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第一讲20232024年人教A版强基与技法专题基本不等式一、知识考点强基1.如果a,b∈R,那么a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).说明:(1)公式在实数范围内适用;(2)当且仅当a=b时,等号成立;(3)公式来源于a−b2.如果a>0,b>0,则a+b≥2ab,(当且仅当推论:a2变形:2(调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数,简记为“调几算方”).这个也被叫做基本不等式链,也可以拓展为多元形式:a+b+c说明:(1)不等式成立的条件:a,b都是正数.(2)“当且仅当”的含义:①当a=b时,a+b2≥ab②仅当a=b时,a+b2≥ab(3)口诀:一正二定三相等.3.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.例如:当x>0,y>0时,(1)如果和x+y=N,则当x=y时,积xy有最大值1(2)如果积xy=M,则当x=y时,和x+y有最小值2简记为“和定积最大,积定和最小”.4.常用技巧:利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆(分子次数高于分母次数)、除(分子次数低于分母次数))、代(1的代入)、解(整体解).①凑:凑项,例:;凑系数,例:;②拆:例:;③除:例:;④1的代换:例:已知,求的最小值.解析:.⑤整体解:例:已知,是正数,且,求的最小值.解析:,即,.二、典型例题技法【题型1】基础型例1.求函数y=x+1【题型2】凑项型例2.求函数y=x+1例3.若x>0,则函数y=x+12x+1的最小值为【题型3】“1”的妙用型例4.若正数x,y满足3x+1例5.已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值是,1a+4例6.已知a>0,b>0,且a+b=1,则3aba+4bA.310B.38例7.已知.x>0,y>0,且.2x+8y−xy=0,求:(1)xy的最小值;2x+y【题型4】和积互推型例8.已知x>0,y>0.若x+y+xy=8,则xy的最大值为.例9.已知x,y∈R,x²−xy+9y²=1,则x+3y的最大值为.例10.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30.求:(1)xy的最大值;(2)x+y的最小值.三、技法运用1.若,则有(

)A.最小值B.最小值C.最大值D.最大值2.已知,则的最小值为()A. B. C.20 D.43.若正实数,满足,则的最小值是(

)A.4 B. C.5 D.94.已知x>2,则函数的最小值为()A. B. C.2 D.5.若正实数满足,则()A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为6.已知,且,则的最小值为__________.7.已知,则的最小值为__________.8.已知正实数x,y满足,则的最小值为___________.9.正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是___________.10.正数x,y满足(1)求xy的最小值;(2)求x+2y的最小值.11.已知,

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