2022年北京汇文中学初二（下）期中数学试卷及答案

1/12022北京汇文中学初二（下）期中数学一.选择题（每小题3分，共30分）1．下列函数中，是正比例函数的是A． B． C． D．2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是A．对角互补 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．四边相等3．如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积4．如图，在平行四边形中，、相交于点，，，，则的长为A． B． C． D．5．下列四点中，在函数的图象上的点是A． B． C． D．6．如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是A．13 B． C．17 D．197．函数的图象具有的性质是A．与直线有交点 B．经过点 C．经过第三象限 D．随的增大而减小8．如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是A． B．2 C． D．9．已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，长为半径画弧，与轴交于点，则点的坐标为A．， B． C．，或， D．或10．如图，在矩形中，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为A． B． C． D．二．填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）在函数中，自变量的取值范围是．12．（2分）如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使，则添加的条件可以是．13．（2分）如图，将长方形纸片折叠，使点落在上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是．14．（2分）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点分别作轴，轴的垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则点是强点．点，，中，是强点的有．15．（2分）已知一次函数的函数值随的增大而增大，且与轴的交点在轴的下方，则的取值范围是．16．（2分）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象是线段，射线平行于轴）．在第天后植物的高度不变，该植物最高为厘米．17．（2分）已知点、、、分别在矩形的边，，，上，，交于点，，．（1）如图1，矩形由2个全等的正方形组成，则；（2）如图2，矩形由个全等的正方形组成，则（用的代数式表示）．18．（2分）等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域Ⅳ中；③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长．所有正确结论的序号是．三．解答题（第19-26题，每题5分，第27-28题，每题7分，共54分）19．（5分）如图，已知中，是上一点，，于点，是的中点．则和的位置关系是，数量关系是，并证明．20．（5分）弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数．如图所示，此函数的图象经过，两点．（1）求此一次函数的解析式；（2）求弹簧不挂物体时的长度．21．（5分）如图，中，为边的中点，连并与的延长线交于点，求证：．22．（5分）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，点在直线上．（1）求的值；（2）求直线的解析式；（3）直接写出关于的不等式的解集．23．（5分）菱形中，于点，且，．（1）求的长；（2）求菱形的面积．24．（5分）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，．（1）求的面积；（2）在该一次函数图象上有一点到轴的距离为6，求点的坐标．25．（5分）如图，长方形中，为直角坐标系的原点，、两点的坐标分别为，，点在第一象限内．（1）写出点的坐标，并求长方形的周长；（2）若有过点的直线把长方形的周长分成两部分，为直线与长方形的边的交点，求点的坐标．26．（5分）由于全球汽车芯片短缺汽车生产成本增加，某汽车生产厂商计划提高汽车出厂价格，据市场反馈，某型号汽车出厂价格为8万元辆时，其月销量为2000辆，且出厂价格每提高1万元辆，月销量将减少300辆，设该型号汽车每辆出厂价格为万元时，其月销量为辆．（1）求与之间的函数关系式；（2）若汽车生产商计划该型号汽车的月销量不少于1400辆，在（1）的基础上，请根据函数中的值随着值的变化而变化的特点，求该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆多少万元？27．（7分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．（1）求证：；（2）①当点在何处时，的值最小；②当点在何处时，的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，求正方形的边长．28．（7分）在平面直角坐标系中，对于，两点，若在轴上存在点，使得，且，则称，两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．（1）如图①，在点，，中，点的等垂点是（选填“”，“”或“”（2）如图②，若一次函数的图象上存在点的等垂点，求点的坐标；（3）若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式：．

参考答案一.选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】根据正比例函数的定义解答即可．【解答】解：、为的正比例函数，所以选项符合题意；、是的二次函数，所以选项不符合题意；、为的反比例函数，所以选项不符合题意；、是的一次函数，所以选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．2．【分析】中菱形对角不互补，则错误，中矩形对角线不互相垂直，则错误，中平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，三个图形中，矩形四边不相等，错误．【解答】解：、菱形对角不互补，故本选项错误；、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．故选：．【点评】本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最典型的图形．3．【分析】根据常量和变量的定义进行判断．【解答】解：木条绕点自由转动至过程中，的长度始终不变，故的长度是常量；而的度数、的长度、的面积一直在变化，均是变量．故选：．【点评】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．4．【分析】由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，根据勾股定理，即可求得的长．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，故选：．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．5．【分析】分别代入各选项中点的横坐标求出纵坐标，比较后即可得出结论．【解答】解：．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意；．当时，，点在函数的图象上，选项符合题意；．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意；．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．6．【分析】根据三角形的中位线和四边形的周长公式即可得到结论．【解答】解：点、、分别是、、的中点，是的中位线，是的中位线，，，四边形的周长为，故选：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．7．【分析】由两条直线一次项系数相同，常数项不同，则两直线平行，即可判断；利用一次函数图象上点的坐标特征，即可判断；根据一次函数的性质即可判断、．【解答】解：．直线与直线平行，直线与直线无交点，选项错误，不合题意；．当时，，函数的图象经过点，选项错误，不合题意；．，，函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，选项错误，不合题意；．，随的增大而减小，选项正确，符合题意．故选：．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．8．【分析】本题中阴影部分可分割成一个小正方形和一个等腰梯形，，即重新拼成的正方形的面积为5，则此正方形的边长为，答案选．【解答】解：阴影部分由一个小正方形和一个等腰梯形组成新正方形的边长新正方形的边长故选：．【点评】本题考查了不规则图形的面积的求解方法：割补法．本题中阴影部分可分割成一个小正方形和一个等腰梯形．9．【分析】把代入直线解析式求出点坐标，把代入直线解析式求出点坐标，通过勾股定理求出长度，进而求解．【解答】解：把代入得，点坐标为，，把代入得，点坐标为，，在中，由勾股定理得，，或，点坐标为或，故选：．【点评】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握勾股定理．10．【分析】连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．【解答】解：如图，连接，于点，于点，，四边形是矩形，，，，四边形是矩形，，由勾股定理得：，当时，最小，则最小，此时，，，的最小值为，故选：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．二．填空题（每小题2分，共16分）11．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．【解答】解：根据题意得，解得．故答案为．【点评】（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．12．【分析】由平行四边形的性质得出，，得出，由证明即可．【解答】解：添加条件：；理由如下：四边形是平行四边形，，，，在和中，，．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．13．【分析】将长方形纸片折叠，使点落在上的处，可得到，折痕为，沿剪下，故四边形为矩形，且有一组邻边相等，故四边形为正方形．【解答】解：将长方形纸片折叠，落在上的处，，折痕为，沿剪下，四边形为矩形，四边形为正方形．故其数学原理是；邻边相等的矩形是正方形．故答案为：邻边相等的矩形是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，翻折变换．解决本题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．14．【分析】利用矩形的周长公式、面积公式结合强点的定义，即可找出点，是强点．【解答】解：，，点，是强点．故答案为：，．【点评】此题考查矩形的周长及面积，解题的关键是：利用强点的定义找出点，是强点解答．15．【分析】先利用一次函数的性质得，再利用一次函数与系数的关系得到，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．【解答】解：一次函数的函数值随的增大而增大，，解得，函数图象与轴的交点在轴下方，，解得，的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，它与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．16．【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；设线段的解析式为，然后利用待定系数法求出线段线段的解析式，再把代入进行计算即可得解．【解答】解：轴，从第50天开始植物的高度不变，设线段的解析式为，经过点，，，解得．线段的解析式为，，当时，．该植物最高长．故答案为：50，16．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．17．【分析】（1）过点作于，过点作于，利用相似三角形对应边成比例求解即可；（2）过点作于，过点作于，利用相似三角形对应边成比例求解即可．【解答】解：如图1、2，过点作于，过点作于，，，又，，，（1）图1，，，（2）图2，，．故答案为：（1）8；（2）．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变化的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，（3）难点在于作辅助线构造成相似三角形．18．【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．【解答】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为，设，则，，．①，，对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；②三角形任意两边之和大于第三边，，即，，对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；③若三角形是等腰直角三角形，则，，，，，即，若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；④由图可知，点位于区域Ⅲ中，此时，，；点位于区域Ⅱ中，此时，，；点所对应等腰三角形的周长比点所对应等腰三角形的周长短，图中无法得到点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误．故答案为：①③．【点评】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．三．解答题（第19-26题，每题5分，第27-28题，每题7分，共54分）19．【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理证明结论．【解答】解：，．证明：，，，是的中点，是的中位线，，．故答案为：，．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．20．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出此一次函数的解析式；（2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值即可．【解答】解：（1）设此一次函数的解析式是，此函数的图象经过，两点，，解得，即此一次函数的解析式是；（2）当时，，即弹簧不挂物体时的长度是．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．21．【分析】欲证明，只要证明即可．【解答】证明：四边形是平行四边形，，，；为中点，，在与中，，，，．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．【分析】（1）把代入可求出的值；（2）利用待定系数法求直线的解析式；（3）写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）直线与直线交于点，所以．解得．（2）由（1）得点，直线过点，点，所以，解得所以直线的解析式为，（3）不等式的解集为．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．23．【分析】（1）利用菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出的长，即可得出的长；（2）直接利用菱形对角线乘积的一半等于其面积，进而得出答案．【解答】解：（1）连接，交于点，于点，且，，在菱形中，，是等边三角形，，，，，；（2）菱形的面积为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出是等边三角形是解题关键．24．【分析】（1）根据题意可求，两点坐标，即可求的面积．（2）由点到轴的距离为6，即，可得，代入解析式可求点坐标．【解答】解：（1）当时，，当时，，，（2）点到轴的距离为6点的纵坐标为当时，，即当时，，即点坐标，【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用一次函数性质解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）根据矩形的性质，点的横坐标与点的横坐标相等，纵坐标与点的纵坐标相等解答，进而利用长方形的周长解答即可；（2）求出被分成的两个部分的周长，再根据点在边上或上确定出点坐标即可；【解答】解：（1），，，．四边形是长方形，，，点的坐标为．，，长方形的周长为：．（2）把长方形的周长分为两部分，被分成的两部分的长分别为12和20．①当点在上时，，所以点的坐标为．②当点在上时，，所以点的坐标为．【点评】考查了点的坐标的确定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，难点在于（2）求出被分成的两个部分的周长并确定出点的位置．26．【分析】（1）利用月销售量上涨的价格，即可得出与之间的函数关系式；（2）（方法一）根据月销量不少于1400辆，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（方法二）由，可得出随的增大而减小，结合的取值范围，即可得出的最大值．【解答】解：（1）依题意得：，即．（2）（方法一）依题意得：，解得：．答：该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元．（方法二），随的增大而减小．又，当取得最小值时，取得最大值．当时，，解得：，该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元．【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）（方法一）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（方法二）利用一次函数的性质，求出的最大值．27．【分析】（1）由题意得，，所以，容易证出；（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当点落在的中点时，的值最小；②根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长（如图）；（3）作辅助线，过点作交的延长线于，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为．【解答】（1）证明：是等边三角形，，．，．即．又，．（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．②如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小，理由如下：连接，由（1）知，，，，，是等边三角形．．．