3n=.

4、计算：

(1)(-a2)34-a4-a3

(2)(-be2)4-(-be2)2

【本节训练】

训练【1】已知：x=4,y=-J,求代数式:孙2.14(孙)2.；/的值.

874

训练【2】下列运算中，运算结果正确的是()

A.(-6x)(2x-3y)=-12x2-18xy

B.5x(3x2-2x+3)=15x2-10x3+3

C.4ab[2a2b-3blab-ab2)]=Sa3b2-i2ab2(4a2b2-4a2b3)

D«(«+/?)-b(a+b)=a2-b2

训练【3】若(x+3)(x+〃)=/21,则加的值为()

A.2B.-2C.4D.-4

训练[4]

(1)(3x+2)(2x-1);

(2)(2x-8y)(x-3y);

(3)(2m-ri)(3m-4/7);

(4)(2x2-l)(2x-3);

(5)(2。-3)3;

(6)(3x-2)(3x+2)-6(x2+x-1).

(7)28x4y24-7x3y;

(8)-5a5b3-15a4b;

(9)-a2x4y34-(一—axy2);

6

(10)(6x2y3)-(3xy2)2

(11)(x3-l)(x6+x3+l)(x9+l);

(12)(x2-y2)(x2+xy+y2)(x2-xy+/)；

(13)(x+2y)2(x2-2xy+4y2)2.

基础巩固

一、选择题：

1.下列各式中，正确的是()

555426

A.t+t=2tB.t+t=tC.产口./？/f5

2.下列计算错误的是()

2

A.—a2-a2=—a4B.(—a)-a4=a6

C.—a3-a2=a5D.-a-a2=-a3

3.下列计算中，运算正确的个数是()

①5/-/=彳3②3m.2"=6m+n

③a'"+a"=a"""④婢+i.”+2=产.％m+3

A.1B.2C.3D.4

4.计算。6(1)3的结果等于()

A.a'1B.a'2C.a'4D.产

5.下列各式计算中，正确的是()

A.(")3=dB.(-a5)4=-a20C.[(-a)5]3=a15D[(-a)2]3=a6

6.下列各式计算中，错误的是()

A.(w6)6=«36B.(G4)m=(a2m)2C.x2n=(-xn)2D.x2fl=(-x2}

7.下列计算正确的是（）

2n2n

A.(孙)3=孙3B.(2孙)3=6dy3c.(-3/)3=27/D.(ab)^ab"

8.下列各式错误的是()

A.(23)4=212B.(-2a)3=-8/c.(2/w/i2)4=16/M4/I8D.(3ah)2=6a2b2

9.下列计算中，错误的是()

A.mn•m2n+1=m3n+1B.(-a""')2=a2"-2C,(a2b)n=a2"hnD.(-3x2)3=-9x6

10.下列计算中，错误的是()

23

A.(—2a&2)•(3a2b)=-108a8b7

3、2「u

B.(2xy)-(2xy)=32x5y5

C.(—/n2n)(-—m/i2)2=-m4n4

3327

H.下列计算结果正确的是()

A.(6ab2—4a2b)•3ab=18ab?—12a2b

B.(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1

C.(-3x2y)(-2xy+3yz-l)=6x3y2-9x2y2z2+3x2y

D.(-a3--b)-2ab=-a46—ab2

\4272

12.^(x-2)(x+3)=x2+tz+Z?,则〃、/?的值为()

A.a=5,b=6B.a=l,/?=-6

C.a=l,b=6D.a=5,Z?=-6

二、解答题：

1.计算

(1)(-5a3b2)・(-3ab2c)(-7a2b)；

(2)-2a2b3-(m-n)5--ab2-(n-m)2+-a2(m-n)-6ab2

(3)(x+3)(x-3)-(x+l)(x+5)

(4)3/(；ah2-b)-(2a1b1-3ab\-3d);

(5)(3x2-5y)(x2+2x-3).

2.当x=-3时，求8Y-(x-2)(x+l)-3(x-l)(x-2)的值.

3.把一个长方形的长减少3,宽增加2,面积不变，若长增加1,宽减少1,则面积减少6,

求长方形的面积.

巅峰突破

1.若3"=2,3"=6,3c=12,a,h,c的关系不正确的是()

A.b=a+\B.c=a+b+lC.2h=c+lD.c=2a+\

2.计算(a-b)2n(b-a)(a-8尸的结果是()

A.(a-b)2n+'"B.-3-6)2"'"c.S-a)2""'D.以上都不对

3.已知(/-依+5)(/+彳+7⑼的展开式中不含/和/项，则加，”的值应该是()

7474

A.-B.-C.m--,n-1D.m--,n=1

4747

4.下列运算正确的是()

A.(-3mn)2=-6m2n2B.4x4+2x4+x4=6x4

2

C.(xy)-e-(—xy)=—xyD.(a-/?)(-a-b)=a~-b'

5、已知(x-3)(/+如+〃)的乘积项中不含/和x项，则加，”的值分别为()

A.m=3,n=9B.m=3,n=6C.m=-3,n=-9D.m=-3,n=9

6.下列各式计算正确的是()

A.(-5an+lb)(-2a)=-Wan+2b

B.(-4a2Z?)(-a2h2)(1b3c)=2a4Z;6c

C.(-3xy)(-X2Z)6X),2=3x3y3z

D.(2a^3)(-|aZ?nl)=-；a"+%3”3

7.已知被除式为1+3/-%,商式是x,余式是-1,则除式是.

8、若(f+px-1)(%2-3x+g)的积中不含x项与/项，

(1)求p、q的值；

(2)求代数式(-2p2q)2+(3pq)"+"012。孙4的值

44

9.计算：(一|^)3+(T^)2xy2.

10.若丁-5/+办2+加+,能被(X-])2整除，试求(“+o+c)2的值.

11.观察下列各式：

(x2-1)?(xl)=x+]

(x3-1)?(xl)=x2+x+l

(x4-1)?(xl)=x3+x2+x+l

(x5-1)?(xl)=x4+x3+x2+x+1

(1)能得到一般情况下(X"-1)?(x1)=—(〃为正整数)；

(2)根据这一结果计算：1+2+2?+2^+...+2i4+2”=_.

参芍合奈

【诊断自测】

1、(1)底数、指数

(2)底，指数

(3)乘方，相乘

2、(1)系数、同底数辱分别相乘，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)多项式的每一项，相加

(3)每一项，每一项，相加

3、(1)(―a)，•(—。)’•(一&)=a，

(2)(--a^b)2=-a6b2

39

4、（1）-2a{a-Z?+c）=-2a2+2ab-2ac

（2）（2助3_i4〃+2⑸+7〃=4〃3一⑦+3

【考点突破】

类型一：同底数幕的乘法

例1、计算的结果是（）

B.6xB.6x5C.6xbD.6X9

答案：B

解析：同底数骞相乘，底数不变，指数相加。3+2=5.所以这题选B

例2、x2n+'xx/3=；

答案：x3n+4

解析：同底数募相乘，底数不变，指数相加。3+2=5.所以这题选B

++』〃+3=0+4

类型二：孱的乘方

例3、（-优"）2等于（）

\,a2n~2B.-a2"-2C./"TD.-a2,1-2

答案：C

解析：负数的平方是正数，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的塞相乘。

例4、计算：（-2/y3）+8（X2）2.（x）2.（y）3

答案：见解析

解析：-2x?y3+8x6y3

类型三：积的乘方

例5、计算（fy）3的结果是（）

A.x5yB.xbyC.x2y3D.x6>,3

答案：D

解析：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘

（丁方=臼3

例6、［（-1）"+i.p2『等于（）

A.p2nB.-p2n.C.-pn+2D.无法确定

答案：B

解析：

[(-ir'.p2),

=(—

=-p2"

其中，-1的奇数次方，得数是-1

类型四：单项式乘单项式

例7、计算(-|xyz)--x2y2(--yz3)

答案：

=-x3/z4

5

解析：系数、同底数得分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的

指数作为积的一个因式.

2

例8、计算/-y2(xy3)的结果是()

A.x5y,°B,x4/C.-x5/D.x6y12

答案：B

类型五：单项式乘多项式

例9、-5x.(X2-X+3)的计算结果为()

A.-10%3+5%2-15xB.-lOx3-5%2+15x

C.10x3-5x2-15%D,-10x3+5x2-3

答案：A

解析：首先利用分配律把5x乘到括号内，然后依据去括号法则化简即可.

32

原式=-(10/-5》2+15%)=_lOx+5x-\5x.

故选A.

例10、化简玛加一支2b-6ab).6ab的结果为()

A.36/户B.5a3b2+36a2h2

C.-3a2b3+2a^b2+36a2b2D.-a2b3+36a2b2

答案：C

解析：利用多项式与单项式的乘法法则即可求解.

=-3a2h3+2ayh2+36a2b2.

故选C.

类型六：多项式乘多项式

例11、下列等式中正确的是()

B.(x-y)(x-2y)=x2-3xy+2y3B.(1+2x)(1-2x)=1-4x+4x2

C.(2a-3b)(2a+3b)=4a2-9b2D.(x+3y)(2x-3y)=2x?-3孙+9y?

答案：解析：A、(x-y)(x-2^)=x2-3xy+2y2,故此选项错误；

B、(1+2x)(1-2x)=1-4/,故此选项错误；

C、(2a-3b)(2a+3b)=4a2-9h2,正确；

D、(x+3y)(2x-3y)=2f一3孙-9y2,故此选项错误；

故选：C.

例12、若(x+2)(x+〃)=x?+mr-16,贝。利+〃的值为()

A.-14B.-2C.2D.18

答案：A

解析：直接利用多项式乘法去括号，进而得出关于加，〃等式求出答案.

V(x+2)(x+n)=x2+mx-16,

x2+(2+〃)x+2〃=x2+mx-16,

「tn=6

解得：Lb

则加+/2的值为：-14.

故选：A.

类型七：同底数塞的除法

2

例13、(a6)4-a5

答案：见解析

解析：

(46)2

=/

例14、[，)2.(一/)3卜(_/)3

答案：见解析

解析：

[(马2.(4)3.(*)3

="(—/)]+(一胪)

=(-f8)十(一/)

=1

类型八：单项式除以单项式

3

例15、(1)(2a)Z?4+12a3b2；

(2)(—|a7b5)+|a2b5

答案：见解析

解析：⑴卢

4r

⑵―/；

类型九：多项式除以单项式

例16、已知(3%4-5/+4x)+3x的商为1+依+。，则。-/?=.

答案：-3

解析：原式利用多项式除以单项式法则计算，根据商求出a与人的值，即可求出a-8的值.

(3x4-5%2+4x)+3x~x3-gx+g=x3+ax+b,

54

可得a=-§,b=飞,

54

贝ija-b=-------=-3,

33

故答案为：-3

例17、长方形的宽为2a2。，面积为6a3人+4。％2+2。%,则长方形的长是.

答案:3a+2b+l

解析：根据题意得：6/b+4a2b2+2(1%?a2b=3a+2b+\(,

则长方形的长为3。+20+1.

故答案为：3«+2/7+1

例18、计算(-6%3y2+2xy)+xy=.

答案：-3/y+l

解析：原式利用多项式除以单项式法则计算即可.

解：原式=-3/>+1,

故答案为：-3fy+l.

【易错精选】

1、解：A、原式=18x4y,错误;

B、原式=_6a2b3,错误；

C^原式=-m3n3,错误;

D、原式=9x3y2,正确.

故选D.

2、解：-X2,(-X)2=-x2*x2=-x2+2=-X4.

3、解：(2m)3»n34-8m3n

=8m8m3n34-8m3n

=n2,

故答案为：M.

4、解：(1)(-a2)34-a4-a3=-a6^-a^-a3=-a2;

(2)(-be2)4-r(-be2)2=(-be2)2=b2c4.

【本节训练】

1、训练【1】解：原式=(Jxl4x；)⑸2.彳2y.马

原式=gx48x(-1)4

="Y产

=8

训练［2］解:A、(-6x)(2x-3y)=-12x2+18xy,故本选项错误；

B、5x(3x2-2x+3)=15x3-10x2+15x,故本选项错误；

C、4ab［2a2b-3b(ab-ab2)］=8a3b2-12ab2(ab-ab2),故本选项错误;

D、a(a+b)-b(a+b)=a2-b2,故本选项正确;

故选D.

训练［3］解：(x+3)(x+n)=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n,

\"x2+mx-21=(x+3)(x+n),

/.x2+mx-21=X2+(n+3)x+3n,

m=n+3,-21=3n,

解得：n=-7,m=-4,

故选D.

训练［4］解：(1)原式=3X・2X-3X+2X2X-2=6X2+X-2;

(2)原式=2x・x-2x-3y-8yx+8y-3y=2x2-14xy+24y2;

(3)原式=2m・3m-2m*4n-3m*n+ne4n=6m2-11mn+4n2;

(4)原式=2X2・2X+2X?X(-3)-2x+3=4x3-6x2-2x+3;

(5)原式=(2a)2-2*2a*3-*-32=4a2-12a+9;

(6)原式=(3x)2-4-6x2-6x+6=3x2-6x+2.

(7)28x4y24-7x3y=4xy;

(8)-5a5b3c-?l5a4b=-—ab2c;

3

(9)-a2x4y34-(-—axy2)=—ax3y;

65

(10)(6x2y3)-(3xy2)2

=6x2y34-9x2y4

-2.

-3yV

-,--2--.

3y

(11)(x3-1)(x6+x3+l)(x9+l)

=(x9-1)(x9+l)

=x18-1;

(12)(x2-y2)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)

=(x-y)(x2+xy+y2)x(x+y)(x2-xy+y2)

=(x3-y3)(x3+y3)

=x6-y6;

(13)(x+2y)2(x2-2xy+4y2)2

=[(x+2y)(x2-2xy+4y2)]2

=(x3+8y3)2

=x6+16x3y3+64y6

基础巩固

一、选择题

1、A2、C3、A4、B5、D6、D7、D8、C9、DIO、Cll、D12、B

二、解答题

1.解：

(1)(-5a3b2)-(-3ab2c)-(-7a2b)=[(-5)x(-3)x(-7)](a3-a-a2)(b2-b2-b)c

=-105a6b5c.

(2)-2a2b3(m-n)5-^ab2-(n-m)2+^a2(m-n)-6ab2

(-2-)-(a2-a)-(b3-b2)[(m-n)5-(m-n)2]+(-6)(a2,a)(m-n)b2

2

=-ya3b5(m-n)7+2a3b2(m-n).

(3)(x+3)(x-3)-(x+l)(x+5)

=x2—9—(%2+6x+5)

=x2—9—%2-6x—5

=—6x—14

(4)3a2(^-ab2-b)-(2a2b2-3ab)(-3a)=3a2-^ab2-3a2b+2a2b2-3a-3ab-3a

=a3b2-3a2b+6a3b2-9a2b=7a3b2-12a2b.

(5)(3x2-5y)(x2+2x-3)=3x2-x2-5y-x2+3x2-2x-5y2x+3x2-(-3)-5y(-3)

=3x4-5x2y+6x3-10xy-9x2+15y

=3x4+6x3-5x2y-9x2-10xy+15y.

2.解：8X2-(X-2)(X+1)-3(X-1)(X-2)=8x2-(x2-2x+x-2)-3(x2-x-2x+2)

=8X2-X2+X+2-3X2+9X-6=4x2+10x-4.

当x=-3时，原式=4•(-3产+10•(—3)—4=36-30-4=2.

3.解：设长方形的长为x,宽为y,则由题意有

xy-3y+2x-6=xy

《

xy-^y-x-l=xy-6

2x-3y=6

<

即1x+y=-5

x=9

解得□=4

xy=36.

答：长方形的面积是36.

4.解：(x+my-l)(nx-2y+3)=nx2-2xy+3x+mnxy-2my2+3my-nx+2y-3

=nx2-(2-mn)xy-2my2+(3-n)x+(3m+2)y-3

〈X、y项系数为0,

2

小-m=--

3—n=03

《

・?>m+2=0彳曰n—3

2

故3m+n=3-(-y)+3=1.

巅峰突破

解：V3a«3b=2x6=12=3c,

a+b=c,故B错误；

V3a«3=2x3=6=3b,

•••a+l=b,故A正确；

(3b)2=36=3^3=36,

.\2b=c+l,故C正确;

V32a+1=12=3c,

-,.2a+l=c,故D正确.

故选B.

2、解：(a-b)2n(b-a)(a-b)m1

=-(a-b)2n+1+

=-(a-b)29

故选：B.

3、解：(x2-nx+5)(x2+x+7m)

=x4+x3+7mx2-nx3-nx2-7mnx+5x2+5x+35m

=x4+(1-n)x3+(7m-n+5)x2+(-7mn+5)x+35m,

根据题意得：l-n=O,7m-n+5=0,

解得：m=-且，n=l.

7

故选D.

4、解：A、(-3mn)2=9m2n2,故错误；

B、4X4+2X4+X4=7X4,故错误；

C、正确；

D、(a-b)(-a-b)=-(a