（挑战压轴）专项27.3 相似三角形-射影定理综合应用（解析版）

（挑战压轴）专项27.3相似三角形-射影定理综合应用【方法技巧】一、射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。【类型1：直角三角形中射影定理】1．（2021秋•二道区校级月考）如图，小明在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）米．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解答】解：如下图：由题知，OH⊥CD，∠COD＝90°，∴∠C+∠D＝90°，∠C+∠COH＝90°，∴∠COH＝∠D，∵∠CHO＝∠OHD＝90°，∴△CHO∽△OHD，∴，∵CH＝1米，DH＝4米，∴OH＝2米，故选：A．2．（2021秋•双柏县期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD＝4，CD＝6，则AD的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解答】解：根据射影定理，CD2＝AD•BD，∵BD＝4，CD＝6，∴AD＝9，故选：B．3．（麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．4 D．2【答案】D【解答】解：延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．则DE＝4．在直角△ADF中，根据射影定理，得EF＝＝4．根据勾股定理，得DF＝＝4，则圆的半径是2．故选：D．4．（嵩县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则CD的长是（）A． B．6 C． D．【答案】B【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，∴由射影定理得：CD2＝BD•AD＝9×4＝36，∴CD＝6（舍去负值）．故选：B．5．（2021秋•诸暨市期中）如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件①∠B+∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD•BC．其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【解答】解：①不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，∴无法证明△ABC是直角三角形；②能，∵∠B＝∠DAC，则∠BAD＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠C+∠DAC＝180°÷2＝90°；③能，∵CD：AD＝AC：AB，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴∠ABD＝∠CAD，∠BAD＝∠ACD，∵∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝∠CAD+∠BAD，∴∠BAC＝90°；④能，∵AB2＝BD•BC，∴，∴sin∠BAD＝sinC，∴∠BAD＝∠C．∴△CBA∽△ABD，∴△ABC一定是直角三角形．共有3个．故选：A．6．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是．【答案】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝，故答案为：．7．（2021秋•南岗区校级月考）如图：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，若AB＝6，AD＝2，则AC＝．【答案】18【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AC•AD，∵AB＝6，AD＝2，∴AC＝18，故答案为：18．8.（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．【答案】3【解答】解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．9．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝．【答案】【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD•AB，∴AD＝＝，故答案为：．10．（滨江区期末）如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝2．【答案】2．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．故答案为2．11．（衢江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝4，AD＝6．（1）求证△ABD∽△CAD；（2）求AC的长．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，又∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴＝，∴AD2＝BD×CD，∴CD＝＝＝9，Rt△ACD中，AC＝＝＝3．12．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵半⊙O与边AD相切于点E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：连接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的长为．13．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．【类型2：非直角三角形中射影定理】14.如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP•AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故选：A．15．（2022春•任城区校级期末）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求边AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，∠A为公共角，∴△ACD∽△ABC．（2）解：∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝AD+BD＝8．∵△ACD∽△ABC，∴，即AC2＝AB•AD．∴AC＝，∴AC的长为4．16．（2017秋•金牛区校级月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝2，∠A＝90°，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．【解答】解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝2，∴BC＝AB＝2，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝1，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝，∴BH＝，在Rt△ABE中，BE＝＝，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝∴CF＝BC﹣BF＝2﹣＝，∴△CEF的面积＝××＝．17．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．【解答】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD•AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即＝，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）方法一：∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝＝2，在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝．方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，∵OG＝OF，∴△OGF为等腰直角三角形，∴∠OGF＝45°，∴G点在BE上，∵BG＝CF＝，∴GF＝，∴OF＝GF＝．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接AC，若∠