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微积分讲义设计制作5/10/2024§2.6两个重要极限（一）极限存在的准则

（二）两个重要极限5/10/2024（一）极限存在的准则【定理2.11】（准则１又称夹逼定理）

证因为所以从某一时刻以后，恒成立，第二章极限与连续若在某一变化过程中，系，三个变量总有关且，则下列两个不等式即5/10/2024所以也就是证毕。例1证明

证当时，由再根据准则1，得证毕。第二章极限与连续即又由得5/10/20244:51AM例2证明

证由和准则1，即证毕。第二章极限与连续得5/10/2024【定义】单调数列设数列若对如何正整数，称数列为单调增加数列；若对如何正整数，称数列为单调减少数列。第二章极限与连续恒有恒有单调增加数列单调减少数列单调数列5/10/2024【定理2.12】（准则2）单调有界数列必【定义】有界数列若存在两个常数和，

例数列是单调增加的数列，且，第二章极限与连续意正整数，为有界数列。使对任恒有则称数列有极限。（证明略）则此数列有极限，5/10/2024几何解释

说明在准则2中第二章极限与连续对单调减少数列，只要求有下界即可。对单调增加数列，只要求有上界即可；5/10/2024第二章极限与连续5/10/2024

例3求

解利用夹逼准则且第二章极限与连续所以5/10/2024

（二）两个重要极限

证当圆心角时，△AOB的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积即第二章极限与连续5/10/2024证毕。得到是偶函数

例4计算

解第二章极限与连续5/10/2024例5计算

解例6计算

解第二章极限与连续5/10/2024证先证数列的情况，第二章极限与连续利用二项式定理5/10/2024第二章极限与连续5/10/2024比较可知又根据准则2可知数列有极限。第二章极限与连续5/10/2024记此极限为e，e为无理数，其值为再证当时，第二章极限与连续即设5/10/2024而故第二章极限与连续5/10/2024故当时，综合两式得第二章极限与连续令则5/10/2024若在极限中，得极限的另一种形式第二章极限与连续令这种数学模型在实际中非常有用，“银行计算复利问题”。例如设本金为，利率为，期数为，如果每期结算一次，则本利和为5/10/2024

例7计算

解第二章极限与连续如果每期结算次，期本利和为若立即产生立即结算，即。5/10/2024例8计算

解第二章极限与连续5/10/2024内容小结2.两个重要极限（重要的是形式）1.极限存在的准则夹逼准则单调有界数列必有极限

中是相同的变量第二章极限与连续作业P9322-275/10/2024备用题

1.填空题第二章极限与连续5/10/2024

2.填空题（2006）

解（2005）

解第二章极限与连续5/10/2024

3.计算

解因为故第二章极限与连续和差化积公式5/10/2024

4.证明

证利用夹逼准则且所以证毕第二章极限与连续5/10/2024

5.设求

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