2023-2024年高中人教A版必修一强基与技法专题01基本不等式原卷版

第一讲20232024年人教A版强基与技法专题基本不等式一、知识考点强基1.如果a,b∈R,那么a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).说明：(1)公式在实数范围内适用；(2)当且仅当a=b时，等号成立；(3)公式来源于a−b2.如果a>0,b>0,则a+b≥2ab,(当且仅当推论：a2变形：2(调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，简记为“调几算方”).这个也被叫做基本不等式链，也可以拓展为多元形式：a+b+c说明：(1)不等式成立的条件：a，b都是正数.(2)“当且仅当”的含义：①当a=b时,a+b2≥ab②仅当a=b时,a+b2≥ab(3)口诀：一正二定三相等.3.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.例如:当x>0,y>0时,(1)如果和x+y=N,则当x=y时,积xy有最大值1(2)如果积xy=M,则当x=y时,和x+y有最小值2简记为“和定积最大，积定和最小”.4.常用技巧：利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.①凑：凑项，例：；凑系数，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代换：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.解析：，即，.二、典型例题技法【题型1】基础型例1.求函数y=x+1【题型2】凑项型例2.求函数y=x+1例3.若x>0,则函数y=x+12x+1的最小值为【题型3】“1”的妙用型例4.若正数x,y满足3x+1例5.已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值是,1a+4例6.已知a>0,b>0,且a+b=1,则3aba+4bA.310B.38例7.已知.x>0,y>0,且.2x+8y−xy=0,求:(1)xy的最小值;2x+y【题型4】和积互推型例8.已知x>0,y>0.若x+y+xy=8,则xy的最大值为.例9.已知x,y∈R,x²−xy+9y²=1,则x+3y的最大值为.例10.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30.求:(1)xy的最大值;(2)x+y的最小值.三、技法运用1．若，则有（

）A．最小值B．最小值C．最大值D．最大值2.已知，则的最小值为（）A. B. C.20 D.43.若正实数，满足，则的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．94．已知x＞2，则函数的最小值为（）A． B． C．2 D．5.若正实数满足，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为6.已知，且，则的最小值为__________.7.已知，则的最小值为__________.8.已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.9.正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是___________.10．正数x，y满足（1）求xy的最小值；（2）求x+2y的最小值．11．已知，