【数学】一元线性回归模型参数的最小二乘估计第二课时 2023-2024学年高二人教A版2019选择性必修第三册

人教A版2019选修第三册第八章成对数据的统计分析8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘法第二课时1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.教学目标

温故知新PART.01温故知新1.经验回归方程：我们将

称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估计：经验回归方程中的参数计算公式为：

问题提出

研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程．

非线性经验回归方程PART.02概念讲解问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95画散点图：

在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.概念讲解

将经验回归直线叠加到散点图，得到下图.概念讲解由图形可知，第一点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.

概念讲解思考2：如何修改模型，以使其更好地反映散点的分布特征吗？

概念讲解令x=ln(t-1895)，通过x=ln(t-1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据，如下表.编号12345678年份/t18961912192119301936195619601968x0.002.833.263.563.714.114.174.29记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95令x=ln(t-1895),则Y=c2x+c1.

概念讲解

在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色)，如图所示.我们发现，散点图中各散点都非常靠近②的图象，表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.对模型刻画效果分析PART.03概念讲解残差的平方和

编号12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022

因此经验回归方程②的拟合效果更好。概念讲解决定系数R2

概念讲解在使用经验回归方程进行预测时,需注意以下问题1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2.我们所建立的回归方程一般都有时间性；3.样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上