高中数学三角函数集中训练5篇

高中数学三角函数专题训练20题含答案

41.在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且sinB=2sinC,a2=c2+be.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求△ABC的周长1.

【答案】(1)解：因为sinB=2sinC,a2=c2+bc,

由正弦定理，得b=2c,a2=c2+be=3c2,

由余弦定理，得F=Z)2+c2—2bccosA^

所以3c2=4c2+c2-4c2-cosA,所以3c2=5c2—4c2•cosA

***cosA=又AE(0/兀)，

：.A=1

(2)解：由(1)可得a=Wc,b=2c,故c=含=当三8=1^,

,>,2点］4点OIO/Q

・・2=92+—^―+—^―=2+2V3・

42.已知角。的顶点为坐标原点0,始边为工轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点

P(x,y),若点P位于X轴上方且％+y=今

(1)求sin。—cos。的值；

(2)求sinV+cos，。的值.

【答案】(1)解：由三角函数的定义，cos0+sin0=sin0>0,

1

两边平方，得cos?。+sin20+2sin0cos0=7

q

则2sin8cos6=—彳<0，sin。>0,cosO<0,

4

所以sin。-cosO>0,

sin0—cos0=V1-2sin0cos0=冬

(2)解：由(1)知，sin0cos0=—

o

QOQ

sin40+cos40=(sin20+cos20)2—2sin20cos20=1-2x瓦二克.

43.设函数/(%)=2cos2%+2百sinxcosx+其中m,xER.

(1)求/(%)的最小正周期；

⑵当xe[0,刍时，求实数m的值，使函数/(久)的值域恰为g,刍，并求此时/(%)

在R上的对称中心.

【答案】⑴解：由题设/(%)=cos2x+V3sin2x+m+1=2sin(2x+看)+m+1,

所以，最小正周期7=竽=兀.

(2)解:当=€[0,3,则2%+羟信，昌,故2sin(2x+$€[―1,2],

所以/(x)C[?n,m+3],故m=々时满足/(%)的值域恰为,1]，

此时/(x)=2sin(2x+看)+1，令2%+看=而，k&Z,则％=竽一各keZ,

所以f(x)在R上的对称中心为(竽-各|),k&Z.

44.某公园计划改造一块四边形区域ABC。铺设草坪，其中AB=2百米，BC=1百米,

AD=CD,AD1CD,草坪内需要规划4条人行道DM,DN,EM,EN以及两条排水沟

AC,BD,其中M,N,E分别为边BC,AB,AC的中点.

(1)若乙4BC=90。，求排水沟8。的长；

(2)当乙4BC变化时，求4条人行道总长度的最大值.

【答案】(1)解：因为乙4BC=当AB=2,BC=1,

所以AC=有，所以。。=孚，

因为ZABC=^ADC=当

所以：乙BAD+乙BCD=兀，

可得：cosZ-BAD=-cosZ.BCD,

在^BCD中：BD2=BC2+CD2-2BC-CD•3s乙BCD,

ttABAD中：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cos48Ao=AB2+AD2+2AB•AD•

cos乙BCD,

解得：BD=蜉,即排水沟8。的长为孥百米；

乙乙

(2)解：设乙ABC=a,乙BAC=B，z.ACB=y,

由余弦定理得：AC2=5-4cosa.

在△ABC中，由正弦定理：热=益，得sin0=豢，

TTTT

连接DE,在△MOE中，NMED=6+/,cosNMED=COS(。+舒=—sin/?,

9

由余弦定理：222+与+-

DM=ME+DE-2ME-DE-cos^MED=14C4

sina—cosa,

同理：DN2=>+sina—cosa,

设力=sina-cosa=V^sin（a—力，ae（0,兀），则tW（1,V2],

所以£）村+0例+后村+后用=修+t+t+t+t'

\4\22

该函数单调递增，所以t=&时，DN+OM+EN+EM最大值为楙(2+/),

所以4条走道总长度的最大值为|(2+遮)百米.

45.某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75。的方向上，距离为12遍海里，在A处

看灯塔C在货轮的北偏西30。的方向上，距离为8次海里，货轮由A处向正北航行到D

处时，再看灯塔B在南偏东60。方向上，求：

(1)AD的距离;

(2)CD的距离.

【答案】(1)解：在AABD中，由已知得NADB=60。，B=45°

ABSinB12乃x亭

由正弦定理得AD=SinZADE=24

T

(2)解：在小ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD«ACcos30°,解得CD=86.所

以A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为86海里.

46.在A71BC中，角4B,C所对的边分别a,b,c,月.bcosA+acosB=2ccos4

(1)求角A的值;

(2)已知。在边BC上，且BD=3DC,AD=3.求△ABC的面积的最大值

【答案】(1)解：在△ABC中因为bcos力+acosB=2ccosA.

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,

所以sin(4+B)=2sinCcosA,

因为4+B+C=n,所以sin(4+B)=sinC.故sinC=2sinCcosA

又C是△ABC的内角，所以sinC^O.从而cosA=：.

而A为A/BC的内角，所以A=*

(2)解：因为前=3觉所以前一荏=3(前一而》所以而=/荏+*前，

从而9=^AB2+得灰2+.左=9=熹2+第2+得灰，

由基本不等式可得：9>lbc+^bc=^bc,当且仅当卜=竽，c=475时等号成立，

故44BC的面积的最大值为*x16x浮=4V3-

47.在a/BC中，角4B,C所对边分别记为a,b,c.条件①：得各=言明为；条

1—C0Si4l+cos28

件②：sinCsin(8-4)=sinfisin(C-4).从条件①、条件②这两个条件中选择一个作

为已知.

(1)证明：B=C；

(2)求~~c-+急的最小值•

・>sinA_sin28

【答案】(1)证明：若选①,

*1-cos/l-l+cos2F,

.sinA_sinBcosB

'1-cosA-COS2F

・sinZ_sinB

・,1—cosA-cosBf

.\sinAcosB=sinB—cosAsinB,

...sin(4+8)=sinB,

AsinC=sinS,

又B、C为△ABC的内角，

：.B=C.

若选②，VsinCsin(F—A)=sinFsin(C—4),

/.sinC(sinBcos?l—cosBsinA)=sinB^sinCcosA—cosCsinA),

.\sinCsinBcosA—sinCcosBsinA=sinBsinCcosA—sinBcosCsinA,

/.—sinCcosBsinA=-sinBcosCsinA,

显然sinA>0,AsinCcosB=sinBcosC,

AsinCcosB—sinBcosC=0,

Asin(C-F)=0,

又8、C为△ABC的内角，

：.C-B=0,

：.B=C.

(2)解：由(1)可知B=C,所以Be(o,刍，所以cosBe(0,1),

由正弦定理可得也也+/=2sin”nB1

ccosBsinecosB

_2sin(3+C)+sinB1_2sin(23)+sinB1

sinCcosB-sinBcosB

_4sinFcosB+sinB1

-sinBcosB

=4cosBH——，+1>24cosB——，+1=5，

cosB\coso

当且仅当4cosB=^^时，即cosB=*时，等号成立，

所以与他+急的最小值为工

48.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos24—cos2B=SsinBsinCcosA.

(1)证明：tanA=-3tanB；

2

(2)若△ABC的面积为土,求B.

6

【答案】(1)证明：由COS2A-COS2B=8sinBsinCcosA,△ABC的内角A,B,C,

则cos[(A+B)+(4—B)]—cos[(X+8)—(A—B)]=SsinBsinCcosA,

=>—2sin(i4+B)sin(A—B)=SsinBsinCcosA,sin(4+B)=sinC>0,

=—sin(4—B)=4sinBcoSi4,

=-sinAcosB+cos/lsinB=4sinBcos?l,

=>—sinAcosB=3sinBcosA,

=>tanA=-3tanB.

（2）解：由题意SMBC==（，结合正弦边角关系有3sin8sinC=sinA,且

sin(i4+8)=sinC,

=3sinBsirii4cosB+3sinBcos?lsinF=sinA=tanA=

1—3sinBcosB

________3sin2B________

siMB—3sin8cosB+cos28'

=-3tanF=——汽？B_=tan2B—2tanB+1=0=tanB=1，而0°<B<180°,

tan2B-3tanB+l

所以B=45°.

49.在平面直角坐标系中，将曲线Ci向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点

的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的④得到曲线C2,以坐标原点。为极点，龙轴的正

半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为p=4cosa.

（1）求曲线的的参数方程；

（2）已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周

长的最大值，并求周长最大时点M的坐标.

【答案】（1）解：由。=4cosa得p2=Apcosa

将《二士y代入,整理得曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,

Vpcoscc—X

设曲线Cl上的点为(£,V),变换后的点为(％,y)

r

x=x-2[7广)2代入曲线的的普通方程，整理得

由题可知坐标变换为1,,即

.y="

曲线C2的普通方程为等+产=1，

•・•曲线。2的参数方程为需(。为参数)•

(2)解：设四边形MNPQ的周长为1,设点M(2cos。，sind)(0<6,

I=8cos3+4sin0=4y/5(^=cos6+-j=sinO')=4V5sin(0+<p).

且COS0=9,sin(p=y=,

0<0<•­<p<0+(p<^+(psin(^+(p)<sin(6+0)W1,

,'1^max—4A/5.

且当e+<p=3时，1取最大值，此时e，一,

所以，2cos8=2sincp=浜,sin。=coscp=-j=,此时M(4黄,

50.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知加讥8-csinC=a.

(1)证明：B-C=J

(2)若4=至a=2®求△ABC的面积.

【答案】(1)证明：因为bsbiB-csinC=a,所以-si/。=§讥/,

所以siziBsiri(4+C)—sinCsin^A+B)=sinA.

所以siziB(sizMcosC+cos^sinC)—sinC^sinAcosB+cosTlsinF)=sinA,

&jisinBsinAcosC-sinCsinAcosB=sinA.

因为在△ABC中4、B、CE(0,TT),所以sizh4H0,BPsinBcosC-sinCcosB=1,

故sin(B—C)=1.即B—C=当

(2)解:由(1)可知B—C=当

因为4=全所以B+C=§^.则8=各。=各

由正弦定理可知「」=&=三=4.则b=4sinB.c=4sinC.

sinAsmBsinC

故^ABC的面积S=^bcsinA=4V3sinFsinC=4V3cosCsinC=2V3sin2C=V3.

51.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.在下列三个条件①沅=(sin4

-£),n=(2cos2A,2cos4)，且沅〃元；②asinB=V3bcosA;(3)cos2B+cos2c=

cos2/1+1—sinBsinC中任选一个，回答下列问题.

(1)求A；

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

【答案】(1)解：选择条件①，因为而=(sin4-分元=(2cos2428s4),且沅II五，

所以sinA•2cosA+亨x2cos24=0，

即sin2A=-V5cos24,所以tan2A=-V3»

由△ABC为锐角三角形可知0<4(/则0<24<兀，

故24=等4=全

选择条件②，因为asinB=y/3bcosA>由正弦定理可得sinAsinB=bsinBcosA，

由△ABC为锐角三角形可知0<B<去所以sinBAO,

贝kin力=V3cosyl,即tanA=V3,

由△ABC为锐角三角形可知0V4V*故4=*

选择条件③,因为cos?B+cos2C=cos24+1—sinBsinC,

所以1—sin2B+1-sin2C=1—sin2714-1—sinBsinC,

BPsin2B+sin2c—sin2X=sinBsinC,

由正弦定理可得M+c2—次=2

根据余弦定理可得cosA=日生三贮=1,

2bc2

由△/BC为锐角三角形可知0<4(号故4=*

(2)解：因为a=2,由(1)可得4=等

所以根据余弦定理可得4=b2+c2—2bccos为=b2+c2—be>2bc—be—be,当且仅

当b=c=2时，等号成立，满足条件.

1旦

<-X4X=

则SAABC=ybcsinA-22

故4/BC面积的最大值为百.

52.已知△ABC中，AB=2,D为AB中点，CD=a•

(1)若BC=CD,求AC的长度；

(2)若AC=2BC,求包吆擎的值.

sine

【答案】(1)解：在中，由余弦定理得,

BD2+CD2-BC2

cosZ-BDC=

2BD-CD冬

cosz.ADC=-COSZ.BDC=-号'

在4/DC中，AC2=AD2+CD2-2AD-CDcos^ADC=4,

所以AC的长度为2.

(2)解：设BC=x,则AC=2x,在AACD和△ACB中分别利用余弦定理得

.4X2+1-24X2+4-X2

8sA=2-2XX1=2-2xx2'

解得％=等(负根舍).

因为乙4DC+NBDC=兀，

所以sinZj4DC=sinZ.BDC,

在△BCD中，由正弦定理得包吆攀=强=弊，

smBCD5

即sin乙4DC_71^

sinB-5

53.在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.点D为BC边的中点，已知c=2通,

2asinCcosB=asinA-bsinB+苧bsinGcosZ-CAD=需・

(1)求b；

(2)求△ABC的面积.

【答案】(1)解：因为2asinCcosB=asinA—bsinB+监bsinC，

由正弦定理得2accosB=小—块+字儿，

由余弦定理得2ac.修出!=一X+写反，

2ac2

所以°=期，

又因为c=2近，所以b=4；

(2)解：因为荏+照=2万，

所以荏=2而-左，即说2=4而2_4而•石+前2,

O

因为cos乙C/D=Q»

o

所以20=4\AD\2-4\AD\x4x1+16，

化简得2|而|2-3|砌-2=0，解得：|而|=2或|砌=-；(舍去)，

因为sinz_D4C=J1—($2=

所以S“DC=||AD||^C|sinZD/lC=Jx2x4x^p=苧，

所以SUB。=ZS^ADC=2x^p=V55.

54.在锐角△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知gtanAtanC=tanA+

tanC+V3.

(1)求角B的大小:

(2)求cosA+cosC的取值范围.

tanA+tanC_总tan+tanC一点_一点(1—tan/tanC)

【答案】(1)解：tan(A+C)==­V3j

1—tan?ltanC-1—tan^tanC-1—tanAtanC

又A+C=71—3,所以tan(4+C)=tan(/r—B)=-tanB=-V30tanB=W，

由于B为三角形的内角，所以8=多

(2)解：由于B=*所以A=^—C，

]A/31

故cosA+cosC=cos(羊—C)+cosC——cos。+勺sinC+cosC=)cosC+

竽sinC=cos(C—今,

由于△ABC为锐角三角形，所以A=冬—Ce(0,刍且Ce(0,刍，故CC%刍，

则。_界(_S，凯故cos(C冶)C埠，]],

故cosA+cosC的取值范围为(亨，1]

55.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosBcosC+bcosAcosC=*

(1)求角C；

(2)若c=6a+b=5,求△ABC的面积.

【答案】(1)解：由已知及正弦定理，

得cosC(sinAcosB+cosAsinB)=sinC,即2coscsin(4+8)=sinC.

故2coscsinC=sinC,可得cosC=,,VCe(0,zr),・"=可；

⑵解：由已知及余弦定理得，小+房一2abeosC=7,又a+b=5,C=

故小+b?—ab—(Q+b)2—3ctb—25—3ab—7,因此,ub—6,

**•△4BC的面积s=^absinC=

56.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且国尻0$4找=csinB.

(1)求C；

(2)若a+b=V5c，求sinA.

【答案】(1)解：由正弦定理=//，得V5sinBcos"g=sinCsinB，

因为BE(0,冗)，贝UsinBH0,所以遮cos"^=sinC,

因为4+B+C=n9所以cos(4当=cos(^一苧)=sin|-.

所以A/5sin^=2sin^cos^.

因为C6(0,zr)，则异(0,分可得sin亨00,所以3彳=亭

则%?所以c=)

(2)解：方法一：因为a+b=b，由正弦定理三=&=当，得sin4+sinB=

sin/isin/jsine

V3sinC=2r

因为4+B=7T—^=咨，

所以sinA+sinB=sinA+sin(冬—A)

.y[3.1..3..\/3./o-rAI3

=sinA+-yC0Si4+ySinA=5sinA+5-cos/=V3sin(4+K)=亍

即sin(4+看)=冬

因为46(0,n),则4+看€合普)，所以4+[=]或竽,

所以4=看或与故sinA=寺或1.

方法二：因为C=*由余弦定理得c2=。2+属一/(*)，

将c=学g+6)代入(*)式得/(a+b)2=a2+b2-ab,整理得2a2-5ab+2b2=0,

因式分解得(2a—h)(a—2b)=0,解得a=2b或b=2a,

①当a=2b时，c=V3b,

所以C=4卫P+3叱4b2=o,

2bc2同2

因为Ae(0,兀)，所以A=F，

②当b=2a时，C=V3a，

所以34=的萨4a2+3a2-a2_73

—473^—=Y

因为/e(0,兀)，所以4=1,

所以sinA的值为④或1.

57.记△ABC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c.

(1)求4

(2)若点。在BC边上，且CD=2BD,cosB=亭'求tan/BAD.

【答案】(1)解：因为bcosA-acosB=b—c,

由余弦定理可得匕./+。2-。2_&内产下=b-c'

2bc2ac

22

化简可得M+c-a=bc，由余弦定理可得cosA=12+c2-a2=1(

2bc2

因为0cz<7T,所以，71=1.

(2)解：因为cosB=辛，贝为锐角，所以，sinB=-cos?'=J1一咯2=络

因为4+B+C=7r,所以，。=竽—B,

所以‘sinC=sin(穹一B)=sin等cosB—cos等sinB=绰又理+Jx号=4+:，

v3733232326

设=贝丘。4。=冬-。，

B

D

A

在△9和MCD中，由正弦定理得照=磊=嘴，=黑=需，

因为CD=2BD,上面两个等式相除可得前sing—。)=(3+遍)sin。，

得遍(字cos。—^sin0)=(3+份)sin。，即&cos。=(24-V6)sin0,

万

所以，tanz_BAD=tan0=-'厂=V3—V2.

2+J6

58.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Q<c,sm(1-?4)cos(1+/I)=

(1)求4；

(2)若/?=b，asinA4-csinC=4y/3sinB^求△4BC的面积.

【答案】⑴解：sin^-A)cos(^+A)=cos匿一g—孙血(1+4)=cos2(^+A)=

cosg+2A)+1i

2二4，

(或s讥6-A)cosg+A)=cosA—isinA)(^-cosA-^sinA)

DO乙乙乙乙

ncos(^+24)+11,,7T,_1

=cos2(^+/1)=-----巧-----=T・・cos(j+24)=-［，

•・CJ4,•兀/兀ICA/7TT•兀ICA2TT"Ue兀।—A47r

•0VA<TT,+2AV""S"，・+24=-3-或W+2A=

解得4=5或A=Va<c,'A<5,.,・/=看.

7T/—

(2)解：由(1)知4=&,asinA+csinC=4y/3sinB，

由正弦定理得a?+c2=4V36=12,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bc-cosA<BP12-c2=3+c2-275c.冬

整理得2c2-3c-9=0,

由c>0得c=3,

,■S4ABe=besinA=x>/3x3x；=—^—•

59.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，±+「7=工

tan/1tancsinn

(1)证明：b2=QC；

(2)若b=2,当角B取得最大值时，求△ZBC的面积.

【答案】(1)证明：因为占+4=工，所以警+警=」示，

tanAtanCsinns\nAsmcsinn

所CjCOsAsinC+sirh4cosc_1

sinAsinC-sinB'

所以sin4+’=<,所以.sfB3

sin/sinCsinBsmAsmCsmB

所以sin?B=sinAsinC,由正弦定理得必=ac

(2)解：cosB-丑2=a2+c2―ac型*工,(当且仅当a=c时等号成立),

Lac2acLac2

则当a=c时,cosB取得最小值④，

又Be(0,兀)，所以角B最大值为半

此时△ABC为等边三角形，所以△4BC的面积为百.

60.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=a?—be.

(1)求4；

(2)若bsinA=4sinB,且Igb+Ige>1—2cos(B+C),求4ABC面积的取值范围.

【答案】(1)解:因为米+c2=a2—be,

所以用+c2—a2=—be-

由余弦定理得cos/=与怔=

2bc2

因为0<4V江，

所以4=咨.

(2)解：由bsinA=4sinB及正弦定理,得ab=4b,

所以a=4,

由余弦定理得，a2=b2+c2—2bccosA>2bc+be,

所以尻w学

当且仅当。='=竽时，等号成立，

因为Igb+Ige>1-2cos(B+C),

所以lg(bc)>1+2cosA=0,则be>1,

所以14be工学，

因为△ABC的面积为鼻csinZ=申~bc.

L4

所以△力BC面积的取值范围是停，珀.

高中数学三角函数专题训练20题含答案

1.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c，且a=5,b=8,设犷与诙的夹角

为仇

(1)当"鄂寸，求c及△4BC的面积；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数/(。)=2cos2。+

0)-75cos2。的最大值与最小值.

条件①：0Wcos。Wsin。；条件②：0<CA-CB<20V2.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)解：由余弦定理得，

c2=a2+62-2abeos。=52+82—2x5x8xcos^=49,

所以c=7,

][IT

△ABC的面积S=7absin。=x5x8xsin^=1073.

(2)解：/(O)=1+cos2(J+0)-V3cos20

71「

=1+cos(2+20)—v3cos20

=1-sin20—V5cos26

1.73

=1-2(-2sin20H—cos26)

=1-2sin(20+.

选择条件①：

因为owcosewsin。，所以

所以手W20+肄等，一堂wsin(2J+$W

即0<1+V3.

故f(6)max=l+b，/2)min=0-

选择条件②：

因为0<CA-CB<20V2>CA-CB=bacosd-4Ocos0,

所以OWcosJS孝,故

所以考W20+肄筝一9wsin(26+94,

即0</(6)<1+V3.

故f(O)max=1+6，/(0)min=0-

2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

已知2acosB=2c+b,△ABC的面积为2遍.

(1)求A；

(2)若b—c=2,求△ABC的周长.

【答案】(1)解：由正弦定理得，2sinAcosB=2sinC4-sinF.

/+B+C=7T,

••・2sin?lcosB=2sinBcosA+2cosBsin/l+sinB

由sinB>0可得cosA=—

又0VA<TT,/.A=-y.

(2)解：由题意可得^■bcsin/l=2次，Abe=S-

又b-c=2,-，

lc=2

由余弦定理得次=ft2+c2-2bccosA=16+4—2x4x2x(—》=28,

:.a=2V7.

・•.△4BC的周长为6+2V7.

3.已知函数f(%)=2cos2%+V3sin2x+m

(1)求/(%)的最小正周期.

(2)若/(%)在区间[0,刍上的最小值为2,求/(%)在该区间上的最大值.

【答案】(1)解：由已知得/(x)=cos2x+1+V5sin2x+m=2sin(2x+看)+m+1,

・••/(x)最小正周期为竿=兀

⑵解:当xe[0,今时，2x+5唬，:，

・••/（X）的最小值为2sin普+m+1=2

:.m=2,

：.f（x）在该区间上的最大值为2sin^+2+1=5,

当2x+3。即x=如寸可以取到.

OZO

4.在四边形4BC。中，AB//CD,AD-sin^ADC=2CD-sin^ABC.

(1)求证：BC=2CD.

AB

【答案】（1）解：证明：在△4CD中，由正弦定理得4。・5讥乙4DC=4C-sin乙4CD,

因为4B//C。，所以=-sin/-ADC=AC-sin^CAB,

在△ABC中，由正弦定理得，EPXC-sinz.CAB=BC-sin^ABC,

所以AZ)-sinz.ADC=BC-sin^ABC.

又4。-sinZ-ADC=2CD-sin乙ABC,

所以BC=2CD.

(2)解：在△48。中，由正弦定理得4。•sin/ADB=AB7讥2■力BD

AB-sin60°,

所以sinZ_4BD=sin60°,

所以448。=60°或120°,

①当448。=60°时，贝IJNBDC=60°,

在△BCD中，由余弦定理得，BD2-BD-3=0,解得BO_1+V13

~~2~,

V39+V3

此时四边形ZBCD的面积s=+CD)xBDxsin60。------二，”,

2

②当NABD=120°时,则zBCC=120°,

在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD-3=0,解得§0=)同,

此时四边形ZBCD的面积s=+CD)xBDxsinl20°=闻会区

5.在平面直角坐标系中，已知角a的顶点与原点0重合，始边与无轴的非负半轴重合，

它的终边过点P(|,-1).

(1)求sina的值.

(2)若角口满足sin(a+0)=坐，求cos/?的值.

【答案】⑴解：由角a的终边过点P(|,一$得sina=-小

(2)解:由角a的终边过点P(|,得cosa=|，

由sin(a+0)=争得cos(a+0)=±提

cos0=cos[(a+0)-a]=cos(a+S)cosa+sin(a+P)sina,

当cos(a+0)=/时，cos0=：x|+苧x(-3=3]:八.

当cos(a+/?)=-凯寸，cosp=-+孚x(一$=*含

6.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC,其中斜边BC的长度为400米.为迎接“五一”

观光游，计划在边界BC上选择一点P,修建观赏小径PM,PN,其中M,N分别在边界4B,

AC上，小径PM,PN与边界BC的夹角都为60°.区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区

域4MPN内种植月季花.

(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值?请说明理由.

(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN,当点P在何处时，三条小

径PM,PN,MN的长度之和最小？

参考数据：s讥75。="⑹

4

【答案】(1)解：因为△ABC为等腰直角三角形，小径PM,PN与边界BC的夹角都为60。,

所以在△BPM中，MMP=180。-45。-60。=75。，由正弦定理可得疆=赤的

即PM=si®•y=(遮一I)PB.同理可得PN=(V3-1)PC.

sin75

故PM+PN=(逐-1)(PC+PB)=(V3-1)BC=400(73-1).

所以观赏小径PM与PN的长度之和是定值.

(2)解：在中，由余弦定理可得MN2=PM2+PN2-2PM-PNCOS60。，

2

即MN2=(PM+PN)2-3PM-PN>(PM+PN)2-3x,

所以

由(1)知PM+PN=400(73-1).

故MN>200(73-1)，当且仅当PM=PN=200(遮-1)时等号成立，

故当点P在BC的中点时，三条小径PM,PN,MN的长度之和最小，为600(百一1)米.

7.在①a+acosC=\p3csinA,②(a+b+c)(a+b-c)=3ab,③(a—b)sin(B+

C)4-bsinB=csinC.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在A/IBC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c.

（1）求角C的值;

（2）若角C的平分线交4B于点D,且CD=2b，求2a+b的最小值.

【答案】（1）解：选择条件①.

va+acosC=V3csinA,

••・由正弦定理，得si几4+sinAcosC=y/3sinCsinA

•・•sinAW0

:.1+cosC=V3sinC,:.WsinC—cosC=1,

即坐sinC—^cosC=J,s讥(C—看)=；

n

八)6/n,「7TJ5TT.7T_7T.r—

.0<C<7T,一不<C-q<丁••RC-&-召，..C-子

选择条件②.

由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=a2+b2+2ab-c2=3ab,

••a2+b2-c2=ab.

则由余弦定理，得cosC=次+"-c2=也=L

C0SL2ab2ab2

选择条件③.

,**y4+D+L=719:•B+C=71—Af

结合(a-b)sin(B+C)+bsinB=csinC,得(a-b^sinA+b-sinB=csinC.

由正弦定理，得(a-b)a+b2=。2,即a2+M-c2=ab.

则由余弦定理，得c°sC=^W=^=4

2ab2ab2

71

,'C=3

(2)解：在△ABC中S“BC=•b•sin60°.

在△AC。中，S^cD=；CO­b・s讥30°,

在△BCD中，SABCD=1(?D-a-sin30".

］

所以S—BC=S2ACD+S^BCD=2ab=Q+b

1

=-11

a+=

11b2

+07=a+3-+-b2a「

2a(2ab-2=2(3+-+-j-)>6+4V2

当且仅当a=2+/，b=2+2奁，时"=”成立.

2a+b的最小值为6+4a

8.已知函数/(%)=1—2cos2(x+勺-y/3cos2x.

(1)求函数f(x)的增区间；

(2)方程/(%)=m在［0,刍上有且只有一个解，求实数机的取值范围.

【答案】(1)解：因为/(%)=1-2COS2(%+$—V5COS2%,

所以/(%)=-cos(2x+^)—y/3cos2x,

即/(%)=sin2x—V3cos2x=2sin(2x—

令一+2/CTT42x—接《1+2/CTT,(kGZ),

得一-^2+kn<x<+kjtf(k6Z),

所以函数/(%)的增区间为［一金+/C7T,修+攵扪，(kGZ)；

⑵解：方程/(%)=血在［0,刍上有且有一个解，

即函数y=/（%）与函数y=m在[0,舒上只有一个交点，

因为xe[0,J],

所以一*2%74等

由（1）,可知函数y=f（x）=2s讥（2%-今在[0,驾]上单调递增，在居，身上单调递

减，

且/（0）=2sin（-J）=-V3,懵=2,喷=V3,

所以—遮<m<遮或m=2.

9.在△ABC中，角4、B、C所对的边分别是a、b、c.且在吗锣£=且也二专.

smCa2+c2-b2

（1）求角B的大小；

（2）求sinZ+sinC的取值范围；

⑶若C=%,BC=2,。为BC中点，P为线段4。上一点，且满足丽•前=0.求4P

的值，并求此时△BPC的面积S.

【答案】（1）解：由正弦定理及弛"/匹=吐也话，得生£=必找M，

smOa2+c2—hc

即的_]=2a2—a2+j丁2=2a2,化简得a?+c2-庐=数，故cosB=

ca2+c2-b2a2+c2-b2

2

a2|c2^i

2ac-2

7T

义BG（0,〃），故8=孑

（2）解：由（1）知，4+。=等，

故sirM+sinC=sinA+sin（等-4）=sinA+苧cosZ+asinA

=怖sin/+-^-cosA=V3sin（i4+、）•

乂0<A<等,则看V4+看V患,V3sin（?l+看）W（苧，8],

故s讥A+sinC6（孚，V3]-

（3）解:如图,

B

O

C

'-'BPCP=0>：.PB1PC,'：BC=2,。为BC中点，：.P0=1,

a=2,.,.AC=2y/3>AB=4,■'-AO=J(2V3)2+l2=713-AP=V13-1.

设4。CP=a,贝iJzCOP=兀-2a,

-,-sina=^=^PB，cosa=^=

，S=gpBxPC=2sinacosa=sin2a，

在直角△AC。中，sinZ-COA=sin(n—2a)=sin2a=篇==胃要，

.,.当AP=辰-1时，ABPC的面积S为第I

10.记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已好请=有瑟鬻.

(1)求C；

(2)若后+©2—＜V5bc，求，的取值范围.

【答案】(1)解：因为它=si啜s吗,所以由正弦定理可得注£=空,

bsinA+sinCbQ+C

整理得小+反—=—ab

故由余弦定理得cosC=-‘2=_1,

2ab2

又0＜c＜兀，所以c=称.

(2)解：因为sinB=sin(A+C),

所以2=包电=sinQ4+C)=sirh4cosc+cos/sinCr,sinC

asin4sinAsin/=cosC+^M

由(1)知。=争

所以°一1

a-2+1■面7

因为而+c2—a2＜代be，

所以34="贮＜手

又易知。＜4吗所以小吗

所以tanAE（孚，苗），日焉€（坐，

所以T+学.焉C（0,1），

故号的取值范围是（0,1）.

11.条件①acosC-：c=b；@（b+c）2=a2+be；③sin（Z-看）=-2cosA中任选一

个，补充在下面的问题中，并求解.

问题：AZBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.

（1）求角A的大小；

（2）若siMB+sin2c=1—求角B的大小.

【答案】若选①，因为acosC-=匕，由正弦定理可得2sinAcosC-sinC=2sinB=

2sin（A+C）,即2sinAcosC—sinC=2sinAcosC+2cosAsinC,所以一sinC=2cosAsinC,

因为sinC