2020-2021学年温州市高一年级上册期末数学试卷(A卷)(含解析)

2020-2021学年温州市高一上学期期末数学试卷(A卷)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知全集。={123,4,5},集合4={3,4},1={1,2,3},则(Q4)CB等于()

A.{3}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3}

2.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值3,那么f(x)在区间上是()

A.增函数且最小值为3B.增函数最大值为3

C.减函数且最小值为-3D.减函数且最大值为-3

3.点P(触碱雨，旃融醇:位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

—l,x<0

4.函数sgn(x)=0,%=0叫做符号函数,则不等式x+(x+2)sgn(x+1)W4的解集为()

,1,%>0

A.(-<»,1]B.(-1,1)C.(-1,1]D.[-1,1]

5.已知函数/。)=/+£1%2-9%+1,下列结论中错误的是()

A.3%0eR,f(xg)—0

B.“a=3”是“-3为/(乃的极大值点”的充分不必要条件

C.若配是/(x)的极小值点，则/(%)在区间(xo,+8)单调递增

D.若3是f(x)的极值点，则/(%)的单调递减区间是(-1,3)

6.若%>0,y>0,贝iJ2x+：+y+/的最小值是()

A.3V2B.4V2C.4D.2

7.2003年至2015年北京市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，将年份作为自变量X,当

年电影放映场次作为函数值y,下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年

变化规律的函数是()

2003年2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年

A./(%)=ax2+bx4-cB.f(x)=⑪+b

C.f(x)=eax+bD./(%)=£

8.函数/■(*)=3sinx+cosx的最大值为()

A.2^2B.2C.V10D.4

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列命题中正确的是（）

A.第三象限角必大于第二象限角

B.命题：“Vx>0,x2>0"的否定为：3x<0,x2<0

C.“ab>0”是%>0”的充要条件

D.函数fQ)=x+±(x>-1)的值域为［1,+oo)

10.在平面直角坐标系xOy中，已知点4（1,遮），若将点4绕原点按顺时针旋转。弧度，得到点B（x（）,yo）,

记/（。）=沏+丫0，。⑻=2*0、0,则下列结论错误的有（）

A./（。）=2夜cose—0）

B.不存在。，使得/（。）与g（。）均为整数

C.产⑹-8g（8）=2

D.存在某个区间（a,b）（a<b）,使得/（0）与g（0）的单调性相同

11.在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记联）

录后显示的图象如图所示.给出下列说法，其中正确的是（）

A.前5min温度增加的速度越来越快

B.前5min温度增加的速度越来越慢

C.5m讥以后温度保持匀速增加

D.5m出以后温度保持不变

E.温度随时间的变化情况无法判断

12.如果实数a<b<0,则下列不等式中成立的为()

B.占<5C.£>1D.

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

21_1

13.计算：(一0.1)°+卷*2，+(；)8-108327-坨25-坨4=—；

14.对于下列结论：

①设。为第二象限角，则taW>cosg,Ksin1>cos|;

②函数f(x)=sin|x|是最小正周期为”的周期函数；

③函数y=sin(2x+》图象向右平移g个单位得到y=sin2x的图象；

④函数y=cos2%+sinx的最小值为-1.

其中结论正确的序号有.

15.用铁皮围成一个容积为4m3的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为血2.(注：铁

皮厚度不计，接缝处损耗不计)

16.已知函数/(%)=°，g(x)=kx-l,若方程/(%)-g(x)=0在％G(一2,2)有三个实

根，则实数上的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知全集U={x|l<x<8且xeN*},集合A={1,2,5,7),B={2,4,6,7},求AnB,(C(；A)UB,

An(CyB).

18.已知函数f(x)=2cos2x+2y/3sinxcosx.

(1)求函数/(x)在区间上的值域；

(2)在AABC中,若/'(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(/l+C),求tanA的值.

19.已知函f(x)是偶函数，而且在(0,+8)上是增函数，判断/Q)在(-8,0)上是增函数还是减函数,

并证明你的判断.

20.根据相关资料得出甲、乙两种产品利润与投入资金x(万元)的数据分Q

别如表和图所不：印匕1

40［：：

-0|36100*

X20406080

P33363942

其中已知甲的利润为P=ax+b,乙的利润为Q=c+dx。，其中a,b,c,d,aeR.

(1)分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x(万元)的函数解析式；

(2)将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万

元，设对乙种产品投入资金m(万元)，并设总利润为y(万元)，如何分配投入资金，才能使总利

润最大？并求出最大总利润.

21.已知函数/(%)=缶♦

(1)判断函数g(x)=/(x)-1的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域；

(2)判断函数g(x)单调性(无需证明)，若实数ni满足g(zn)+g(m-2)>0,求实数m取值范围.

22.(1)已知lWm<4,-2<n<3,求m+n,rnn的取值范围；

(2)若对任意x6R,|尤+2|+|x-1|>a-/+2%恒成立，求a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解:由U=口,2,3,4,5},集合4={3,4},

•••CuA={1,2,5},又C={1,2,3},

•••(QA)CB={1,2,5}n{1,2,3}={1,2}.

故选艮

直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案.

本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型.

2.答案：D

解析：解：由奇函数的性质可知，若奇函数f(x)在区间［1,5］上是减函数，且最小值3,

则那么f(x)在区间［-5,-1］上为减函数，且有最大值为-3,

故选：D.

根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.

本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础.

3.答案：D

他施略喇'=tanjfe瞩an9ft>0,

解析：试题分析：.:...»........,

颦域=EWf|:W*沪就憎航'||=M燎=-■?»螃碘

所以点P(恤虑喇，*的醇:位于第四象限。

考点：三角函数值符号的判断；诱导公式。

点评：熟练掌握三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

4.答案：A

解析：

本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.

当x<-1时,x+1<0,不等式可化为一2<4,恒成立；当x=-1时,x+1=0,不等式可化为-1<4,

恒成立；当%>-1时，x+1>0,不等式可化为2x+2W4,解得久W1.由此能求出不等式％+(x+

2)sgn(x+1)<4的解集.

(—1,%<0

解：•・,函数sgM%)==0叫做符号函数，

(1,%>0

不等式％+(x+2)sgn(x+1)<4,

二当x<一1时，%+1<0,不等式可化为一2<4,恒成立；

当x=-l时，x+1=0,不等式可化为一1S4,恒成立；

当4>-1时，x+1>0,不等式可化为2x+2W4,解得久W1,

所以此时一1<xS1.

综上不等式x+(x+2)sgn(x4-1)<4的解集为{x|x<1}=(-00,1].

故选：A.

5.答案：B

解析：

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

根据函数单调性与极值，一一判断即可.

解：f'(x)=3x2+2ax—9,

•••A=4a2+108>0,

/'(x)=。有两个不相等的实数根，

设*1，型是两个实数根，且的<X2・

则函数/(X)在(一8,打)，(%2,+8)单调递增；在(Xi，X2)上单调递减.

可得A,C正确.

对于D：若3是的极值点，

尸(3)=0,解得a=-3,

则/''(4)=3(x+l)(x-3),

可得/(x)的单调递减区间是正确.

对于B.a=3时，r(x)=3(x-l)(x+3),可得一3为f(x)的极大值点，

当一3为/(%)的极大值点时，/(—3)=0,得到a=3,

因此“a=3”是“一3为/(x)的极大值点”的充要条件.

综上可得：只有B是错误的.

故选：B.

6.答案：A

解析：解：因为x>0,y>0,

所以2%+以+y+——(2,x+~)+(y+—)>212x,—+2/y•—2V2+V2=

当且仅当2x=：且y=*即x=y=当时取等号，

所以2%+/y+点的最小值是3后

故选：A.

将所求式子重新组合，然后利用基本不等式求解最值即可.

本题考查了利用基本不等式求解最值问题，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、

二定、三相等，属于中档题.

7.答案：D

解析：解：由图象可知在第一象限内，y是关于x的增函数，

当：>0时，y=2在第一象限内是减函数，

当2<0时，y=上在第一象限内没有图象，

aax

故y=2最不适合.

故选：D.

根据函数在第一象限内是增函数进行判断.

本题考查了函数的单调性判断，属于中档题.

8.答案：C

解析：

本题主要考查了辅助角公式，三角函数的最值问题，属于基础题.

利用辅助角公式得到f(%)=VTOsin(x+<p),求出最大值.

解：/W=3sinx+cosx=V10sin(x+q))>tancp=

即X+0=]+2/OT时，/Xx)的最大值为VTU.

故选C.

9.答案：CD

解析：

本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的推理判断能力，难度不大.

根据条件分别判断每个命题的真假即可.

解：4a=一零是第三象限角，£=点是第二象限的角，

则第三象限角必大于第二象限角不成立，故A错误,

B.命题：“Mc>0,/NO”的否定为：3x>0,x2<0,故B错误，

C.ab>0,等价为a,b同正或同负，，>0也等价为a,匕同正或同负，

则“ab>0”是3>0”的充要条件，故C正确，

1

D.f(%)=%+1+—1，当x>—1时，x+1>0,

则/(x)=x+l+^-l>2^(%+1)-^-1=2-1=1，

当且仅当x+1=W，即％+1=1，*=0时取等号，

即/(%)的值域是[1,+8),故£>正确，

故选：CD.

10.答案：BC

解析：解：由力(1,6)知4为角W终边上一点，所以B(2cosC-0),2sin©-。)).

所以=2sin(^-0)+2cosc_0)=2&sin(g-0+力=2&sin塔-0)=2鱼85*一0).故

A选项说法正确.

g⑼=4sin(|-O)cos©-。)=2sin(y-2。).当。=押,/(。)=2,g(6)=0,故B选项说法错误.

当e=3时,/(0)=2y[2,g(0)=2,/'2(。)-8g(。)=一822,故C选项错误.

对于g(。)，当一三〈与—2。<会即看<。〈工时，g⑹单调递减；

对于f(0),当一兀<卷一。<0,即看<。<等时，八。)单调递减；

所以/⑻与9⑹都在区间华，强上单调递减，。选项说法正确•

故选：BC.

利用三角函数的定义得出B点坐标，进而得出/(。)与g(。)的函数解析式，结合三角函数的图象与性

质判断选项正误.

本题考查三角函数的定义，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，属于综合题.

11.答案：BD

解析：解：温度y关于时间t的图象是先凸后平，

即5min前每当t增加一个单位增量△t,

则y相应的增量△y越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0,

所以选项A、C和E错误，选项8和。正确.

故选：BD.

函数图象的变化趋势呈先凸后平，由此分析y相应的增量随着增量At的变化情况，即可得解.

本题考查函数的实际应用，能根据函数图象的变化，将理论与实际相联系是解题的关键，考查逻辑

推理能力，属于基础题.

12.答案：BC

11a11

析

解

解-b->1>

a3<3b--一

a匕

由a<ai<0,可得

./O错误，8c正确.

故选：BC*

利用不等式的基本性质即可判断出大小关系.

本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

13.答案：0

解析：

本题考查指数与指数幕的运算及对数与对数的运算法则，根据题意利用指数与指数幕的运算及对数

与对数的运算法则即可得到结果.

»2flY1

解：原式=1+23x23+--3-(lg25+lg4)

=1+2+2-3-IglOO

=1+2+212

=0.

故答案为0.

14.答案：④

0

-7-T

解析：解：①，若。为第二象限角，则?+2时<。<兀+2时,22k&Z,

则:为第一或第三象限角，sing>cosg不一定成立，故①错误；

②，函数=不是周期函数，故②错误；

③，函数y=sin(2x+》图象向右平移5个单位，得到丁=411［20-9+g=5也(2%一》的图象，

故③错误；

④，函数y=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-(sinx-1)2+当sinx=-1时取最小值为—1,

故④正确.

其中结论正确的序号有④.

故答案为：④.

利用三角函数的图象与性质逐一核对四个命题得答案.

本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象与性质，是中档题.

15.答案：12

解析：解：设该正四棱柱形水箱底面边长为x,则高为妥，设需用铁皮的面积为y,

则y=x2+x+-^x4=x2+y(x>0),

［处理方法一：求导］

由y=%2+学知=2x—苔=安，

当xe(0,2)时，/<0,

当Xe(2,+oo)时，y'>0,

所以函数y=/+?在区间(0,2)单调递减，在区间(2,+8)单调递增，

当x=2时，函数y=M+?取得最小值，最小值为12,

即需用铁皮的面积至少为12^2.

［处理方法二：三元均值不等式］

y=x2+—=x2+-+->33x2----=12,

XXXXX

当/=色=5,即刀=2时，不等式等号成立.

XX

即需用铁皮的面积至少为12m2.

设该正四棱柱形水箱底面边长为无，需用铁皮的面积为y，则y=x2+x+^x4=x2+?(x>o),

处理方法一：利用导数求函数最值:

处理方法二：三元均值不等式.

本题考查导数的实际应用，考查利用导数研究函数的最值，考查数学建模的核心素养，属于中档题.

16.答案：(l,i+/n2)U(|,2)

解析:解：当％=0时，/(0)=0,g(0)=-1,则/(%)-g(%)=0不成立,

即方程/(%)-g(%)=。没有0解.即/(%)=g(x)没有0解，

①当%>0时，xlnx=kx—lf即Zx=x，nx+1,则々+

设九(%)=Inx+则九'(%)=妥.

由〃(x)>0得1<%<2,此时函数递增，由九'(%)V0得0<xV1,此时函数递减,

故当％=1时,函数九(%)取得极小值h(l)=1.

当％=2时，/i(2)=1+ln2,当0时，/i(x)t+8,

②当％<0时，x2+4x=/ex-1,HP/cx=%24-4%+1,则k=x+1+4,

设m(x)=%+《+4,则

由?n'(x)>0得％>1(舍)或％<-1,此时函数递增,

由根'(%)<0得一1V%<0,此时函数递减，

故当x=-1时，函数m(x)取得极大值?n(-l)=2.

1a

当x=-2时，m(—2)=-2--+4=当x-0时，zn(x)->—oo,

作出函数“为和m(x)的图象如图：

要使方程/Q)-9。)=0在x6(-2,2)有三个实根,

则k€(l1+仇2)U(|,2),

故答案为：(l,|+/n2)U(|,2),

利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和

最值，利用数形结合进行求解即可.

本题主要考查函数根的个数的问题，构造函数，利用导数研究函

数的极值以及利用数形结合是解决本题的关键.属于难题.

17.答案:解：因为集合4={1,257},B={2,4,6,7).

所以4CIB={2,7},

因为全集U={%|1<x<8且xGN*},

则CM={346,8},CuB={1,3,5,8),

所以(Q4)UB={234,6,7,8},An(QB)={1,5}.

解析：由题意和交、补、并集的运算依次求出AnB,(Gp4)UB,ACi(CuB).

本题考查交、补、并集的混合运算，属于基础题.

18.答案：解：(l)/(x)=2cos2x+2y/3sinxcosx=>/3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+-)+1.

6

(1)由一；WxWg,得一+

O3ooo

-1<sin(2x+^)<1,则ye［0,3］；

(2)v/(C)=2,•••2sin(2C+》+1=2,

•••sin(2C+9=;，

oz

•・•0<CV71,・••mV2C+mV2/r+g

666

则2C+U，C=p

66J

v2sinB=cos(i4-C)—cos(4+C)=2sinAsinC,

:.sin(4+C)=sinAsinC,

即：sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC,

即：tanA=..:?冗=

sinC-cosCsm--cos-x±_l2

解析：(1)利用二倍角的正弦函数与余弦函数以及两角和的正弦函数.化简函数为一个角的一个三角

函数的形式，由久的范围求出相位的范围，则函数f(x)在区间［-9自上的值域可求；

(2)在△4BC中,利用/(C)=2,求出C的值，通过sinB=cos(4—C)-cos(A+C)利用两角和与差

的三角函数化简，推出tanA与C的正弦函数与余弦函数的关系式，求出结果即可.

本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，求解函数/(乃的值域的求法，考查转化思

想以及计算能力，是中档题.

19.答案：解：/(x)在(—00)上是减函数(1分)

证明：设与<x2<0则一尤1>-x2>0(3分)

•."(X)在(0,+8)上是增函数

•••/(一/)>/(—*2)(7分)

又/(x)是偶函数

•1•/(-xi)=/(xi).y(-x2)=/(x2)

f(Xl)>/(%2)

/(X)在(一8,0)上是减函数(12分)

解析：用单调性定义来证明，先在给定区间上取两个变量，且界定大小，不妨设/<x2<0则有>

"%2>0，

再由“/(%)在(0,+8)上是增函数”可得到/(一/)>/(一%2)，然后由“/(%)是偶函数”转化为

/(Xl)>/(X2)>再由单调性定义判断•

本题主要考查奇偶函数在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函

数在对称区间上的单调性相同.

20.答案:解：(1)由甲的数据表结合模型P=ax+b,代入两点(20,33)(40,36),

有｛年2=缪得。=枭b=30,

140a+b=3620

■2

即p=*+30,x>0,

由乙的数据图结合模型。=c+d%。，代入三个点(0,40),(36,58),(100,70),

c+0=40

可得：c+d•36。=58,解得c=40,d=3,a=|,即Q=40+3«,%>0；

c+d・100a=70

(2)根据题意，对乙种产品投资m(万元)，对甲种产品投资(300-巾)(万元)，

那么总利润y—~(300—in)+30+40+3yfrn———4-3y/rn+115,

由普^7S,解得75WmW225,

(300-m>75

•••y-+3Vm+115,令t=Wme[75,225],^Lt6[5V3,15]，

则y=+3t+115——高(£-10)2+130,

・•・当t=10,即％=100时,ymax=130,

答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元.

解析:⑴由甲的数据表结合模型P=ax+b,代入两点(20,33)(40,36)求出a与b,可得P=*+30,

x>0,由乙的数据图结合模型。=c+dx%代入三个点(0,40),(36,58),(100,70),解得c与d,

可得Q=40+34，x>0；

(2)根据题意，对乙种产品投资m(万元)，对甲种产品投资(300—巾)(万元)，那么总利润y=-^m+

3标+115,利用换元法结合二次函数的性质求解表达式的最值即可