2022-2023学年湖北省直辖县级行政单位八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省直辖县级行政单位八年级第一学期期末数

学试卷

一.选择题（每小题3分，共30分）

I.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，

下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是

（）

2.目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，则这个数字用科学记数法表示正确的是

()

A.1.2X104B.1.2X10-4C.0.12X105D.0.12X10-5

3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）

XB.-2x1x+1

A.QC.-2-

x+2x+42x+lx

4.已知点尸（-1-2m5）关于x轴的对称点和点。（3,b）关于y轴的对称点相同，则A

（a,b）关于x轴对称的点的坐标为（)

A.(1,-5)B.(1,5)C.(-1,5)D.(-1,-5)

5.下列计算正确的是（）

a8

A.a1*a3=a6B.=a

~al

C.(-2ab2)3=-8〃06D.(2a-b)2=4a1+h2

6.已矢口x2-2x-1=0,贝ij2x3-6x2+2x+l=()

A.-1B.5C.-3D.1

7.如图，四边形ABC。中，A为边BC、CO垂直平分线的交点，已知/A=a,则

大小为（)

-a

B.90+aC.2aD.90+-^-

8.王珊珊同学在学校阅览室借了一本书，共240页，管理员要求在两周内归还，当她读了

这本书的一半时，发现每天要多读5页才能在借期内读完，问：前一半她每天读多少页？

如果设前一半每天读x页，则下列方程正确的是（）

A,期+侬=14B.240,240=,4

xx-5xx+5

C.-^+-^-=1D.120+120=14

xx+5xx+5

9.按一定的规律排列的一组数：春，《1111…（其中a,b

2612',20'J7*T10b

为整数），则a+6的值为（）

A.222B.212C.232D.182

10.如图，△ABC中，交2c于£>,AE平分/BAC交3c于E,F为BC的延长线

上一点，FGLAE交A。的延长线于G,AC的延长线交尸G于，，连接BG,下列结论：

①NDAE=NF；②2NDAE=NABD-NACE；®SAAEB：SMEC^AB：AC；@ZAGH

=ZBAE+ZACB.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

二.填空题（每小题3分，共18分）

11.计算：\Oa2b3-r-（-5ab3）=.

12.如果x2-Mx+9是一个完全平方式，则M的值是.

13.已知：x>0,x-—贝（jx+—=.

XX

14.已知三角形两边长分别为8和4,第三边的中线长为x,则x的取值范围是

2a-x-1

15.已知关于x的分式方程一7--1—=0无解，则。的值为

x+1x'+x

16.如图，RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=2,。为3c上一动点，EF垂直

平分4。分别交AC于E、交AB于尸，则B尸的最大值为.

三.解答题(共8小题，共72分)

17.分解因式：

(1)-3a2+6ab-3b2；

(2)9a2(x-y)+4抉(y-x).

18.解方程：

21

(1)=0

x+1x

19.(1)计算：(3x+2y)(3x-2y)-5x(x-y)-(2x-y)2；

2

(2)先化简(x+l-_3_)+匹皿生,再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.

x-1x-1

20.请你仅用无刻度的直尺作图.

(1)已知：四边形ABC。是等腰梯形，作出它的对称轴;

(2)如图，BE=AE,AF=CF,EMLAB,NF_LAC于点〃、N,请作出△ABC边8c上

中线.

21.如图，四边形488中，AD//BC,E为CD的中点，连结BE并延长交AO的延长线于

点尸.

(1)求证：4BCE冬4FDE；

(2)连结AE,当BC=2,AQ=1时，求4B的长.

22.某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多80()元，花

38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同.

(1)求A,B两款手机的进货单价分别是多少元？

(2)某周末两天销售单上的数据，如表所示：

日期A款手机(部)B款手机(部)销售总额(元)

星期六5840100

星期日6741100

求A,B两款手机的销售单价分别是多少元？

(3)根据(1)(2)所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A,B两款手机若干

部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高.

23.已知点。是△ABC外一点，连接A。，BD,CD,ZBAC=ZBDC=a.

(1)【特例体验】

如图1,AB=BC,a=60°,则NAO8的度数为；

(2)【类比探究】

如图2,AB=BC,求证：NADB=NBDC；

(3)【拓展迁移】

如图3,a=60°,ZACB+ZBCD=180°,CELBD于点、E,AC=kDE,直接写出型的

AB

值(用％的代数式表示).

24.点A(-4,0)、点8(0,n)为)，轴负半轴上一动点，过点3作BULA8,且BC=

AB.

(1)直接写出点C的坐标(用含〃的式子表示)；

(2)如图2,点C关于y轴的对称点为C',连AC'并延长，交y轴于点D在点B

移动的过程中，0。的长是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求点。的坐标；

(3)如图3,点F(3,0)在x轴上，过点B作BGLBF,且BG=BF,连接CG交y

轴于从若点”恰好为CG的中点，求8”的长.

参考答案

一.选择题(每小题3分，共30分)

1.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，

下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是

()

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可.

解：4、不是轴对称图形，不合题意；

B、是轴对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，不合题意；

。、不是轴对称图形，不合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键.轴对称

图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿

着对称轴折叠时，互相重合.

2.目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，则这个数字用科学记数法表示正确的是

()

A.1.2X104B.1.2X10-4C.0.12X105D.0.12X10-5

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为“X10,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数基，指数n由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

解：0.00012=1.2X10'4.

故选：B.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aX10",其中lW|a|<10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是()

XO2X+lV

A.-7------B.vC.-5-D.—

x"+2x+42x+lx"2x

【分析】根据分式有意义的条件分析四个选项中哪个分式分母不为零，进而可得答案.

解：A、9=t，(x+l)220,则(x+l)2+333,无论X取何值，分

x?+2x+4(x+l)2+3

式都有意义，故此选项正确；

B、当■时，分式分母=0,分式无意义，故此选项错误；

C、x=0时，分式分母=0,分式无意义，故此选项错误；

D、x=0时，分式分母=0,分式无意义，故此选项错误；

故选：A.

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等

于零.

4.已知点P(-1-2a,5)关于x轴的对称点和点。(3,b)关于y轴的对称点相同，则A

(a,b)关于x轴对称的点的坐标为()

A.(1,-5)B.(1,5)C.(-1,5)D.(-1,-5)

【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于x轴的对称点的坐标是(x,-y),

关于y轴的对称点的坐标是(-x,y)尸(-1-2a,5)关于无轴的对称点的坐标是(-

1-2a,-5),Q(3,b)关于y轴的对称点的坐标是(-3,6),因而就得到关于“，

h的方程，从而得到“，人的值.则A(a,b)关于x轴对称的点的坐标就可以得到.

解：；尸(-1-2a,5)关于x轴的对称点的坐标是(-1-2a,-5),

Q(3,b)关于y轴的对称点的坐标是(-3,b)；

-1-2a—-3,b--5；

.".a=1,

••.点A的坐标是(1,-5)；

...A关于x轴对称的点的坐标为(1,5)；

故选：B.

【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的

关系.是需要识记的内容.

5.下列计算正确的是()

8

A.a1*a3=a6B.2广行

a

C.(-2ab2)3=-8a3b6D.(2a-b)2=4a2+h2

【分析】根据同底数累的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判

断即可.

解：A、出七3=—以6,原计算错误,故此选项不合题意；

8

B、\=a#a4原计算错误，故此选项不合题意；

a'

C、(-2ab2)3=-843b6,原计算正确，故此选项合题意；

D、(2〃-b)2=4a2-4H?+Z?2W4〃2+02,原计算错误，故此选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了同底数幕的乘法和除法，幕的乘方与积的乘方的法则以及完全

平方公式，熟记运算法则和公式是解答本题的关键.

6.已矢口炉-2x-1=0,贝ijZx3-6N+2x+l=()

A.-1B.5C.-3D.1

【分析】原式变形后，分解因式，把已知等式变形后代入计算即可求出值.

解：-2x-1=0,

Ax2-2x=1,

原式=213-4x2-2x2+2x+1

=2x(x2-2x)-2x2+2x+1

=2x-2x2+2x+l

=-2x2+4x+1

=-2(x2-2x)+1

=-2+1

=-1.

故选：A.

【点评】此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，熟练掌握因式分解的方

法是解本题的关键.

7.如图，四边形ABCD中，4为边BC、CD垂直平分线的交点，已知/A=a,则N8CD

大小为()

【分析】根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求解即可.

解：连接AC,

,:BC、的垂直平分线交于A点，

：.AB^AC,AC=AD,

：.ZB=ZACB,ZD=ZACD,

在△ABC中，ZACB=—(180°-ZBAC)=90°-—ZBAC,

22

同理，ZACD=90°-—ACAD,

2

NBCD=ZACB+ZACD=180°-—(ZBAC+CAD)=180°-—ABAD,

22

'：ZBAD=a,

AZBCD=180°.

2

故选：A.

【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和公式及等腰三角形的

性质是解题的关键.

8.王珊珊同学在学校阅览室借了一本书，共240页，管理员要求在两周内归还，当她读了

这本书的一半时，发现每天要多读5页才能在借期内读完，问：前一半她每天读多少页？

如果设前一半每天读x页，则下列方程正确的是()

A,期+期=14B,240+240=14

xx~5xx+5

C.旦』D.典』4

xx+5xx+5

【分析】设前一半每天读X页，则后一半每天读（X+5）页，根据题意可得等量关系：读

前一半所用时间+读后一半所用时间=14,根据等量关系列出方程即可.

解：设前一半每天读x页，由题意得：

93=14,

xx+5

故选：D.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目

中的等量关系.

9.按一定的规律排列的一组数：、•，y-11...11­•­（其中小b

261220a11?b

为整数），则的值为（）

A.222B.212C.232D.182

【分析】通过观察可得《=不工1_1工_____1_111

21X26-2X3~L2~3X^20-4X5a110

1工■，…由此可求a与b.

-10XHb

解：由已知可知,1_11_11_11_111

可―1X2'2X3五―3X4'20-4X51Ho-

1_1

ioxir?

.*.a=9X10=90,6=11X12=132,

，a+b=90+132=222,

故选：A.

【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数，探索数字之间的关系，从而发现

规律是解题的关键.

10.如图，ZiABC中，AO_LBC交3c于O,AE平分NB4C交BC于E,尸为BC的延长线

上一点，尸GLAE交AD的延长线于G,4C的延长线交FG于H,连接BG,下列结论：

①NDAE=NF；®2ZDAE^ZABD-ZACE；@S^EB：S^EC^AB：AC；@ZAGH

=ZBAE+ZACB.其中正确的结论有（）个.

A

A.1B.2C.3D.4

【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到ND4E=NB②根据角平分线的定义得

ZEAC=yZBAC.由三角形的内角和定理得ND4E=90°-ZAED,变形可得结论；③

根据三角形的面积公式即可得到SAAEB：S^EC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角

的性质即刻得到/4GH=ZBAE+ZACB.

®'：AD±BC,FGLAE,

/A£>E=NAM尸=90°,

NAED=NMEF,

：.ZDAE=ZF；故①正确；

@'：AE平分NBAC交BC于E,

：.ZEAC^—ZBAC,

2

NZME=90°-NAED

=90°-(NACE+NEAC),

=90°-(ZACE+—ZBAC},

2

=—(1800-2AACE-ZBAC),

2

=—(ZABD-NACE),

2

即2/D4E=ZABD-ZACE,

故②正确；

@'：AE平分NBAC交BC于E,

点E到AB和AC的距离相等，

S&AEB：S^AEC—AB：CA；故③正确，

@'：ZDAE=ZF,NFDG=NFME=90°,

ZAGH=NMEF,

,/NMEF=NCAE+NACB,

：./AG”=ZCAE+ZACB,

：.ZAGH^ZBAE+ZACB；故④正确；

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，

三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键.

二.填空题（每小题3分，共18分）

11.计算：10a2b3+（-5时）=-2。.

【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案.

解：原式=-2a,

故答案为：-2a.

【点评】本题考查整式的运算，解题的的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基

础题型.

12.如果/-Mr+9是一个完全平方式，则M的值是±6.

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到M的值.

解：；N-Mr+9是一个完全平方式，

-M=±6,

解得：M—±6,

故答案为：士6.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

13.已知：x>0,x-贝-=-V7_-

XX

【分析】将X-}=%代入"}=J（X—）2+4计算可得・

解：,•x-

X

.•.x+q=J(x-^-)2+4=V7)

故答案为：J7

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式.

14.已知三角形两边长分别为8和4,第三边的中线长为x,则x的取值范围是2Vx<6.

【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.延长中

线，构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解.

解：如图：AB=8,AC=4,

延长AD至M使连接CM.

'AD=MD

在△48。和△COM中，，ZADB=ZMDC.

BD=CD

:./\ABDqACDM(SAS),

：.CM=AB=S.

在△ACM中：8-4<2x<8+4,

解得：2Vx<6.

故答案为：2Vx<6.

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是延长中线，构造全等三角形.

15.己知关于x的分式方程3-在*L=0无解，则。的值为0、《或-1.

x+1x2+x--------2-----------

【分析】根据题意得出方程无解时x的值，注意多种情况，依次代入得出〃的值.

解：去分母得ax-2a+x+]=0.

2a-x-1

•.•关于X的分式方程3—=0无解，

x+1x'+x

(1)x(x+1)=0,

解得：x=-1,或x=0,

当x=-l时，ax-2a+x+l=0,即-a-2a-1+1=0,

解得4=0,

当x=0时，-2。+1=0,

解得

(2)方程以-2〃+x+l=0无解，

即(。+1)x=2a-1无解，

.•.。+1=0,a=-1.

故答案为：0、/■•或-1.

【点评】本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中.

Q

16.如图，RtZVlBC中，ZACB=90,N8=30°,AC=2f。为8c上一动点，E”垂直

平分AO分别交4C于E、交AB于F,则BF的最大值为乌.

一3-

【分析】要使最大，则4尸需要最小，而AF=U>,从而通过圆与8C相切来解决问

题.

解：方法一、「RtZvlBC中，NACB=90°,/B=30°,AC=2,

；.AB=2AC=4,

••・EF垂直平分A。，

：.AF=DF,

若要使BF最大，则AF需要最小，

...以F为圆心，AF为半径的圆与8c相切即可，

:.FD1BD,

；.AB=AE+2A尸=4,

4

：.AF=—

3f

:•BF的最大值为4-

33

方法二：过点F作于从连接QF,

设AF=x,则BF=4-x,

,.,NB=30°,

：.FH=—BF=2-—x,

22

；.x>2--x,

2

解得X冷，

•'•AF最小值为告，BF的最大值为4-告=得，

OOO

故答案为：

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30。角所对直角边是斜边的一半以及

圆与直线的位置关系，将8尸的最大值转化为A尸最小是解决本题的关键，属于压轴题.

三.解答题(共8小题，共72分)

17.分解因式：

(1)-3，产+6皿-3〃；

(2)9a2(x-y)+4b2(y-x).

【分析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

解：(1)原式=-3(a2-2ab+b2)=-3(a-i>)2；

(2)原式=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

18.解方程:

(1)21

x+1

x-216

(2)

x+2X2-4

【分析】(1)①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

(2)①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

91

解：⑴W■-』=0,

x+1x

2x-(x+1)=0,

2x-x-I=0,

x=l,

经检验：当x=l时，X(x+1)=2X0,

故原方程的解是x=l；

x-2_16

(2)

百X2-4-

(x-2)2-16=N-4,

x2-4x+4-16=/-4,

-4x+4-16=-4,

x=-2,

经检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0,是增根，

所以原方程无解.

【点评】考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方

程中的分母为0,所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分

式方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分

式方程的解.所以解分式方程时，一定要检验.

19.(1)计算：(3x+2y)(3x-2y)-5x(x-y)-(2x-y)2；

(2)先化简(x+1-士)^x^4x+4(再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.

x-1x-1

【分析】(1)先根据平方差公式和完全平方公式计算、去括号，再合并同类项即可；

(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代

入计算即可.

解：(1)原式=9/-4y2-5x2+5Ay-4x2+4xy-y2

=-5y2+9书

(2)原式=(3!」-工)土豆Eli

x-lxTx-l

_(x+2)(x-2).x-1

x-l(x-2)2

_x+2

x-2'

且xW2,

，x=3,

则原式=等=5.

【点评】本题主要考查整式的混合运算、分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混

合运算顺序和运算法则.

20.请你仅用无刻度的直尺作图.

(1)已知：四边形ABC。是等腰梯形，作出它的对称轴；

(2)如图，BE=AE,AF=CF,EMA,AB,NF_LAC于点M、N,请作出△ABC边BC上

中线.

【分析】(D连接AC、BD,它们相交于点O,延长54、CD,它们相交于P点，利用

等腰梯形的性质可判断尸。垂直平分A£＞、BC,从而得到直线0P满足条件；

(2)利用等腰三角形的性质得到M点为AB的中点，N为AC的中点，连接CM、BN,

它们相交于Q，则Q点为三角形△ABC的重心，延长AQ交BC于。，则为BC边上

的中线.

解：(1)如图1,直线P0为所作；

(2)如图2,40为所作.

(2)题图

【点评】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个

图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的.也考查了等腰梯形的性

质和线段垂直平分线的性质.

21.如图，四边形ABC。中，AD//BC,E为C£)的中点，连结BE并延长交4。的延长线于

点F.

(1)求证：ABCE注AFDE；

(2)连结AE,当AE_LBF,BC=2,AD=1时，求A8的长.

【分析】(1)由“AAS”可证

(2)由全等三角形的性质可得5E=EF,BC=DF,由中垂线的性质可得48=AF,可得

结论；

解：⑴-：AD//BC,

：.ZF=ZEBC,NFDE=NC,

♦.•点E为CD的中点，

:.ED=EC,

在△尸OE和△BCE中,

，ZF=ZFBC

，ZFDE=ZC-

ED=EC

：./\FDE^/\BCE（AAS）；

（2）'：/^FDE^/XBCE,

：.BE=EF,BC=DF,

,：AELBF,

J.AB^AF,

：.AB=AF=AD+DF=AD+BC=1+2=3,

：.AB的长为3.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明△DAE丝

△CFE是本题的关键.

22.某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比8款手机多800元，花

38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同.

（1）求A,B两款手机的进货单价分别是多少元？

（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：

日期A款手机（部）3款手机（部）销售总额（元）

星期六5840100

星期日6741100

求A,8两款手机的销售单价分别是多少元？

（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A,8两款手机若干

部，问有哪儿种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高.

【分析】（1）设8款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，

由题意：花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进8款手机的数量相同.列出

分式方程，求解即可；

（2）设A款手机的销售单价是。元，8款手机的销售单价是8元，根据表中的数据列方

程组求解即可；

（3）设购买A款手机加部，8款手机〃部，由题意：手机专卖店要花费28000元购进A,

B两款手机若干部，列出二元一次方程，求其正整数解，得到进货方案，再分别求出总

利润，比较即可.

解：(1)设8款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是(x+800)元，

根据题意得：38122.=28800,>

x+800x

解得：%=2400,

经检验，x=2400是原方程的解，

贝ijx+800=2400+800-3200,

答：4款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；

(2)设4款手机的销售单价是“元，B款手机的销售单价是6元，

用短明缶.f5a+8b=40100

根据题意得：<,

l6a+7b=41100

解得：卜=3700,

lb=2700

答：4款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；

(3)设购买A款手机机部，8款手机〃部，

根据题意，得3200〃?+2400〃=28000,

化简得，4/n+3”=35,

•.”、〃都是正整数,

.fm=2_"IU=5Tfm=8

或《或，，

\n=9\n=5In=l

即有三种进货方案：

方案一：购买A款手机2部，2款款手机9部，利润是：(3700-3200)X2+(2700-

2400)X9=3700(元)；

方案二：购买A款手机5部，8款款手机5部，利润是：(3700-3200)X5+(2700-

2400)X5=4000(元)；

方案三：购买A款手机8部，3款款手机1部，利润是：(3700-3200)X8+(2700-

2400)XI=4300(元)；

V3700<4000<4300,

选择方案三获得的总利润最高.

【点评】本题考查分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，

解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列

出二元一次方程组；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程.

23.己知点。是△ABC外一点，连接A。，BD,CD,NBAC=NBDC=a.

(1)【特例体验】

如图1,AB=BC,a=60°,则NACB的度数为60°

(2)【类比探究】

如图2,AB=BC,求证：ZADB^ZBDC；

(3)【拓展迁移】

AC=kDE,直接写出理■的

如图3,a=60°,ZACB+ZBCD=1SO°,CE_LBD于点E,

AB

值(用上的代数式表示).

图3

【分析】(1)在80上取点E,使BE=CD,证明AABE丝△4C£)(SAS),由全等三角

形的性质得出NBAE=NCAO,AE=AD,由等边三角形的性质可得出答案;

(2)在DC的延长线上取一点H,使BD=BH,证明△ABO丝△(38H(SAS),由全等

三角形的性质得出NAQB=/〃=a,则可得出结论;

(3)延长0c至//,使CH=AC,连接BH,证明△ABC丝△H8C(S4S),由全等三角

形的性质得出48=8”,设ED=m,则CE=2机，证出△B。，为等边三角形，由等边三

角形的性质得出打，则可得出答案.

【解答】(1)解：在8。上取点E,使BE=CQ,

图1

'：AB=BC,NBAC=60°,

.♦.△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,

丁ZBAC=/BDC,NAOB=NCOD,

：.NABE=ZACD,

•••△ABE-Q(SAS),

：.ZBAE=ZCAD,AE=AD,

：.ZEAD=ZEAC+ZCAD=ZEAC+ZBAE=ZBAC=60°,

•••△4£O是等边三角形，

AZADB=60°.

故答案为：60°；

(2)证明：在。C的延长线上取一点H,使BD=BH,

图2

：.NBDH=NH=a,

♦：/BAC=/BDC=a,NAOB=/COD,

：.NABD=NACD,

ZBCD=ZACD+a=a+ZCBH,

：.ZACD=ZCBH=NABD,

：.AABD^ACBH(SAS),

/ADB=/H=a,

：.ZADB=ZBDC；

(3)解：延长。。至H,使C”=AC,连接8”,

ED

3.

H

VZACB+ZBCD=iSOQ,ZBCH+ZBCD=\S0(3,

・・・/ACB=/B