内蒙古赤峰市2023-2024学年高三最后一模数学试题含解析

内蒙古赤峰市2023-2024学年高三最后一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则()A．， B．，C．， D．，2．在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（）A． B． C． D．3．已知全集为，集合，则（）A． B． C． D．4．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．26．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8 B． C． D．7．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①直线与直线的斜率乘积为；②轴；③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③8．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．10．若，满足约束条件，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．设实数、满足约束条件，则的最小值为（）A．2 B．24 C．16 D．1412．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设第一象限内的点(x，y)满足约束条件,若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为40，则＋的最小值为_____.14．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．15．如图是一个算法流程图，若输出的实数的值为，则输入的实数的值为______________.16．已知，满足约束条件，则的最大值为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中．（1）讨论函数的零点个数；（2）求证：．18．（12分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.19．（12分）已知函数.（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.20．（12分）在四边形中，，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：（1）平面平面；（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.21．（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，，，且满足.（1）求；（2）若，，求的最大值.22．（10分）设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx．（1）讨论函数f(x)在[−π，π]上的单调性；（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.2、A【解析】

根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：，又为锐角所以，根据三角函数的定义：所以由所以故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.3、D【解析】

对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.4、A【解析】试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.5、C【解析】

由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.6、D【解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以，故选：【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.7、B【解析】

由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所．则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，，根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以直线轴．所以②正确．如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以③不正确．故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．8、C【解析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程是.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．9、B【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，如图，故其表面积为，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10、B【解析】

根据约束条件作出可行域，找到使直线的截距取最值得点，相应坐标代入即可求得取值范围.【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线经过点时，取得最小值－5；经过点时，取得最大值5，故.故选：B【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.11、D【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.12、A【解析】

设E为BD中点，连接AE、CE，过A作于点O，连接DO，得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到即为直线AC与平面ABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E为BD中点，连接AE、CE，由题可知，，所以平面，过A作于点O，连接DO，则平面，所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即点O与点C重合，此时有平面，过C作与点F，又，所以，所以平面，从而角即为直线AC与平面ABD所成角，，故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而当且仅当时取等号，则的最小值为.14、【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．【详解】，，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．15、【解析】

根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【详解】解：程序的功能是计算，若输出的实数的值为，则当时，由得，当时，由，此时无解.故答案为：.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.16、【解析】

根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解.【详解】可行域如图所示，易知当，时，的最大值为．故答案为：9.【点睛】本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）时，有一个零点；当且时，有两个零点；（2）见解析【解析】

（1）利用的导函数，求得的最大值的表达式，对进行分类讨论，由此判断出的零点的个数.（2）由，得到和，构造函数，利用导数证得，即有，从而证得，即.【详解】（1），∴当时，，当时，在上递增，在上递减，.令在上递减，在上递增，，当且仅当时取等号．①时，有一个零点；②时，，此时有两个零点；③时，，令在上递增，，此时有两个零点；综上:时，有一个零点;当且时，有两个零点;（2）由（1）可知：，令在上递增，．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18、(1)；(2)．【解析】

(1)由角的度数成等差数列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以当，即时，.【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．19、（1）（2）【解析】

（1）求出及其导函数，利用研究的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得的范围．（2）令，题意说明时，恒成立.同样求出导函数，由研究的单调性，通过分类讨论可得的单调性得出结论．【详解】解（1）函数所以讨论：①当时，无零点；②当时，，所以在上单调递增.取，则又，所以，此时函数有且只有一个零点；③当时，令，解得（舍）或当时，，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.据题意，得，所以（舍）或综上，所求实数的取值范围为.（2）令，根据题意知，当时，恒成立.又讨论：①若，则当时，恒成立，所以在上是增函数.又函数在上单调递增，在上单调递增，所以存在使，不符合题意.②若，则当时，恒成立，所以在上是增函数，据①求解知，不符合题意.③若，则当时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意成立”的充分条件是“”，即，解得，故综上，所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性．解题关键是通过分类讨论研究函数的单调性．本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考查学生分析问题解决问题的能力．20、（1）证明见详解；（2）【解析】

（1）由题可知，等腰直角三角形与等边三角形，在其公共边AC上取中点O，连接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可证得，结合，可证明平面.再根据面面垂直的判定定理，可证平面平面.（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由点F在线段上，设，得出的坐标，进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再结合为平面的一个法向量，用向量法即可求出与的夹角，结合图形，写出二面角的大小.【详解】证明：（1）在中，为正三角形，且在中，为等腰直角三角形，且取的中点，连接，，，平面平面平面..平面平面（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设.则设平面的一个法向量为.则，令，解得与平面所成角的正弦值为，整理得解得或(含去)又为平面的一个法向量，二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.21、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化简，根据勾股定理逆定理求得.（2）设，由此求