第四次授课-数形结合

xxxx教育_____学科个性化教学教案

授课时间：______年______月______日备课时间______年一月_____日

年级九课程类别一对一课时学生姓名

授课主题几何动点问题授课教师

教学目标理解和掌握几何动点问题的解决思路，提高解决问题的能力

教学

动点问题；几何难题如何加辅助线

重难点

教学方法讲练结合，引导学生主动思考

1、课程导入/错题讲解：

L2J点拨

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或

弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学

知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

教学过程

2.知识点讲解

一.添辅助线有二种情况□

1按定义添辅助线：学习札记

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取

中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往

是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫

做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

(1)平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

(2)等腰三角形是个简单的基本图形：

教学过程当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平

分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长

垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是

直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图

形。

(5)三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有

中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段

倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线

得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，

则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形:

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段

或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称

轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对

顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个

端点两两连结或过二端点添平行线

（7）相似三角形：

相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相

比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多

种浅线方法。

（8）特殊角直角三角形

当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直

角三角形三边比为1：1：V2；30度角直角三角形三边比为1：2；J3进行证明

（9）半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦--直

径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰,

木等组成一样

二.基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形

的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的

条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段

的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法

或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条

线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相

同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，

构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题

处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形

(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行

或中位线

(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的

辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为

问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

(1)在梯形内部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形内平移两腰

(4)延长两腰

(5)过梯形上底的两端点向下底作高

(6)平移对角线

(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。

(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。

(9)作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这

是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和

结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅

助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

(1)见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，

来沟通题设与结论间的联系。

(2)见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是

直角"这一特征来证明问题。

(3)见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用”切线与半径垂直〃这

一性质来证明问题。

(4)两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切

线可以找到与圆有关的角的关系。

(5)两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又

可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

作辅助线的方法

-：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，

使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行

线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件,

而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是

垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转

一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，

因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相

似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角

等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、

相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)

五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往

往是连心线或内外公切线。

七：切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，

条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与

直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相

反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为

辅助线。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。

如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为

辅助线，反之，亦成立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助

线。

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往

作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百

多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线

上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识

解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、

动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程

中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能

力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的

运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算

推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也

是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、

实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问

题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的

层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想;

（5）转化思想等.

一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，kWO）的函数，叫一次函数。

（存在条件：①两个变量x、y,②k、b是常数且k#0,

③自变量x的次数是1,④自变量x的是整式形式）

一次函数与正比例函数关系：正比例函数包含于一次函数，即正比例函数是一

次函数；正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。

一次函数性质：以下各条性质反之也成立。

①图像形：是一条直线。称为直线y=kx+b

②象限性：

当k>0、b>0时，直线经过第一、二、三象限，不过四象限。

当k>0、bVO时，直线经过第一、三、四象限。不过二象限

当k<0、b>0时，直线经过第一、二，四象限。不过三象限

当k<0、b<0时，直线经过第二，三、四象限。不过一象限

③增减性：当k>0时，直线从左向右上升，随着x的增大（减小）y也增大（减

小）

当kVO时，直线从左向右下降。随着X的增大（减小）y反而而减小（增大）

④连续性：由于自变量取值是全体实数，所以图像具有连续性。（没有最大或

最小值）

⑤截距性;

当b>0时，直线与y轴交于y轴正半轴（交点位于轴上方）

当bVO时，直线与y轴交于y轴负半轴（交点位于轴下方）

⑥倾斜性：Ik|越大，直线越靠向y轴，与x轴正方向的夹角度数越大，越陡。

⑦平移性；直线y=kx+b

当b>0时，是由直线丫=1«向上平移得到的。

当b<0时，是由直线丫=1«向下平移得到的。

⑧平行性：，当时，〃

待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从

而写出这个式子的方法，叫待定系数法。

用待定系数法确定解析式的步骤：

①设函数表达式为：y=kx或y=kx+b

②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程（组）

③解方程或组，求出待定的系数的值。

④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。

注意；正比例函数尸kx只要有一个条件就可以。而一次函数y=kx+b需要有两

个条件。

一次函数与一元一次方程的关系

一元一次方程ax+b=O（a,b为常数，且a#0）可看作一次函数y=ax+b的函数值

是0的一种特例，其解是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标，所以解一元一次方程

ax+b=O可以转化为当一次函数丫=2*+1）的值为0时，求相应自变量x的值，因此可以

利用图像来解一元一次方程。

求直线产kx+b与x轴交点时，可令y=0,得到一元一次方程kx+b=O,解方程得x=

—，则一就是直线产kx+b与x轴交点的横坐标。

反过来解一元一次方程也可以看作是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标的值。

一次函数与一元一次不等式的关系

一元一次不等式ax+b>0或ax+bVO（a,b为常数，且aWO）可看作一次函数

y=ax+b的函数值大于0或小于0的情形，所以解一元一次不等式可以转化为当一次

函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求相应自变量x的范围，因此可以利用图像来

解一元一次不等式。

一次函数y=kx+b,当y>0时,成为一元一次不等式kx+b>0;

一次函数y=kx+b,当y<0时，成为一元一次不等式kx+bVO;

kx+b>0的解集是一次函数y=ax+b的函数值为正值时的自变量x的取值范围，

对应函数图像在x轴上方；

kx+bVO的解集是一次函数y=ax+b的函数值为负值时，自变量x的取值范围，

对应函数图像在x轴下方。

一次函数与二元一次方程(组)的关系

每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，对应着一条直线；二元一次方

程组可以转化为两个一次函数，对应着两条直线。从“数”的角度看是解方程组的

过程，从“形”的角度看，解方程组可以看作两条直线交点坐标，因此可以利用图

像来解二元一次方程组。

二元一次方程kx—y+b=0(kWO)的解与一次函数y=kx+b(kWO)图像上点

坐标是----对应的。

3、例题分析：UL

1.(2012•常德)已知四边形ABCD是正方形，。为正方形对角线的交点，

方法与技

一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP,作CN_LDP于点M,且交直

巧

线AB于点N,连接OP,0N.(当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的

延长线上时，如图2)

(1)请从图L图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON,且

OP±ON；

(2)设AB=4,BP=x,试确定以0、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x

的函数关系.

Mp

鼠____________c

4NB卜---------亨义V

«图1n图2

(1)证明：如图1,

•..四边形ABCD为正方形，

教学过程，OC=OB,DC=BC,ZDCB=ZCBA=90°,Z0CB=Z0BA=45°,ZD0C=90°,

DC/ZAB,

VDP±CN,

/.ZCMD=ZD0C=90°,

NBCN+NCPD=90°,ZPCN+ZDCN=90°,

...ZCPD=ZCNB,

VDC/7AB,

:.ZDCN=ZCNB=ZCPD,

•.•在aDCP和4CBN中

/.△DCP^ACBN(AAS),

.*.CP=BN,

•在△OBN和△OCP中

.,.△OBN^AOCP(SAS),

.,.ON=OP,ZB0N=ZC0P,

:.NB0N+NB0P=NC0P+NB0P,

MPZN0P=ZB0C=90°,

.-.ON±OP,

即ON=OP,ON±OP.

(2)解：•.•AB=4,四边形ABCD是正方形，

...0到BC边的距离是2,

图1中，S四边形OPBN=SAOBN+SABOP,

_11

=,x（4-x）x2+力xx*2,

=4（0<x<4）,

SS

图2中，S0OBNP"APOB*△PBN

11

■,xxx2-&x（x-4）xx

1

--2X--x（x>4）,

'y=4（0<x<4）

<12

即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与X的函数关系是：［小冠X-X（X>4）.

2.已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边

所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立.

（1）如图（1）,当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想

PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；

（2）如图（2）,当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是

否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图（3）,当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）

画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结

论不必证明）

\

I国X__\JSI_./\\

DELEDC1p\

(1)(2)(3)

(1)解：①PE=PB,②PEJ_PB.

(2)解：(1)中的结论成立.

①•.•四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

/.CD=CB,ZACD=ZACB,

又PC=PC,

/.△PDC^APBC,

/.PD=PB,

VPE=PD,

/.PE=PB,

②：由①，得△PDCgZ\PBC,

ZPDC=ZPBC.(7分)

XVPE=PD,

:.ZPDE=ZPED.

/.ZPDE+ZPDC=ZPEC+ZPBC=180°,

/.ZEPB=360°-(ZPEC+ZPBC+ZDCB)=90°,

/.PE±PB.

(3)解：如图所示：

结论：①PE=PB,②PE_LPB.

3.已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、

BC于点E、F,垂足为0.

(1)如图L连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿4AFB和4CDE各

边匀速运动一周.即点P自A-F-BfA停止，点Q自CfD-E->C停止.在

运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,

当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm,abWO),已知A、C、P、

Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式.

EDAEDAED

BFCBFCBFC

图1图2备用图

解：(1)①..•四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,

NCAD=NACB,ZAEF=ZCFE,

TEF垂直平分AC,垂足为0,

.,.OA=OC,

/.△AOE^ACOF,

.,.OE=OF,

...四边形AFCE为平行四边形，

又•.•EF_LAC,

...四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,

在RtAABF中，AB=4cm,

由勾股定理得42+(8-x)2=x2,

解得x=5,

.*.AF=5cm.

2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形，也不能

构成平行四边形.

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

.•.以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA,

二,点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，

.\PC=5t,QA=12-4t,

.*.5t=12-4t,

4

解得t在，

以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒.

②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边

上.

分三种情况：

D如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；

ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；

iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ,即12-a=b,得

a+b=12.

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(abWO).

4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,

以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点0处时,

记Q的位置为B.

(1)求点B的坐标；

(2)求证：当点P在x轴上运动(P不与0重合)时，NABQ为定值；

(3)是否存在点P,使得以A、0、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在,

请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

(1)解：过点B作BCJ_y轴于点C,

VA(0,2),Z^AOB为等边三角形，

/.AB=0B=2,ZBA0=60o

.,.BC=A/3，OC=AC=L

即B(V3，1)；

(2)证明：当点P在x轴上运动(P不与0重合)时，不失一般性,

VZPAQ=Z0AB=60°,

:.ZPAO=ZQAB,

在aAPO和AAQB中，

/.△APO^AAQB（SAS）,

.•.NABQ=NA0P=90°总成立，

，当点P在x轴上运动（P不与0重合）时，NABQ为定值90°；

（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见A0

与BQ不平行.

①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

此时，若AB〃OQ,四边形AOQB即是梯形，

当AB〃OQ时，ZBQ0=90°,ZB0Q=ZAB0=60°.

又OB=OA=2,可求得BQ=J5，

由（2）可知，丝ZiAQB,

.-.0P=BQ=V3-

此时P的坐标为（-、门，0）

②当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，

此时，若AQ〃OB,四边形AOBQ即是梯形，

当AQ〃OB时，ZABQ=90°,ZQAB=ZAB0=60°.

又AB=2,可求得BQ=2、Q，

由（2）可知，ZiAPO经ZSAQB,

OP=BQ=2V5，

，此时P的坐标为（2«，0）.

综上，P的坐标为（-五，0）或（2M,0）.

0x

A

L"上

___乙VzVX

P

2Q

5.如图，在aABC中，点。是AC边上（端点除外）的一个动点，过点0

作直线MN〃BC.设MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角平分线于

点F,连接AE、AF.那么当点。运动到何处时，四边形AECF是矩形？并

证明你的结论.

二BC

解：当点0运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形.

证明：TCE平分NBCA,

，N1=N2,

又『MN〃BC,

/.Z1=Z3,

/.Z3=Z2,

.*.EO=CO,

同理，FO=CO,

/.EO=FO,

又『OAWJC,

:.四边形AECF是平行四边形，

•••CF是NBCA的外角平分线，

.*.Z4=Z5,

又•••N1=N2,

/.Z1+Z5=Z2+Z4,

又•.•Nl+N5+N2+N4=180°,

/.Z2+Z4=90°,

平行四边形AECF是矩形.

BC

4、随堂练习

L正方形ABCD中，点0是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一

/小

个动点，PE_LBC于E,PF_LDC于F.

（1）当点P与点0重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，

并证明你的结论；提示

（2）当点P在线段DB上（不与点D、0、B重合）时（如图②），探究（1）

中的结论是否成立？若成立eee写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中

的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.

教学过程

2.如图，一个直角三角形纸片的顶点A在NMON的边0M上移动，移动过程

中始终保持ABJ_ON于点B,AC_LOM于点A.NMON的角平分线0P分别交

AB、AC于D、E两点.

(1)点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理

由.

(2)点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于0P

所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊

的四边形？

(3)若NM0N=45°,猜想线段AC、AD、0C之间有怎样的数量关系，只写

出结果即可.不用证明.

3.如图，^ABC中，点P是边A