高中数学数学文化鉴赏与学习数学与建筑教师版

数学与建筑数学与艺术之数学与建筑建筑中往往涉及到数学中的几何知识，因为角度、距离等都是建筑中必须考虑的问题，同时建筑中还是的美学、力学等知识．中午不少有名的建筑和一些著名的几何体，也和我们高中数学知识相关呢．一、好题赏析例1．1．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（

）A．1539块 B．1863块C．3402块 D．3339块例2．2．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为，则圆柱的体积为（

）A． B． C． D．二、小试牛刀3．东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（

）A．69 B．40 C．35 D．234．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的底面边长为48mB．正四棱锥的高为4mC．正四棱锥的体积为D．正四棱锥的侧面积为5．攒尖顶是中国传统建筑屋顶表现手法，多用于面积不大的建筑，如故宫的中和殿．攒尖根据脊数多少，分三角攒尖顶、四角攒尖顶、六角攒尖顶、八角攒尖顶，具有较强的艺术装饰效果．一建筑屋顶想采用攒尖形式，有三种设计方案，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，若将三种方案中屋顶分别看成正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥的侧面，且各正棱锥底面面积相同，各正棱锥侧面与底面所成角相等．那么三种设计中正棱锥侧面积最小的为（

）A．三角攒尖 B．四角攒尖 C．八角攒尖 D．面积一样大6．江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑．因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）．小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量．如图，测量仪器高，点与滕王阁顶部平齐，并测得，，则小张同学测得滕王阁的高度为（

）A． B． C． D．7．八角红楼是某校现址上最早的教学大楼，她是一座三层的教学楼，中间是四层的八角楼，也是该校最具历史意义的一幢建筑.“以八角红楼为标志，绿树红墙，借锡惠、运河之景，形成大气、优美之校园环境”是该校校园的整体规划指导思想，因此在此后的综合教育楼等校园建筑的设计中，大多都以坡屋顶、八角顶和八角红楼相呼应，形成了现在该校校园建筑的整体风格，给无数校友和国内外来宾留下了深刻的印象，为迎接建党100周年及110年校庆，学校考虑更换楼项红瓦，考虑到拼接重叠、各种可能的其他损耗及后期维护需要，准备按楼顶面积的1.5倍准备红瓦，八角红楼的楼顶可近似看成正八棱锥，正八棱锥的底面边长约为2m，高约为m.已知红瓦整箱出售，每箱50片，每片规格为20cm×30cm，则学校至少需要采购红瓦（

）A．10箱 B．11箱 C．12箱 D．13箱8．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（

）A． B． C． D．9．法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高，底宽，则塔身的表面积（精确到是（可能用到的参考数据：，A． B．C． D．10．第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中（，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于C，，若米，米，，，，，则的长约为（

）A．27米 B．28米 C．29米 D．30米11．墨斗由墨仓､线轮､墨线（包括线锥）､墨签四部分构成，是中国传统木工行业中极为常见工具.墨斗通常被用于测量和房屋建造等方面.它的原理是用浸有墨的蚕丝线在木石上画下印记.小明受墨斗线的启发，设计了如图所示的装置.其中是一根棉线，两端固定在垂直的架子上并能在所在的一支自由滑动，下面垫有一张白纸.现小明在线段上随机点下一滴墨并上下拖拽，，则白纸上的墨迹可能是下列哪种曲线的一部分？（

）A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆12．蜂巢结构精密，是通过优胜劣汰的进化自然形成的．单蜂巢的横截面为正六边形，有人研究发现，蜂巢横截面结构和科学论证的最“经济”平面简单结构完全一致，最“经济”平面简单结构同时满足以下两点：（1）横截面图形由全等的正多边形组成，且能无限无缝隙拼接（称此正多边形具有同形结构）；（2）边长为1的单个正边形的面积与边数之比最大．已知具有同形结构的正（）边形的每个内角度数为，那么．给出下列四个结论，其中正确的是（

）A．； B．正三角形具有同形结构；C．具有同形结构的正多边形有4个； D．与满足的关系式为．13．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点（、、三点共线）处测得楼顶．教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．14．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体，下建筑是长方体．假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，，，，，，（长度单位：米）．则大成殿的体积为______（体积单位：立方米）．15．半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为，则此石凳的体积是________．16．窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则__________；的值为__________．17．铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.（1）若时，求的长；（2）当是多大时，求面积的最大值.参考答案：1．C【分析】首先，根据题意转化为已知等差数列的公差求，再求的值.【详解】由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以.故选：C2．C【分析】先由球的体积求得球的半径，再根据圆柱的体积公式可求得答案.【详解】解：因为该球的体积为，设球的半径为R，则，解得。所以圆柱的体积为：，故选：C.3．B【分析】根据题意构造四面体C-ABD,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可.【详解】如图，根据题意，图中平面ABD,,中，，又平面ABD，是直角三角形中，，选项B正确，选项ACD错误故选：B.4．C【分析】在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，则为的中点，连接，则平面，，则为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，取，∴，则，，．在中，，解得，故底面边长为，正四棱锥的高为，侧面积为，体积．故选：C．5．D【分析】先分别表示出正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥的底面积，再求出对应的侧面积，结合已知条件即可求解【详解】设正三棱锥的底面边长为，底面中心到边的距离为，底面积为,侧面积为；设正四棱锥的底面边长为，底面中心到边的距离为，底面积为,侧面积为；设正八棱锥的底面边长为，底面中心到边的距离为，底面积为,侧面积为；，，，因为底面积相同，所以，因为侧面与底面的夹角相等，设为，所以正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥侧面每个三角形的高分别为，所以，，，又，所以，所以侧面积一样大，故选：D6．B【分析】由三角形的性质求得，得，然后由直角三角形中三角函数定义求得，从而可得滕王阁的高度．【详解】解析：中，，又，所以，则，，故小张同学测得滕王阁的高度为．故选：B．7．B【分析】根据正八棱锥的底面为正八边形，侧面为8个全等的等腰三角形，等腰三角形的高即为侧面的侧高，求得其侧面积即可.【详解】正八棱锥的底面为正八边形，侧面为8个全等的等腰三角形，等腰三角形的高即为侧面的侧高，如图所示：

∵，令，则，即，解得或（舍去）∴∴，∴所以学校至少需要采购红瓦11箱，故选：B8．C【分析】由题意先求出，再由余弦定理求解即可【详解】由题意可知：，，，由余弦定理得故选：C9．C【分析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥表面积公式求解．【详解】如图，正四棱锥，底面，，，则，所以，作，则所以该塔身的表面积故选：．10．B【分析】由已知求出半圆半径，再求出中各个角，利用正弦定理即可求解.【详解】，，，又，，所以，则，则半圆半径为，，，，又，所以，，，在中，由正弦定理可得，即，解得米.故选：B.11．CD【分析】构建坐标系，引入墨滴的坐标，求出其轨迹的方程即可.【详解】当墨滴在线段端点时，拖动的轨迹是直线的一部分，但没有答案可选，故考虑墨滴在线段中不包含端点的处，构建如图的坐标系，设，为定值，并过作轴，垂足为，由相似关系：，这里，则，则，，由，得到，又，故当时，轨迹是圆的一部分，，轨迹是椭圆的一部分.故选：CD.12．ABD【分析】由已知计算，可判断A；由已知得，，可以判断BCD.【详解】对于选项A，，故A正确；对于选项BCD，边形的内角和为，正边形的每个内角度数为，所以，又，故，故，所以，.所以BD正确，C不正确，故选：ABD.13．【分析】本题首先可以在直线三角形中求出米，然后在中利用正弦定理求出米，最后在直角三角形中通过即可求出结果.【详解】在直线三角形中，，即，解得米，在中，，，，则，即，解得米，在直角三角形中，，即，解得米，故索菲亚教堂的高度为米，故答案为：.14．6800【分析】首先将几何体进行分割，然后分别求得各部分的体积即可确定大成殿的体积．【详解】大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，其中长方体的体积，三棱柱的体积：，四棱锥的体积：，故大成殿的体积：．故答案为：6800．15．【分析】根据题意，该石凳是由棱长为cm的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，故由正方体的体积减去个三棱锥的体积，即可求解.【详解】解：由图可知：该石凳是由棱长为cm的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，该石凳的体积为：.故答案为：.16．

0【分析】建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，表示出、、点坐标，再根据三点共线，得到，即可求出、，即可求出、点的坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算计算可得；【详解】解：根据正方形的