专题10 解答压轴题：几何综合（解析版）

专题10解答压轴题：几何综合1．（2023•上海）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．（1）如果，求证：四边形为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结，如果，，，求边的长；（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：如图：，，，，，，是的中点，，是的中位线，，即，四边形是平行四边形；（2）解：如图：由，，点边中点，设，，则，由（1）可得，，，，，，即，在中，，，，解得：或（舍去），；（3）解：①当时，点与点重合，不符合题意，舍去；②当时，延长交于点，如图所示，点是的中点，，，设，，，，设，，，，，，，设交于点，，，，，，，在与中，，，，又，，，，，，，，的值为．2．（2022•上海）如图，在中，是线段中点，联结交于点，联结．（1）如果．ⅰ．求证：为菱形；ⅱ．若，，求线段的长；（2）分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值．【答案】（1）见解析；；（2）【详解】（1）．证明：如图，连接交于点，四边形是平行四边形，，，，，，，，，四边形是平行四边形，为菱形；．解：，是的中线，为的中点，是的中线，点是的重心，，设，则，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，，解得（负值舍去），，；（2）解：方法一：如图，与相交于，，，由（1）②知点是的重心，又在直线上，是的中线，，，，，，，，，，，．方法二：设，则，，，，垂直平分，，，延长交的延长线于点，则，，由勾股定理得，，由可得，，．3．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点．（1）当点在上，①求证：；②若，求的值；（2）若，，求的长．【答案】（1）①见解析；②；（2）或【详解】（1）①证明：如图1，，．，．是斜边上的中线，，，，；②解：如图2，若，在中，，．过点作于点，设，则，在中，，，，；（2）①如图3，当点在上时，，，，是的中点，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形．设，，，，，在和中，，，，解得，或（舍去）．．②如图4，当点在上时，设，则，设，，，，，，．又，，，，，，，将代入，整理得，，解得，或（舍去）．．综合以上可得的长为或．4．（2020•上海）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．（1）求证：；（2）当是等腰三角形时，求的大小；（3）当，时，求边的长．【答案】（1）见解析；（2）或；（3）【详解】（1）证明：连接．，，，，，，．（2）解：如图2中，延长交于．①若，则，，，，，，．②若，则，，，，．③若，则与重合，这种情形不存在．综上所述，的值为或．（3）如图3中，作交的延长线于．则，，设，，，，，，．5．（2019•上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，如果，且，求的值；（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3），．，【详解】（1）证明：如图1中，，，，平分，，同理，，，，．（2）解：延长交于点．，，平分，，，，，，，．（3）与相似，，中必有一个内角为是锐角，．①当时，，，，，此时．②当时，，，与相似，，此时．综上所述，，．，．6．（2023•徐汇区二模）已知：如图1，四边形中，，．（1）求证：四边形是等腰梯形；（2）边的垂直平分线交于点，交对角线于点，交射线于点．①当时，设长为，试用表示的长；②当时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①；②【详解】（1）证明：延长、交于点，，，，，即，，，，即，，，，，与不平行，四边形是梯形，，梯形是等腰梯形；（2）解：①连接，则，，，，，四边形是等腰梯形，，，即，，，，，，，，，，，设，则，，，，即，解得：，或（不符合题意，舍去），；②延长、交于点，过点作，交于，作于，设与的交点为，若点在线段上，则点为的中点，为等腰梯形的中位线，则，，这与矛盾；若点在线段的延长线上，如图，，又，，设，，则，，，，，，，，，，，，，，，，整理得，解得：，，，．7．（2023•杨浦区二模）已知是的直径，弦，垂足为点，点在直径上（与、不重合），，连接并延长与交于点．（1）如图1，当点与点重合时，求的度数；（2）连接交弦于点，如果，求的值；（3）当四边形是梯形时，且，求的长．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）如图1，连接、、，，垂足为点，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，是等边三角形，；（2）如图，，，，，，，，，，，设，则，，，；（3）如图，当时，连接，由（2）知，，，在梯形中，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，设，则，，，．8．（2023•徐汇区一模）如图1，已知菱形，点在边上，，交对角线于点．（1）求证：；（2）如图2，联结．①当为直角三角形时，求的大小；②如图3，联结．当时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①或；②【详解】（1）证明：四边形是菱形，，，，，，，，；（2）①菱形是轴对称图形，，令，则，当时，，，；当时，，，不符合题意；当时，，，，当为直角三角形时，或；②连接交于，交于，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，四边形是等腰梯形，，，，，，，，垂直平分，，，，，设，菱形边长是，，，或（舍，，，．的值是．9．（2023•浦东新区二模）已知：的直径，是的中点，是上的一个动点（不与点、、重合），射线交射线于点．（1）如图1，当时，求线段的长；（2）如图2，当点在上运动时，连接、，中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；（3）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或【详解】（1）解：如图1，连接、、，是的中点，是半径，，，，，，，，，，，，．（2）不变，．如图2，连接，是的中点，，是的直径，，，，．（3）解：①如图3，当点在的延长线上时，，，，是的中点，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，．②如图4，当点在上时，过点作于，，，，，，，，设，，，，由得，，，，，，，③如图5，当点在上时，，长度与②中相同，，，综上得，与面积的比值为：或或．10．（2023•杨浦区一模）已知在正方形中，对角线，点、分别在边、上，．（1）如图，如果，求线段的长；（2）过点作，垂足为点，与交于点．①求证：；②设的中点为点，如果，求的值．【答案】（1）；（2）①见解析；②或【详解】（1）解：如图1，连接，四边形是正方形，，，，，，，，，，，设，则，，，，，（舍去），；（2）①证明：如图2，延长，交于，作，，，，四边形是正方形，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，；②如图3，当时，延长交于，作于，作的垂直平分线，交于，，设，则，由上可知：，，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，，，，，，，；如图4，当时，同理可得：，设，则，在中，由勾股定理得，，，，，，综上所述：或．11．（2023•黄浦区二模）如图，在菱形中，，是边上一点，过点作，垂足为点，点在边上，且，连接，分别交、于点、．（1）已知，①当时，求的面积；②以点为圆心，为半径作圆，以点为圆心，半径为1作圆，圆与圆有且仅有一个公共点，求的值；（2）延长交边于点，当设，请用含的代数式表示的值．【答案】（1）①；②或；（2）【详解】（1）①如图1，作于，在中，，，，，在中，，；②如图2，作于，，设，，，设两圆外切于时，，，在中，，，，，，，如图3，当两圆内切于点时，，，，，，，综上所述：或；（2）如图4，延长，交于，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，．12．（2023•虹口区一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，满足．点是延长线上一点，且．（1）当点是的中点时，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的长．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）过点作于点，过点作于点，如图，，，，，．．．，，，是的中点，是的中位线，，，．在中，；（2），．，，．，．，，，．，，，，；（3）如果是等腰三角形，①当时，则．，，，这与已知条件不符，此种情况不存在；②当时，则，，，，，，，，为钝角，此种情况不存在；③当时，过点作于点，如图，由题意得：，，，，．．，，，，，．由（1）知：，，．．13．（2023•嘉定区二模）在中，，点在线段上，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．（1）如果，①如图1，当点与点重合时，求证：；②如图2，当点在线段上，且不与点、点重合时，问：①中的“”仍成立吗？请说明你的理由；（2）如果，如图3，已知为常数），当点在线段上，且不与点、点重合时，请探究的值（用含的式子表示），并写出你的探究过程．【答案】（1）①见解析；②；（2）【详解】（1）①证明：，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，即；②解：结论：．理由：如图2中，过点作交于点．，，，，由（1）可知，；（2）解：过点作交于点，交于点．，，，同法可证，，，，，，，．14．（2023•普陀区一模）如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点．（1）当点与点重合时，如果，求的长；（2）当点在线段的延长线上，①求的值；②如果，求的余切值．【答案】（1）；（2）①；②的余切值【详解】（1）如图，当点与点重合时，设，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，即，，；（2）①如图，交于点，连接，由（1）得，，，，，又，，，，，，，设，则，，；②如图，连接，，设，则，设，且，，则，，，，，，，，，即，，由①得，，，，两边平方并整理得，，，，，，，，，即的余切值．15．（2023•宝山区一模）如图1，在中，．点、分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足．（1）求证：；（2）如图2，当时，求的长；（3）当是等腰三角形时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）（3）；或【详解】（1）证明：如图1，作于，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：如图2，作于，，，，，，，在中，，设，，，，由得，，，；（3）解：如图3，当时，，，，，作于，作于，，，，，，，，由（1）知：，，，，如图4，当时，，，作于，，，，，由（1）知：，，，，，综上所述：；或．16．（2023•静安区二模）如图1，扇形的半径为，圆心角，点是上的动点（点不与点、重合），点、分别在半径、上，四边形为矩形，点在线段上，且．（1）求证：；（2）如图2，以为顶点、为一边，作，射线交射线于点，联结、．①当时，求与的面积之比；②把沿直线翻折后记作，当时，求的正切值．【答案】（1）见解析；（2）①；②【详解】（1）证明：连接，设交于，如图：四边形为矩形，，，，；（2）解：①连接，如图：四边形为矩形，，，，，，，，，，，，，，；②如图：当时，，，把沿直线翻折得，，，，在中，，．的正切值是．17．（2023•崇明区二模）如图，在中，，，．点是边上一动点（不与、重合），联结，过点作，分别交、于点、．（1）当时，求的正切值；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出的定义域；（3）联结并延长，与边的延长线相交于点，若与相似，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【详解】（1），，，，，，，，；（2）如图，作于，于．则四边形是矩形．，，，，，，．（3）如图：①当时，有，又，，，点，，，四点共圆，且为直径，，，，，，．②当时，有，，，，过点作于点，，，，，，，，解得（负值舍去），，综上所述，若与相似，的值为或．18．（2023•长宁区一模）已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足．（1）当点在线段上时，如图1．①如果，求的长；②设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义域．（2）当时，求的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）【答案】（1）①4或12；②；（2）或【详解】（1）①，，，且，，，，，，，，解得或，的长为4或12；②由（1），，、两点的距离为，，，，，，，，，，，，，，，；（2）过作于，过作于，当在边上时，如图：，，，，由（1）知当，即时，，，于，，，，，，，，的面积为，当在延长线上时，如图：由可得，由可得，的面积为，综上所述，的面积为或．19．（2023•杨浦区三模）已知在矩形中，，，点是边上的一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径作圆，交射线于点．（1）如图1，当与直线相切时，求半径的长；（2）当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围；（3）连接，过点作，垂足为点，延长交射线于点，如果以点为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值．【答案】（1）；（2）或；（3）或1【详解】（1）如图1，设于相切于点，连接、，则，四边形是矩形，，，，，，，是的半径，与相切于点，，，，，，，，半径的长为．（2）设与相切于点，此时与的三边有三个交点，如图2，连接，则，，四边形是矩形，，当时，与的三边有且只有两个交点，如图3，经过点，此时与的三边有三个交点，连接，则，，，，解得当点于点重合时，，当时，与的三边有且只有两个交点，综上所述，半径的取值范围是或．（3）如图4，与外切，于点，，，，，，，解得，；如图5，经过点，此时与内切，，，，综上所述，的正切值是或1．20．（2023•金山区一模）已知平行四边形中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，联结．（1）如图1，当点与点重合时，证明：；（2）如图2，点在的延长线上，当时，求的长；（3）当是以为底的等腰三角形时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】（1）证明：如图1，四边形是平行四边形，，，点与点重合，，，，，，．（2）解：如图2，作交的延长线于点，则，，，，，且，，解得或（不符合题意，舍去），，，，，，，，，，，，的长是．（3）解：是以为底的等腰三角形，，如图3，点在线段的延长线上，，，，解得；如图4，点在线段上，，，，解得，综上所述，的长是或．21．（2023•松江区一模）已知梯形中，，，，，是线段上一点，联结．（1）如图1，如果，且，求的正切值；（2）如图2，如果，且，求的长；（3）如果，且是等腰三角形，求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）或或或【详解】（1）过作于，过作于，如图：，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，即，，，，，，，的正切值为；（2）过作于，过作于，如图：，，同（1）可得，，，，，，，，，，即，或，（大于6舍去）或，，；的长为；（3）当时，过作于，如图：，，，，，即，，；当时，过作于，过作于，如图：，同（2）可得，，解得或，或；当时，过作于，过作于，如图：设，则，，，，，，，即，解得（舍去）或，，综上所述，的面积为或或或．22．（2023•虹口区二模）如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为．（1）如图2，当时，联结，求证：；（2）延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长；（3）当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）或；（3）或【详解】（1）证明：连接，交于点，如图，，，又过圆心，．，．在菱形中，，在中，，，即，；（2）解：，如果是直角三角形，那么只有或，①当时，连接，如图，由题可得：，，在中，，，．，，即：，；②当时，，，在菱形中，，，，，在中，，，综上所述，或；（3）解：连接，过点作于点，延长交于点，过点作于点，如图，，，同理，，，，，，．在中，，．在中，，在中，，，的半径为，的取值范围为或．23．（2023•松江区二模）如图1，是半圆的直径，是半圆上一点，点与点关于直线对称，射线交半圆于点，弦交于点、交于点．（1）如图2，恰好落在半圆上，求证：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】（1）证明：如图2，连接，点与点关于直线对称，，，，，，是等边三角形，，，，，．（2）解：如图3，设的半径为，则，作于，，，，在中，，，，，，，，点与点关于直线对称，，由对称性得，，，，．（3）解：①如图4，当点在内部时，，由对称性知，过点作于，于，，，，，．②如图5，当点在外部时，过点作于，于，则，，，又，，，．综上得，或．24．（2023•青浦区一模）如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设．过点作，与直线相交于点．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）当与相似时，求的长．【答案】（1）；（2）；（3）的长为或【详解】（1）过作，垂足为点，，．，，，又，，，；（2）当时，得，，．，点是射线与直线的交点，过作，交于点，则．，．，，，，（3）当点是射线与的交点时，与相似，又，，即，又，．，即．解得，过作，垂足为点．由，得，，．，．．，．解得，，当点是射线与的交点时，，，又与相似，．，，，．即．解得．，，．．解得．综上所述，当与相似时，的长为或．25．（2023•长宁区二模）如图1，在中，，以点为圆心、为半径的交边于点，点在边上，满足，过点作交于点，垂足为点．（1）求证：；（2）延长与的延长线交于点，如图2所示，求的值；（3）以点为圆心、为半径作，当，时，请判断与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）与外切【详解】（1）证明：，，，，，，，，，；（2）解：如图，延长交于，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：与外切，理由如下：设，设，在中，由勾股定理得，；①，，，，，②由①②得，，，，，与外切．26．（2023•宝山区二模）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．（1）当时，求的长；（2）当时，求的值；（3）当为直角三角形时，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【详解】（1）过点作于点，连接，，，，，，，在中，，，（负值已舍去），是的平分线，，，，，，，，，，四边形是矩形，，；（2）过点作于点，连接，，，，，是的平分线，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，；（3）①当时，过点作于点，连接，，，，，，，，，，（负值舍去），；②当时，连接，，，，，，，，，；综上，的值为或．27．（2023•奉贤区一模）如图，在平行四边形中，点在边上，交对角线于点，．（1）求证：；（2）如果．①求的长；②如果，求值．【答案】（1）见解析；（2）①3；②【详解】（1）证明：如图1，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，．（2）解：①如图2，，，，，，，，，，，，解得或（不符合题意，舍去），的长是3．②如图2，作交的延长线于点，作交的延长线于点，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，解得，，，，，，，．28．（2023•金山区二模）如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点．（1）求证：；（2）设的中点为点，①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值；②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长．【答案】（1）见解析；（2）①；②【详解】（1）证明：，，，，，；（2）①连接，是的中点，，，为圆的直径，连接，设经过、、三点的圆半径为，弦恰好是正十边形的一条边，，，又、是、的中点，，，，，，，，，则，即，解得：（舍，，②，，又，，，，设，由①可知，，，，，即，如图，过点作于点，在中，，，解得，，，，是所在圆的半径，，又，，，，，，即，解得：，连接，，的半径长为．29．（2023•崇明区一模）已知中，，，．点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，联结．（1）如图，当点在线段上时，与交于点，求证：；（2）在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）当时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）为或【详解】（1）证明：取的中点，连接，．，，，，，，，，四点共圆，，，；（2）解：过点作于点，过点作交的延长线于点．，，，，，，，，，四点共圆，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：当点在线段上时，，，，，，．当点在的延长线上时，过点作于点，过点作交于点．同法可证，，，综上所述，满足条件的的值为或．30．（2023•普陀区二模）如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别联结、．（1）当是圆的内接正六边形的边时，求的长；（2）设，，求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，联结．是的中腰线，求的长．【答案】（1）2；（2）；（3）3或1【详解】（1）如图1，联结、，的直径，，是的内接正六边形的边，，，点是的中点，，，是等边三角形，，的长是2．（2）如图2．联结、交于点，点在上运动，且点不与点、重合，，，，，，，，，，，，．（3）点在的延长线上，点不在上，，，当时，如图3，联结、交于点，，，，，，，，，，，由（2）得，，解得；当时，如图4，联结、交于点，联结，则，，，，，，，，，综上所述，的长为3或1．31．（2023•青浦区二模）如图，半圆的直径，点在半圆上，，，垂足为点，点是弧上一点．（1）若点是弧的中点，求的值；（2）连接交半径于点，交于点，设．①用含的代数式表示线段的长；②分别以点为圆心为半径、点为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求取值范围．【答案】（1）；（2）①；②【详解】（1）连接，点是弧的中点，是直径，．，，，过点作，垂足为点．由垂径定理，．在中，，，，，．在中，，，，；（2）①作交于点．得，．又，所以，．②设，由①知，．当两圆内切时，．由于，，所以两圆不可能内切．当两圆外切时，．解得．所以当两圆相交时，．32．（2023•奉贤区二模）在梯形中，，，，，过点作对角线的垂线，垂足为，交射线于点．（1）如图，当点在边上时，求证：；（2）如图，如果是的中点，求的值；（3）联结，如果是等腰三角形，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）如果是等腰三角形，的长为8或或【详解】（1）证明：，，，，，，，，；（2）解：如图1，作点作交于点，设，．，是的中点，，，，，，，，，，即，解得，；（3）解：①如图2，当时，，，，，是等边三角形，，，，；②如图3，当时，，，，，，，，；③如图4，当时，设与交于，，，，，，，即，解得，，综上所述，如果是等腰三角形，的长为8或或．33．（2023•静安