高二（上）期末数学试卷（理科）

高二(上)期末数学试卷(理科)

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题(共9题，共45分)

1、以点(5,4)为圆心且与x轴相切的圆的方程是()

A.(x-5)2+(y-4)2=16

B.(x+5)2+(y-4)2=16

C.(x-5)2+(y-4)2=25

D.(x+5)2+(y-4)2=25

【考点】

【答案】A

【解析】解：由题意得：圆的半径-4,则所求圆的标准方程为：(x-5)2+(y-4)2=16.

故选A.

【考点精析】利用圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知圆的标准方程：

(X-骁?=’；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程.

2、直线11：(a+3)x+y-4=0与直线I2：x+(a-1)y+4=0垂直，则直线11在x轴上的截距是()

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】

【答案】B

【解析】解：,直线11：(a+3)x+y-4=0与直线12：x+(a-1)y+4=0垂直，/.(a+3)+a-1=0,

a=-1,

直线11：2x+y-4=0,

・・•直线11在x轴上的截距是2,

故选：B.

【考点精析】通过灵活运用截距式方程，掌握直线的截距式方程：已知直线？与X轴的交点为A(0»0),

与尸轴的交点为B(0，b),其中“,匕，°即可以解答此题.

3、圆C1：(x-1)2+(y-3)2=9和C2：x2+(y-2)2=1,M,N分别是圆C1,C2上的点，P是直线y=

-1上的点，则|PM|+|PN|的最小值是()

A.5J?-4

B,7^-1

C.6-2

D.

【考点】

【答案】A

【解析】解：圆C1关于y=-1的对称圆的圆心坐标A(1,-5),半径为3,圆C2的圆心坐标(0,2),

半径为1,

由图象可知当P,C2,C3,三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，

|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

即：|AC2|-3-1=J1+49-4=51/2_4.

故选:A.

4、一束光线从A(1,0)点处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是()

A.x+2y-2=0

B.2x-y+2=0

C.x-2y+2=0

D.2x+y-2=0

【考点】

【答案】B

【解析】解：由反射定律可得点A(1,0)关于y轴的对称点A，(-1,0)在反射光线所在的直线上，再

根据点B(0,2)也在反射光线所在的直线上，

土+2

用两点式求得反射光线所在的直线方程为-12=1,即2x-y+2=0,

故选:B.

5、完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是()①从30件产品中抽取3件进行检查.

②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学

的建议，拟抽取一个容量为300的样本；

③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意

见，需要请28名听众进行座谈.

A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

C.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

【考点】

【答案】D

【解析】解：①中，总体数量不多，适合用简单随机抽样；②中，某校高中三个年级共有2460人，其中

高一890人、高二820人、高三810人，适合于分层抽样；

③中，总体数量较多且编号有序，适合于系统抽样.

故选D.

6、有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖

机会大的游戏盘是（）

【考点】

【答案】D

121

【解析】解：在A中，中奖概率为3在B中，中奖概率为R4,

21

在C中，中奖概率为％3,

I

在D中，中奖概率为8.

二中奖机会大的游戏盘是D.

故选：D.

7、抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）

1

A.999

1

B.1000

999

C.1000

1

D.2

【考点】

【答案】D

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果

1

等可能出现，故所求概率为'故选D

8、直线、J3x+y-3=0的倾斜角为（）

n

A.6

n

B.3

2n

c.T

DW

【考点】

【答案】c

【解析】解：直线甲x+y-3=0可化为y=-x+3,..■直线的斜率为

设倾斜角为a,则tana=-,

又TOWa<n,

2n

a=3,

故选：C.

【考点精析】本题主要考查了直线的倾斜角的相关知识点，需要掌握当直线I与X轴相交时，取X轴

作为基准，X轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾斜角.特别地,当直线I与X轴平行

或重合时，规定a=00才能正确解答此题.

9、为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m

和n,两人计算X相同，也相同，则下列说法正确的是（）

A.m与n重合

B.m与n平行

C.m与n交于点（,）

D.无法判定m与n是否相交

【考点】

【答案】C

【解析】解：两个人在试验中求出变量x的观测数据的平均值都是％,变量y的观测数据的平均值都是丫，

,这组数据的样本中心点是（，），

:回归直线经过样本的中心点，

-'-m和n都过（，），

即回归直线m和n交于点（，）.

故选：c.

二、填空题(共4题，共20分)

10、在无重复数字的五位数ala2a3a4a5中，若a1Va2,a2>a3,a3<a4,a4>a5时称为波形数，

如89674就是一个波形数，由1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是.

【考点】

2

【答案】15

【解析】解：由1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数，基本事件总数为：X45=120,

.•.五位数是波形数，

；.a2>a1、a3；a4>a3、a5,；.a2只能是3、4、5.

①若a2=3,则a4=5,a5=4,a1与23是1或2,这时共有A22=2个符合条件的五位数.

②若a2=4,则a4=5,a1、a3、a5可以是1、2、3,共有A33=6个符合条件的五位数.

③若a2=5,则a4=3或4,此时分别与(1)(2)情况相同.

工满足条件的五位数有：m=2(A22+A33)=16个,

w16_2

--

二由1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是p=«12015.

所以答案是：.

11、一批10件产品，其中有3件次品，7件正品，不放回抽取2次，若第一次抽到的是正品，则第二次抽

到次品的概率.

【考点】

1

【答案”

【解析】解：一批10件产品，其中有3件次品，7件正品，不放回抽取2次，第一次抽到的是正品，则第

一次抽取后还剩9件产品，其中有3件次品，6件正品，

31

二第二次抽到次品的概率p=9-3.

所以答案是：.

12、已知点A(-2,3)、B(3,2),若直线I：y=kx-2与线段AB没有交点，则I的斜率k的取值范围

是.

【考点】

【答案】(一司

【解析】解：根据题意，直线I：y=kx-2与线段AB没有交点，即A(-2,3)、B(3,2)在直线的同侧，

y=kx-2变形可得kx-y-2=0,

必有[k(-2)-3-2)]X[k(3)-2-2]>0

解可得：ke,

所以答案是.

【考点精析】解答此题的关键在于理解二元一次不等式(组)所表示的平面区域的相关知识，掌握不

等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部.

13、在(\一用广。的展开式中，x6的系数是.

【考点】

【答案】1890

【解析】解：在的展开式中通项为中城飞严"故x6为k=6,即第7项.代入通项公式得系数

为.Got=90106=1890

所以答案是：1890.

【考点精析】本题主要考查了二项式定理的通项公式的相关知识点，需要掌握二项式通项公

式：Tr+1=c>B-，b，<r=0'1....n)才能正确解答此题.

三、解答题(共5题，共25分)

14、已知圆0的方程为x2+y2=5.

1

(1)P是直线y=》x-5上的动点，过P作圆。的两条切线PC、PD,切点为C、D,求证：直线CD过定

(2)若EF、GH为圆0的两条互相垂直的弦，垂足为M(1,1),求四边形EGFH面积的最大值.

【考点】

【答案】

1u

%=不$-5

(1)证明：设P(x0,y0),贝IJ2,

由题意，OCPD四点共圆，且直径是0P,

伍4+'_科=闾也丫

其方程为I2)I2)V2V12J,即x2+y2-xOx-yOy=O,

.丫+/_评_,或=0

由〔炉+”=5,得：x0x+y0y=5.

直线CD的方程为:x0x+y0y=5.

与5b=5

又，12)，即(2x+y)X0-10(y+1)=0.

2x+j=0«X~2

由［"1=0,得：=

直线CD过定点加

2

(2)解：设圆心0到直线EF、GH的距离分别为d1、d2,则+屏=OM=2

.|EF|=24-此|GH|=2j5一点

故S皿耳附|幽=2心-幻(5-因)“5_用+(5-姆)=10(片+姆)=8

当且仅当5一点=5-q,即d〔=d2=1时等号成立.

二四边形EGFH面积的最大值为8

【解析】G)设P的坐标，写出以0P为直径的圆的方程，与圆方程联立即可求得直线CD的方程，结合P

1

在直线y=2x-5,利用线系方程证明直线CD过定点；(2)设圆心0到直线EF、GH的距离分别为d1、I【考

点】

【答案】

(1)解：由2m+m—l=O,得：m=-l

二”方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+5-2m=0(m£R)表示直线

.'.m2-2m-3x2m2+m-1不同时为0,-1

,m2—2m—3WO1

{2m=—

(2)解：方程表示的直线与x轴垂直，，2m+m—1=0,2

_5

(3)解：当5-2m=0,即'”=2时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0

52m-52m—5

2

当'"'7时，由m2-2m-32m+m-l^:m=-2

【解析】(1)由，得：m=-1,方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+5-2m=0(m6R)表示直线，可得m2

-2m-3、2m2+m-1不同时为0,即可得出.(2)方程表示的直线与x轴垂直，可得，(3)当5-2m=0,

即时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0.当时，由，解得：m.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用一般式方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直线

的一般式方程：关于*，▼的二元一次方程出+划+°=°(A,B不同时为0).

16、设(x+2)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(nGN*,n22)，且aO,a1,a2成等差数列.

(1)求(x+2)n展开式的中间项;

(2)求(x+2)n展开式所有含x奇次塞的系数和.

【考点】

【答案】

⑴解：心户一2,.rx2.一1—x2

2nx2B^=2B+^^x2,*'2=>n2-9n+8=0

,.,aO,a1,a2成等差数列，J.2

解得：n=8或n=1（舍去）

(x+2)n展开式的中间项是与VZfJl120/

(2)解：在(％+2”=。0++a2%2+…+a/'中

令x=1,则38=a0+a1+a2+a3+'"+a7+a8

令x=-1,则1=aO-a1+a2-a3+…-a7+a8

两式相减得：2(勺+q+5a7)="1

=3280

【解析】（1）利用通项公式及其aO,a1,a2成等差数列.可得n.进而得出.（2）在中，分别令令

x=1,x=-1,即可得出.

17、某工厂组织工人技能培训，其中甲、乙两名技工在培训时进行的5次技能测试中的成绩如图茎叶图所

示.（I）现要从中选派一人参加技能大赛，从这两名技工的测试成绩分析，派谁参加更合适；

（II）若将频率视为概率，对选派参加技能大赛的技工在今后三次技能大赛的成绩进行预测，记这三

次成绩中高于85分的次数为&,求&的分布列及数学期望.

中乙

77

S637

。|7

【考点】

【答案】解：（I）

74+86+87+91+9277+86+83+87+97。/

-------------------------------=ob,Xr=--------------------------------=OO

5七5

4=1[(74-86)2+(86-86)2+(87-86)2+(91-86)2+(92-86)2]=41Jl

22

4=*[(77-86)2++-86)+(87-86)+(97-86)[=42_5—=—6y?

1P=i

派甲去更合适.（ID甲高于85分的频率为•••每次成绩高于85分的概率5（由题意知&=0,1,

4

尸("。)=4)(咱=*P(5)f5［最。3

明（词盘,3）=啕小,,分布列为

…c1.12c48“6412

ES=Ox+lx——+2x+3x=——

1251251251255

【解析】(I)由茎叶图分别求出甲、乙两人的平均数和方差，由此能求出结果.(II)甲高于85分的频

44

_P=-

率为5,每次成绩高于85分的概率/-5,由题意知&=0,1,2,3,由此能求出自的分布列及数学期望.

【考点精析】利用茎叶图和离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案，需要熟知茎叶

图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为

一个主干(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干

后面的几个数，每个数具体是多少；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以

按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型

随机变量X可能取的值为x1,x2......xi........xn,X取每一个值xi(i=1,2.......)的概率P(&二xi)

=Pi,则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列.

18、为了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取100柱该植物进行检测，得到该植物高度

的频数分布表如下：

(I)写出表中①②③④处的数据；(H)用分层抽样法从第3、4、5组中抽取一个容量为6的样本,

则各组应分别抽取多少个个体？(III)在(II)的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个体

进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第3组的概率.

【考点】

①

—=0^6

100