第16题数列函数谓同宗应用性质法无穷 2024年高中数学三轮复习之一题多解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第16题数列函数谓同宗，应用性质法无穷（全国高考真题）设等差数列的前n项和为，已知且，；（1）求公差的范围；（2）该数列前几项的和最大？说明理由．第（1）问的解法实质是解一个不等式组而第（2）问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，由条件设法确定前n项为正，或者是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大．本题由且确定．（1）解：根据题意，有整理，得解之得．（2）由可知为一个递减数列，因此，在中，必存在一个自然数n，使得，，此时对应的就是中的最大值．由于于是，从而，因此最大．∴该数列前6项的和最大．（2023·陕西西安·模拟预测）1．已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．17第（1）问的解法实质是解一个不等式组而第（2）问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，由解出n的范围，从而确定此范围中的自然数n，当然第（1）问求出的取值范围用于放缩确定n的值（1）解：根据题意，有整理，得解之得．（2）由（1）易知是递减数列，解关于n的不等式组得由，可得∴，故n＝6．即最大，该数列前6项的和最大．（22-23高二·全国·课堂例题）2．已知数列的前n项和公式为：(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；(2)求的最小值，并求取得最小值时n的值.第（1）问的解法实质是解一个不等式组而第（2）问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，根据等差数列前n次和公式，显然是二次函数形式．故可以通过确定前n项和的表达式，利用配方法，确定其最值．（1）解：根据题意，有整理，得解之得．（2）利用等差数列前n项和公式，得∵，当最小时，最大．由于，则．∴当n＝6时，最小，因此，最大，该数列前6项的和最大．（2022·全国·高考真题）3．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【点评】1.数列是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列，比如研究数列的单调性、周期性，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现．函数有最大值最小值的探究，数列也有这方面的问题，可以这样说：数列函数同根同宗．牢牢抓住对其性质的研究也就抓住了根本.2.等差数列与等比数列是数列学习中两类最基本的数列，等差数列的通项公式可整理为．如果，是常数；如果，是n的一次函数，其前n项和公式可整理为，是关于n的二次函数且常数项为0．在等比数列的通项公式（且）中，和n的关系类似于指数函数，所以等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与指数函数有着密切的关系，我们不仅要了解这种关系，而且要能够利用数列与函数的这种关系解决问题．图像是函数的一种重要表示形式，图像法解题当然是解函数问题一种重要的解题策略．有些数列问题借助其对应的图像可以得到直观形象的解答，如等差数列中，，可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n是取得最大值的n，特别提醒：若对称轴为，则与同时取得最大值，对于二次函数的最值一般需要运用配方法有些函数问题，比如求函数解析式可以借助数列中的相关知识进行求解等.（22-23高二·全国·课堂例题）4．已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．（22-23高二·全国·随堂练习）5．已知数列是等差数列，其中，．(1)求数列的通项公式，并画出它的图象．(2)数列从哪一项开始小于0．(3)求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值．（四川·高考真题）6．已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立．（1）求数列的通项公式；（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？（2021·全国·高考真题）7．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．（2019·全国·高考真题）8．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．9．在数列中，已知，求中的最大项．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】由等差中项性质可得数列为等差数列，再由，其前n项和有最大值可得，即可求得，即可知所求结果为.【详解】由数列满足对恒成立可知，数列为等差数列；设数列的首项为，公差为，则，若前n项和有最大值，则可知，因此，又，所以，可得，所以，即；所以，使得的最大的n的值是.故选：C2．(1)，是等差数列(2)最小值，【分析】（1）根据计算，然后验证即可；（2）结合二次函数性质求解取得最小值时n的值.【详解】（1）当时，有.当时，有.又因为，所以时也成立，因此数列的通项公式为：.因为，所以是等差数列.（2）（方法一）因为，又因为n是正整数，所以当或8时，最小，最小值是.（方法二）由可知数列是递增的等差数列，而且首项.令，可得，解得，而且0.由此可知，或8时，最小，最小值是.3．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．4．当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30．【分析】由和，可以证明是递减数列，且存在正整数k，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和．另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．可以利用二次函数的性质求相应的n，的值．【详解】解法1：由以，得，所以是递减数列．又由，可知：当时，；当时，；当时，．所以．也就是说，当或6时，最大．因为，所以的最大值为30．解法2：因为，易知二次函数在时递增，在时递减，所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30．5．(1)，图象见解析(2)5(3)76，4【分析】（1）由等差数列定义即可写出通项公式，并直接作出其图象即可.（2）令，解不等式即可，注意.（3）由等差数列前项和公式结合二次函数性质即可解决.【详解】（1）由题意数列的通项公式为，其函数图象如图所示：

（2）由（1）可知，令，解得，所以数列从第5项开始小于0．（3）由（1）可知，所以其前项和为，而二次函数的对称轴为，和它最接近的整数为4，因此当时，数列前n项和有最大值.6．（1）若a1=0,若a1；（2）数列{lg}的前6项的和最大.【详解】(1)取n=1,得若a1=0,则s1="0,"当n若a1,当n上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列综上，若a1=0,若a1（2）当a1>0,且所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）则b1>b2>b3>…>b6=当n≥7时，bn≤b7=故数列{lg}的前6项的和最大【点睛】本小题主要考查.第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力.7．(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.8．（1）；（2）.【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.9．．【分析】解法一：把通项和前后两项进行比较，求出n的取值范围，确定最大项的项数以及具体的值；解法二：比较法确定最大项的项数，可以选择比差法，即由研究的单调性求出最大项；解法三：比较法确定最大项的项数，可