第02讲 一元一次方程的解法（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年七年级数学上册（苏科版）

第第页第02讲一元一次方程的解法1.会通过去分母解一元一次方程；2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法；3.体会建立方程模型解决问题的一般过程；4.体会方程思想，增强应用意识和应用能力．知识点1解一元一次方程解一元一次方程的步骤：去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项注意：特别是去掉括号，符合变化3.移项（1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；（2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边．4.合并同类项（1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．5.系数化为1（1）定义：方程两边同除以未知数的系数a，得；（2）注意：分子、分母不能颠倒【题型1解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x+3＝3x﹣15．【答案】x＝﹣9．【解答】解：5x+3＝3x﹣15，移项，得5x﹣3x＝﹣15﹣3，合并同类项，得2x＝﹣18，系数化为1，得x＝﹣9．【变式1-1】解方程：5x﹣8＝2x﹣3．【答案】．【解答】解：5x﹣8＝2x﹣3，移项，得5x﹣2x＝﹣3+8，合并同类项，得3x＝5，系数化为1，得．【变式1-2】解方程：2x+2＝3x﹣2．【答案】x＝4．【解答】解：2x+2＝3x﹣2，移项得：2x﹣3x＝﹣2﹣2，合并得：﹣x＝﹣4，系数化为1得：x＝4．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【答案】（1）x＝﹣7；（2）x＝．【解答】解：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3），去括号，得3x+3﹣2＝2x﹣6，移项，得3x﹣2x＝﹣6﹣3+2，合并同类项，得x＝﹣7（2）．去分母，得4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2），去括号，得8x﹣4＝12﹣3x﹣6，移项，得8x+3x＝12﹣6+4，合并同类项，得11x＝10，系数化成1，得x＝．【变式2-1】解方程：（1）4（2﹣y）+2（3y﹣1）＝7；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）4（2﹣y）+2（3y﹣1）＝7去括号，得：8﹣4y+6y﹣2＝7，移项、合并同类项，得：2y＝1，系数化为“1”，得：；（2）去分母，得：4（2x+1）﹣12＝3（2x﹣3），去括号，得：8x+4﹣12＝6x﹣9，移项、合并同类项，得：2x＝﹣1，系数化为“1”，得：．【变式2-2】解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝﹣8；（2）．【解答】解：（1）移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：x＝﹣8；（2）去分母，得：2（2y﹣1）﹣6＝3（5y﹣7），去括号，得：4y﹣2﹣6＝15y﹣21，移项，得：4y﹣15y＝﹣21+2+6，合并同类项，得：﹣11y＝﹣13，系数化为1，得：．【变式2-3】解方程．（1）3（x﹣2）﹣4（2x+1）＝7；（2）．【答案】（1）x＝﹣；（2）x＝13．【解答】解：（1）3（x﹣2）﹣4（2x+1）＝7，去括号，得3x﹣6﹣8x﹣4＝7，移项，得3x﹣8x＝7+4+6，合并同类项，得﹣5x＝17，系数化成1，得x＝﹣；（2），去分母，得3（x﹣1）﹣6＝2（2+x），去括号，得3x﹣3﹣6＝4+2x，移项，得3x﹣2x＝4+3+6，合并同类项，得x＝13．【题型2一元一次方程的整数解问题】【典例3】是否存在整数k，使关于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整数解？并求出解．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（k﹣4）x+6＝1﹣5x，∴x＝﹣，∵关于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整数解，∴k+1＝﹣5；﹣1；1；5即可，∴k＝﹣6或﹣2或0或4，∴方程的解分别为1；5；﹣5；﹣1．【变式3-1】当整数k为何值时，方程9x﹣3＝kx+14有正整数解？并求出正整数解．【答案】见试题解答内容【解答】解：移项，得9x﹣kx＝14+3，合并同类项，得（9﹣k）x＝17，系数化为1，得x＝，∵是正整数，∴9﹣k＝1或17，∴k＝8或﹣8时，原方程有正整数解；当k＝8时，x＝17；当k＝﹣8时，x＝1．【变式3-2】（2022秋•通川区校级期末）若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：把方程kx﹣2x＝14，合并同类项得：（k﹣2）x＝14，系数化1得：x＝，∵解是正整数，∴k的整数值为3、4，9，16．故选：D【题型3根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例4】若代数式与的值的和为5，则m的值为（）A．18 B．10 C．﹣7 D．7【答案】C【解答】解：依题意得：+＝5，去分母得：12m﹣2（5m﹣1）+3（7﹣m）＝30，去括号得：12m﹣10m+2+21﹣3m＝30，移项、合并同类项得：﹣m＝7．化系数为一得：m＝﹣7．故选：C．【变式4-1】（2023春•新乡期末）若和3﹣2x互为相反数，则x的值为（）A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】解：根据相反数定义可得：，去分母：x+3+2（3﹣2x）＝0，去括号：x+3+6﹣4x＝0，移项：x﹣4x＝﹣3﹣6，合并同类项：﹣3x＝﹣9，系数化为1：x＝3．故选：B．【变式4-2】（2022秋•柳州期末）已知代数式5a+1与a﹣3的值相等，那么a＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵代数式5a+1与a﹣3的值相等，∴5a+1＝a﹣3，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式4-3】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，则a等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】C【解答】解：依题意，﹣2a+1﹣（a﹣2）＝6，解得：a＝﹣1，故选：C．【变式4-4】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：∵A＝2x+1，B＝5x﹣4，A比B小1，∴（5x﹣4）﹣（2x+1）＝1，5x﹣4﹣2x﹣1＝1，5x﹣2x＝1+1+4，3x＝6，x＝2．故选：A．【题型4错解一元一次方程的问题】【典例5】一位同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（）”处的数字看成了（）A．3 B．﹣ C．﹣8 D．8【答案】D【解答】解：设括号处未知数为y，则将x＝﹣代入方程得：5×（﹣）﹣1＝y×（﹣）+3，移项，整理得，y＝8．故选：D．【变式5-1】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：把x＝﹣2代入原方程，得﹣4﹣3＝﹣2a+3，解得a＝5，故选：A．【变式5-2】某同学解方程5y﹣1＝口y+4时，把“口”处的系数看错了，解得y＝﹣5，他把“口”处的系数看成了（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【答案】C【解答】解：设口为a，把y＝﹣5代入方程得：5×（﹣5）﹣1＝﹣5a+4，∴﹣5a+4＝﹣26，∴﹣5a＝﹣30，∴a＝6，故选：C．【变式5-3】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝﹣，则该同学把m看成了（）A．3 B． C．8 D．﹣8【答案】C【解答】解：把x＝﹣代入方程得：﹣﹣1＝﹣m+3，解得：m＝8，故选：C．【变式5-4】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数a看成了下列哪个数？（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：把x＝﹣2代入原方程，得﹣4﹣3＝﹣2a+3，解得a＝5．故选：A．【题型5一元一次方程的解与参数无关】【典例6】定义一种新运算：a⊙b＝5a﹣b．（1）计算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化简：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a⊙b＝5a﹣b，∴（﹣6）⊙8＝5×（﹣6）﹣8＝﹣30﹣8＝﹣38，故答案为：﹣38；（2）由题意得：5（2x﹣1）﹣（x+1）＝12，10x﹣5﹣x﹣1＝12，9x＝18，∴x＝2；（3）∵a⊙b＝5a﹣b，∴（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1）＝5（3xy﹣2x﹣3）﹣（﹣5xy+1）＝15xy﹣10x﹣15+5xy﹣1＝20xy﹣10x﹣16＝（20y﹣10）x﹣16，∵化简后代数式的值与x的取值无关，∴20y﹣10＝0，∴y＝．【变式6-1】（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理数对（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，则x＝．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），∴5A﹣4B＝5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b＝3a2b﹣ab2，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝36+18＝54；（2）①根据题中的新定义得：原式＝10+9＝19；②根据题中的新定义得：﹣3（2x+1）﹣2x＝15，去括号得：﹣6x﹣3﹣2x＝15，移项合并得：﹣8x＝18，解得：x＝﹣；③根据题中的新定义化简得：2（2x+k）﹣k（x﹣1）＝4x+2k﹣kx+k＝（4﹣k）x+3k，由结果与x取值无关，得到4﹣k＝0，即k＝4．故答案为：①19；②﹣【变式6-2】（1）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差与x，y的值无关，求nm+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【答案】（1）3；（2）．【解答】解：（1）根据题意得：3x2+my﹣8+nx2﹣2y﹣7＝（3+n）x2+（m﹣2）y﹣15，由题意得：m＝2，n＝﹣3，则原式＝9﹣6＝3；（2）＝1﹣2×（5x+1）＝6﹣（2x﹣1），10x﹣2＝6﹣2x+1，12x＝9，x＝．【题型6一元一次方程的解在新定义中运用】【典例7】定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解答】解：根据题中的新定义化简得：3x+6+3x+2x＝22，移项合并得：8x＝16，解得：x＝2，故选：D．【变式7-1】（2022秋•东明县校级期末）规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（）A． B． C． D．﹣1【答案】A【解答】解：（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，（﹣3）2+2×（﹣3）×2x＝﹣3﹣2x，9﹣12x＝﹣3﹣2x，﹣12x+2x＝﹣3﹣9，﹣10x＝﹣12，x＝，故选：A．【变式7-2】新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m的值为﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：由题意，得2m+4﹣3m＝6，﹣m＝2，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2【变式7-3】（2022秋•滕州市校级期末）对于任意有理数a、b，规定一种新运算“*”，使a*b＝3a﹣2b，例如：5*（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．（2x﹣1）*（x﹣2）＝﹣3，则x的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【答案】C【解答】解：根据题中的新定义化简得：3（2x﹣1）﹣2（x﹣2）＝﹣3，去括号得：6x﹣3﹣2x+4＝﹣3，移项得：6x﹣2x＝﹣3+3﹣4，合并同类项得：4x＝﹣4，系数化为1，得：x＝﹣1．故选：C1．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7【答案】C【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，合并同类项得：x＝7．故选：C．2．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【答案】A【解答】解：根据题意可得，x+1＝6，解得：x＝5．故选：A．3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【答案】D【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．4．（2023•陇西县校级模拟）定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣2【答案】A【解答】解：根据题中的新定义得：∵3ⓧx＝2×3+x，4ⓧ2＝2×4+2，∵3ⓧx＝4ⓧ2，∴2×3+x＝2×4+2，解得：x＝4．故选：A．5．（2023•青山区一模）若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1 B． C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：由题意，得，解得x＝1；故选：A．6．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6 B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1 C．9x﹣3﹣4x+2＝6 D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6【答案】D【解答】解：﹣＝1，方程两边同时乘以6得：3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6，去括号得：9x﹣3﹣4x﹣2＝6，故选：D．7．（2021•广元）解方程：+＝4．【答案】x＝7．【解答】解：+＝4，3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，3x﹣9+2x﹣2＝24，3x+2x＝24+9+2，5x＝35，x＝7．8．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】x＝3．【解答】解：4x﹣1＝2x+5，4x﹣2x＝5+1，2x＝6，x＝3．9．（2021•西湖区校级自主招生）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【答案】见试题解答内容【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．移项，合并同类项，得x＝﹣3．10．（2022秋•陵城区期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．【答案】（1）x＝1；（2）y＝．【解答】解：（1）去括号得，18x﹣18﹣2x＝﹣4x+2，移项得，18x﹣2x+4x＝2+18，合并同类项得，20x＝20，x的系数化为1得，x＝1；（2）去分母得，2（3y﹣1）﹣20＝5（5y﹣7）去括号得，6y﹣2﹣20＝25y﹣35，移项得，6y﹣25y＝﹣35+20+2，合并同类项得，﹣19y＝﹣13，x的系数化为1得，y＝．1．（2023春•榆树市期末）一元一次方程8x＝2x﹣6的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1【答案】D【解答】解：8x＝2x﹣6，6x＝﹣6，x＝﹣1．故选：D．2．（2022秋•汾阳市期末）方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5 B．3x﹣2x﹣6＝5 C．3x﹣2x+3＝5 D．3x﹣2x+6＝5【答案】D【解答】解：3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+3×2＝3x﹣2x+6＝﹣x+6，故选：D．3．（2023•乐东县一模）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（）A． B．2 C．﹣2 D．无法计算【答案】B【解答】解：∵代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，∴5x﹣7+13﹣2x＝0，∴3x+6＝0，∴x＝﹣2，故选：B．4．（2022秋•宜城市期末）定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵a※b＝ab+2a，∴（3※x）+（x※3），＝3x+2×3+3x+2x，＝8x+6，∴8x+6＝14，解得x＝1．故选：A．5．（2022秋•泸县期末）如果表示ad﹣bc，若＝4，则x的值为（）A．﹣2 B． C．3 D．【答案】C【解答】解：根据题意得：＝5（x﹣1）﹣2x＝4，化简为：3x＝9，∴x＝3，