新人教版高中数学选择性必修第一册第二章倾斜角与斜率培优练习题

2.1直线的倾斜角与斜率

2.1.1倾斜角与斜率

学习指导核心素养

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，1.数学抽象：理解直线的倾斜角和斜率

探索确定直线位置的几何要素.的概念.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经2.直观想象：结合图形把握，确定直线

历用代数方法刻画直线斜率的过程.位置的几何要素.

3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.数学运算：利用公式计算直线的斜率.

必备知识二圈爵力

知识点一直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与x轴相交时，以工轴为基准，x轴正向与直线/向上的

方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.

(2)范围：当直线/与x轴平行或重合时，直线/的倾斜角为直线倾斜角

a的取值范围为0°Wa<180°.

阳点拨-----------------------------------

(1)在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正向；

③小于平角的非负角.

(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点

以及它的倾斜角，二者缺一不可.

EE(1)如图所示，直线/与y轴的夹角为45。，则/的倾

斜角为()

A.45°

B.135°

C.0°

D.无法计算

(2)(多选)设直线/过原点，其倾斜角为a,将直线/绕坐标原点沿逆时针方

向旋转45。，得到直线人则直线L的倾斜角为()

A.a+45°B.45°-a

C.a-135°D.135°-a

【解析】(1)根据倾斜角的定义知，/的倾斜角为90。+45。=135。.故选8.

(2)如图①所示，当0°〈a<135°时，/i的倾斜角是a+45°,如图②所示，当

135°Wa<180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到/i的倾斜角为a—135°.

陶题技巧---------------------------------

求直线倾斜角的关键及两点注意

(1)关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角.

(2)注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0。；当直线与光轴垂直

时，倾斜角为90。.②直线倾斜角的取值范围是0。〈时180。.

<跟踪训练已知直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角a的取值范

围是()

A.0°Wa<90°B.90°<a<180°

C.90°<a<180°D.0°<a<180°

解析：选C.直线倾斜角的取值范围是()。应。<180。，又直线/经过第二、四象

限，所以直线/的倾斜角a的取值范围是90°<a<180°.

知识点二直线的斜率

⑴斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字

母k表示，即氏=tana.

倾斜角是鳖的直线没有斜率，倾斜角不是90。的直线都有斜率.

掰点拨--------------------------------

直线的倾斜角是一个角(图形)，而斜率是一个实数值(数)，斜率的绝对值越

大，直线的倾斜角越接近90。.

(2)斜率公式

如果直线经过两点Pi(xi,yi),P2(X2,”)(xiWx2),那么可得斜率公式k=

V2—yi

X2-Xl-'

在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对

于X轴的倾斜程度.

圈点拨--------------------------------

(1)斜率公式中4的值与尸2两点在该直线上的位置无关，即在直线/上

任取不同的两点尸2,其斜率均不变.

(2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.

脚E经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定

直线的倾斜角a.

(1)A(2,3),8(4,5)；

(2)C(-2,3),0(2,-1)；

(3)尸(一3,1),Q(-3,10).

5—3

【解】⑴存在.直线AB的斜率心8=二==1,即tana=l,又0。W。<180。,

4—Z

所以倾斜角a=45°.

一1—3

(2)存在.直线CD的斜率kcD=~7—=—1,即tana=—1,又

，一v—2；

0°^a<180°,所以倾斜角a=135。.

(3)不存在，因为白=项=—3,所以直线P。的斜率不存在，直线的倾斜角

。=90。.

II题技巧------------------------------

解决斜率问题的方法

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式％=tana(a#90。)解决.

V2—VI

(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式左一—求解.

X2—X1

＜跟踪训练

1.若直线的倾斜角为120。，则直线的斜率为()

A.小B.一小

C.坐D.一当

解析：选B.因为直线的斜率左和倾斜角a的关系是％=tana(aW90。)，

所以当倾斜角为120°时，直线的斜率k=tan120°=-tan60°=一，§.

2.已知直线/过点M(m+1,m—1),N(2m,1)当机=时，直线/

的斜率是1.

m-1-13

解析：kMN=-―：—―=1,解得"2=5.

答案：f3

知识点三直线的方向向量

—►

设尸1(尢1,yi),P2(X2,*)(其中犬IWx2)是直线/上的两点，则向量P/P2=(X2—XI,

V2—yi)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.若直线/的斜率为左，它

的一个方向向量的坐标为(X,y),则4=3

⑥即时训练

1.已知经过两点A(2,3),3(4,5)的直线的一个方向向量为(1,%),则%的

值为•

解析：依题意得协=(2,2),由磊与方向向量(1,与共线，可得2A—2=0,

因此k=1.

答案：1

2.已知直线/的一个方向向量为(2,4),则直线/的斜率为.

_4

解析：因为直线/的一个方向向量为(2,4),所以直线/的斜率左=5=2.

答案：2

“关键能力三提升

考点倾斜角及斜率的应用

角度1三点共线问题

EE］若三点A(2,-3),仇4,3),C(5,好在同一条直线上，求攵的值.

【解】因为点A,B,C在同一条直线上，且三点的横坐标均不相等，且

3-(-3)

一匚厂=3存在,

所以kAB=kBC,

k—3

即3=^T,解得攵=6.

J—4

图题技巧------------------------------

用斜率公式解决三点共线的方法

〔

若斜率存在且相等，且三

从三点中两直线有公共点点

任取两点，共

求相关斜率若斜率不存在，且两线

直线有公共点〕

角度2求解范围问题

丽］直线/过点尸(1,0)且与以A(2,1),8(0,小)为端点的线段有公共

点，求直线/的斜率的范围和倾斜角的范围.

【解】如图所示.

1—0

因为如=匚7=1，

小—o

kBP=0_]=一33,

所以Zd(—8,-J3]U[1,+8),

所以45°WaW120°.

［I题技巧------------------------------

斜率人的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角a来联系的，因此，可以由

倾斜角的变化得出斜率的变化.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判

断直线的位置.

跟踪训练

1.若经过两点A(2,1),8(1,加2)的直线/的倾斜角为锐角，则根的取值范

围是()

A.(一8,1)B.(-1,+8)

C.(-1,1)D.(一8,-1)U(1,+°°)

nr—1

解析：选C.因为直线/的倾斜角为锐角，所以斜率仁不一7＞0.所以-1＜加＜1.

2.经过两点4加，2),B(~m,2〃L1)的直线的倾斜角为45。.若点0+1,

")在直线A3上，求相，〃的值.

2m—1—23

解：仁tan45。==1＞解得机=1.

2

〃-

所以A僚2),《弓，n\.又A,B,C三点共线，所以％AC=tan45。

73

--

4-4

3

=〃-2=1.所以〃=3.即m与n的值分别为4和3.

1课堂巩固一自测

'----------------------------------SZ-----------

1.(多选)下列说法中，正确的是()

A.直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tana

B.一条直线的倾斜角为一30。

C.若直线的倾斜角为a,贝!Jsina20

D.任意直线都有倾斜角a,且a#90。时，斜率为tan。

解析：选CD.据题意，对于A,直线的倾斜角为a,当a=90。时，斜率不存

在，A错误；对于B,直线的倾斜角的范围为［0°,180°),B错误；对于C,直

线的倾斜角的范围为［0。，180°),则有sina20,C正确；对于D,任意直线都有

倾斜角*,且a云90°时，斜率为tana,D正确，故选CD.

2.若过A(3,y),BQ,一4)两点的直线的倾斜角为45。，则y=()

A.一当B,坐

C.3D.-3

y+4

解析：选D.经过两点A(3,y),BQ,-4)的直线的斜率,因为该直

y+4

线的倾斜角为45。，所以〒=tan45°=1,所以y=—3.故选D.

3.过A(4,y),B(2,—3)两点的直线的一个方向向量为〃=(一1,-1),则

尸()

A.—坐B,坐

C.-1D.1

解析：选C.方法一：由直线的方向向量为〃=(—1,—1),得直线的斜率为

-1y~(—3)

--=1,所以―—=1,解得y=-l.

方法二：由题意得加=(-2,—3—y).又直线A3的一个方向向量为〃=(一

1,-1),所以〃〃翁，所以(一2)X(—l)—(—3—y)X(—1)=0,解得y=-l.

4.已知点A(m,一机+3),8(2,m-l),。(一1,4),直线AC的斜率等于直

线BC的斜率的3倍，求〃?的值.

解：由题意知直线AC的斜率存在，即〃?W—1.

(—m+3)—4(m—1)—4

以kAC=।_i,kliC=^-2/77•

m+l2—(—1)

(—m+3)—4(m—1)—4

所以工=3X--~——.

m+12—(—1)

整理，得一加一—1),

即(m+1)(加-4)=0,

解得根=4或m=—1(舍去).所以m=4.

《课后达标0降删I

[A基础达标]

1.直线x=tan60。的倾斜角是()

A.90°B.60°

C.30°D.不存在

解析：选A.直线x=tan60。，化为尤=小,由于直线％=小垂直于左轴，

因此其倾斜角为90°.故选A.

2.(2022•湖北部分重点中学高二期中)已知点A(—3,2),B(0,—1),则直

线45的倾斜角为()

A.30°B.45°

C.135°D.120°

解析：选C.因为直线过点A(-3,2),8(0,-1),

2+1

所以心B==八=一1.设直线48的倾斜角为a(0°Wa<180。)，则tana=-

-3—U

1,所以a=135°.故选C.

3.已知直线/的倾斜角为a—15。，则下列结论正确的是()

A.0°Wa<180°B.15°<a<180°

C.15°<a<180°D.15°Wa<195°

解析：选D.设直线/的倾斜角为川，则夕的范围是0。或夕<180。.由题意知夕=

a—15。，则0°Wa—15°<180°,解得15°Wa<195°.

4.已知直线P。的斜率为一小，将直线P。绕点P顺时针旋转60。，所得

的直线的斜率是()

A.0B.半

C.小D.一小

解析：选C.由题意，知直线PQ的倾斜角为120°,直线PQ绕点P顺时针旋

转60。，所得直线的倾斜角为60。，所以斜率为小.

5.(2022•天津武清区高二月考)若A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三点在同一

条直线上，则实数8=()

A.2B.3

C.9D.-9

解析：选D.方法一：因为A,B,。三点在同一条直线上，所以ZA8=ZAC,

h-111-1

即』==，解得"=-9.

方法二：由题意知筋=(-5,h-1),AC=(5,10),因为A,B,C三点

在同一条直线上，所以筋//AC,所以(一5)又10—3—l)X5=0,得b=-9,

故选D.

6.(多选)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点8,若MB=4,则点

8的坐标可能为()

A.(0,-4)B.(4,0)

C.(2,0)D.(0,-8)

解析：选CD.设B(x,0)或(0,y),

4、4—y

因为kAB=工_或心~,

44-y

所以=4或.=4,

所以x=2,y=—8,

所以点8的坐标为(2,0)或(0,-8).

7.已知直线/经过点P(3,加)和点。(加，-2),直线/的方向向量为(2,4),

则直线/的斜率为,实数m的值为.

4

解析：由直线/的方向向量为(2,4)得，直线/的斜率为2=2,因此

m—(—2)4

-=2,解得机=可.

3—mJ

4

答案：2

8.一束光线射到x轴上并经无轴反射.已知入射光线的倾斜角如=30。，则

反射光线的倾斜角«2=.

解析：作出入射光线和反射光线，如图.因为入射

；法线

光线的倾斜角山=30。，所以入射角为60。.又反射角等

反射光线;

光线

X

于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60。+60。+30。=150。.

答案：150。

9.已知交于M(8,6)点的四条直线3屈，4的倾斜角之比为1：2：3：4,

又知22过点M5,3),则这四条直线的倾斜角从小到大依次为.(用

连接)

6—3

解析：/2的斜率为^―-=1,

o—3

所以/2的倾斜角为45。，

由题意可得1\的倾斜角为22.5°,h的倾斜角为67.5°,/4的倾斜角为90°.

答案：22.5。＜45。＜67.5。＜90。

10.已知直线/经过两点4-1,a),1),问：当机取何值时：

(1)直线/与x轴平行？

(2)直线/的方向向量的坐标为(3,1).

(3)直线的倾斜角为锐角？

解：(1)若直线/与x轴平行，则直线/的斜率攵=0,所以，〃=1.

11—m11

(2)直线/的方向向量的坐标为(3,1),故攵=Q,即[=彳,解得根=5.

DtilI1D乙

(3)由题意可知，直线/的斜率攵＞0,

m—1

即—:----＞0,解得一1＜相＜1.

—1—m

[B能力提升]

11.已知直线/i的方向向量〃=(2,1),直线〃的倾斜角是直线/i的倾斜角

的2倍，则直线/2的斜率是()

A.gB.—1

八4r4

C.1D.g

解析：选C.设直线/]的倾斜角为a因为直线/I的方向向量〃=(2,1),所以

直线/i的斜率为;,即tana=3,所以直线余的斜率Z=tan2a=.

12.如图，已知直线/1,/2,，3的斜率分别为女2,fa,贝1」（

A.k\<k2<hk3<k\<kz

C.k3<ki<k\k\<h<k2

解析：选D.由题图知直线/1的倾斜角为钝角，所以心<0.又直线/2,/3的倾

斜角为锐角，且/2的倾斜角较大，所以0<%3<42,所以攵1<依<攵2.

13.（多选）若两直线/I,/2的倾斜角分别为G代斜率分别为依，kl,则下

列四种说法中错误的是（）

A.若a〈B，则k\<ki

B.若a=£,则防=心

C.若k\<ki,则a<B

D.若21=依，则a=Q

解析：选ABC.由题意，两直线/i,6的倾斜角分别为“，仇斜率分别是左，

所以Ai=tana,A：2=tan[},且a,夕e[0,兀），根据正切函数在[0,兀）上的定

义域和单调性的关系可得，

对于A,若a为锐角，夕为钝角，此时女〉0>依，故错误；

兀

对于B,若a=4=],此时斜率不存在，故错误；

对于C,若%<0,女2>0,此时a为钝角，4为锐角，a>[3,故错误；

对于D,若％1=依，此时a=夕，故正确.

14.如图，在菱形ABC。中，ZADC=120°,求对角线AC与©

8。所在直线的斜率.

解：在菱形ABCD中，因为NAOC=120。，所以N8AO=60。，4Y

NA8C=120°.

所以NBAC=30°,ZDBA=60°,ZDBx=120°,

所以