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文档简介

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；2垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；3内心——角平分线的交点内切圆的圆心：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；4外心——中垂线的交点外接圆的圆心：外心到三角形各顶点的距离相等;二、四心与向量的结合1是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线,且分为2：1是的重心2为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.同理,为的垂心3设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量,平分,,令化简得4为的外心;典型例题：例1：是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示,分别为边的中点.例2：03全国理4是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的BA．外心B．内心C．重心D．垂心分析：分别为方向上的单位向量,平分,点的轨迹一定通过的内心,即选.例3：是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示AD垂直BC,BE垂直AC,D、E是垂足.===+=0点的轨迹一定通过的垂心,即选.练习：1．已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足：,则的值为A．2B．C．3D．62．若的外接圆的圆心为O,半径为1,,则A．B．0C．1D．3．点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比是A．0B．C．D．4．的外接圆的圆心为O,若,则是的A．外心B．内心C．重心D．垂心5．是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若,则是的A．外心B．内心C．重心D．垂心6．的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m=7．06陕西已知非零向量eq\oAB,\s\up6→与eq\oAC,\s\up6→满足eq\f\oAB,\s\up5→,|\oAB,\s\up5→|+eq\f\oAC,\s\up5→,|\oAC,\s\up5→|·eq\oBC,\s\up6→=0且eq\f\oAB,\s\up5→,|\oAB,\s\up5→|·eq\f\oAC,\s\up5→,|\oAC,\s\up5→|=eq\f1,2,则△ABC为A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知三个顶点,若,则为A．

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