第五章-频域分析 - 初定

第五章线性系统的频域分析法

频域分析法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。

与时域分析法和根轨迹法不同。频域分析法不是根据系统的闭环极点和零点来分析系统的性能，而是根据系统对正弦信号的稳态响应，即系统的频率特性来分析系统的性能。因此，从某种意义上讲，频率特性法与时域分析法和根轨迹法有着本质的不同。利用频域分析法也可以分析系统的稳定性、动态性能和稳态性能，也可进行系统综合。

本章将介绍频率特性的基本概念，典型环节和系统的频率特性的极坐标图和伯德图，奈奎斯特稳定判据和频域性能指标与时域性能指标之间的关系，开环频域性能分析等内容。

5.1频率特性

5.2典型环节的频率特性

5.3控制系统的开环频率特性

5.4

奈奎斯特稳定判据

5.5稳定裕度

5.6闭环频率特性

5.7频率特性分析

5.8利用MATLAB绘制系统的频率特性图

5.9例题精解5.1

频率特性5.1.1基本概念以图示RC网络为例，说明频率特性的基本概念。RCr(t)c(t)网络微分方程为式中，T=RC。其传递函数为设输入为正弦电压，则经拉氏反变换，得电容两端输出电压式中，第一项为输出电压的暂态分量，将随时间增大而趋于零；第二项为输出的稳态分量，即可见，网络的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压频率相同，幅值是输入电压的倍，相角比输入延后arctanωT

。二者皆是ω的函数，前者称为RC网络的幅频特性，后者称为RC网络的相频特性。由可知，函数完整地描述了RC网络在正弦电压作用下，稳态输出是电压幅值和相角随ω变化的规律，就称为网络的频率特性。

将频率特性和传递函数表达式比较可知，只要将传递函数中的s以jω置换，即得频率特性，即

这一结论非常重要，反应了幅频特性和相频特性与系统数学模型的本质关系，具有普遍性。对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。式中，为极点。若：则：经拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当时：式中，分别为：稳态分量为而上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移动了。和都是频率的函数。二者可以统一由G(j

ω)表示，而定义：稳态响应与正弦输入信号的相位差为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；定义：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；

幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是的函数。称为频率特性。这里和分别称为系统的实频特性和虚频特性。

还可将写成复数形式，即5.1.2频率特性[结论]：当传递函数中的复变量s用代替时，传递函数就转变为频率特性，反之亦然。故频率特性也是系统的数学模型。到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。1.在已知系统的微分方程或传递函数的情况下，当输入为正弦函数时，求其稳态解，再求G(jw)2.将传递函数中的s换为jw来求取3.实验法：是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。如果在不知道系统的传递函数或数学模型时，只有采用实验法。

5.1.3频率特性的求法对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线(即极坐标图)。它是由两张图组成，对数幅频曲线和对数相频曲线，以为横坐标，对数分度，分别以和作纵坐标。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作dB；对数相频曲线的单位是度。

5.1.4频率特性的几何表示法工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1．极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。3．对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。2．对数幅频特性曲线，也称伯德(Bode)图。典型环节

惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0

一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0

振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ξs/ωn+1];式中ωn>0，0<ξ<1

比例环节：K

积分环节：1/s

微分环节：s

二阶微分环节：(s/ωn)2+2ξs/ωn+1;式中ωn>0，0<ξ<1

延迟环节：e-τs5.2

典型环节的频率特性比例环节k

j0比例环节K的幅相曲线·

传递函数频率特性幅频特性相频特性积分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性0

ω

积分环节的幅相曲线

j

实频特性虚频特性微分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性jω

ω=0

0微分环节幅相曲线实频特性虚频特性惯性环节传递函数频率特性幅频特性相频特性惯性环节幅相曲线ω=0j0ω=∞-45oω=1/T1实频特性虚频特性可证明：一阶微分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性实频特性虚频特性ω=0

j

0ω

1一阶微分环节幅相曲线振荡环节传递函数频率特性幅频特性相频特性振荡环节的幅相曲线ω=0ω=∞

谐振频率ωr与谐振峰值Mr：

当阻尼比ξ比较小时，在ω=ωn附近将出现谐振峰值。传递函数频率特性幅频特性相频特性二阶微分环节j二阶微分环节幅相曲线01ω=0传递函数频率特性幅频特性相频特性实频特性虚频特性延迟环节

延迟环节幅相曲线j015.3

控制系统的开环频率特性5.3.1开环极坐标图开环极坐标图的绘制方法：(1)用幅频特性和相频特性计算作图，如例5-1；(2)按实频特性和虚频特性计算作图；(3)由开环极点零点分布图绘制，如例5-2。开环极坐标图的近似绘制：(1)起点和终点；(2)与实轴的交点；(3)变化范围。例5-1

如图所示RC电路，其传递函数为试绘制系统极坐标图。解：系统开环频率特性为：0系统幅频特性为：系统相频特性为：1.极坐标图的起点即ω

→0时，Gk(j0+)在复平面上的位置。0型系统：

Gk(j

0)=K∠0°I型及I型以上系统：幅值相角0v=0v=1v=22.极坐标图的终点即ω

→+∞时，Gk(+j∞)在复平面上的位置。相角幅值0n-m=2n-m=3n-m=13.与实轴的交点令，解得ωx；将其代入即得与实轴的交点。4.变化范围根据相角范围决定象限。例5-3

设某0型反馈控制系统开环传递函数为试绘制系统概略极坐标图。解：系统开环频率特性为：起点：0型系统，A(0+)→k,φ(0)=0°终点：n-m=2，A(∞)→0,φ(∞)=-180°0系统幅频特性为：系统相频特性为：例5-4

设单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制系统概略极坐标图。解：系统开环频率特性为：起点：Ⅰ型系统，A(0)→∞,φ(0)=-90°终点：n-m=2，A(∞)→0,φ(∞)=-180°0系统幅频特性为：系统相频特性为：例5-5

设单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制系统概略极坐标图。解：系统开环频率特性为：起点：Ⅱ型系统，A(0)→∞,φ(0)=-180°终点：n-m=3，A(∞)→0,φ(∞)=-270°0例5-1

设系统开环传递函数为试绘制系统概略极坐标图。解：系统开环频率特性起点：I型系统，A(0+)→∞,φ(0)=-90°终点：n-m=3，A(∞)→0,φ(∞)=-270°与实轴交点：由解得代入得交点为0对数频率特性曲线又称伯德图包括两条曲线，即对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。伯德图的横坐标是频率ω，按lgω分度,即对数分度,单位为弧度/秒(rad/s)。

对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性

(ω)的函数值，也按线性分度,单位是度(°)。对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，按线性分度,单位是分贝(dB)。

Bode图的优点：1.将幅频特性和相频特性分别作图，使它们与频率之间的关系更加清晰。（与极坐标图比较）2.幅频特性的乘积运算可简化为加减运算。3.横轴用对数分度，扩展了低频段，兼顾了高频段，有利于系统的分析与综合。4.用渐近线表示幅频特性，是作图更为简单和方便。5.便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。典型环节的Bode图对数幅频特性：对数相频特性：比例环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性：对数相频特性：L(ω)/dBω0110-20dB/decφ(ω)/(o)ω0-90积分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性：对数相频特性：L(ω)/dBω011020dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090微分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性：当ω

<<1/T时，当ω

>>1/T时，对数相频特性：L(ω)/dBω01101/T-20dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090惯性环节传递函数频率特性幅频特性相频特性惯性环节的渐近线误差转角频率处：低于渐近线3dB低于或高于转角频率一倍频程处：低于渐近线1dBL(ω)/dBω0110φ(ω)/(o)ω0-9090对数幅频特性：当ω

<<1/T时，当ω

>>1/T时，对数相频特性：1/T20dB/dec一阶微分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性：当ω

<<ωn时，当ω

>>ωn时，对数相频特性：L(ω)/dBω0110ω=ωn-40dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090-180振荡环节传递函数振荡环节幅频特性相频特性渐近线误差L(ω)/dBω0110ω=ωn40dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090180传递函数幅频特性相频特性二阶微分环节对数幅频特性：对数相频特性当ω

>>ωn时，当ω

<<ωn时，对数幅频特性：L(ω)=0对数相频特性：φ(ω)=-57.3ωτ

(o)L(ω)/dBω0110φ(ω)/(o)ω0-9090传递函数频率特性幅频特性相频特性延迟环节

5.3.1开环伯德图

基本步骤：系统开环传递函数作典型环节分解后，先画出各典型环节的对数幅频核对数相频曲线，然后进行同频叠加，即得到该系统的伯德图。例5-6

已知单位反馈控制系统的开环传递函数为要求绘制开环系统的伯德图。最左端直线的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为

-20vdB/dec。2.最左端直线或其延长线在ω＝1时，分贝值等于20lgK。3.如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。4.对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化多少取决于当前转折频率对应的典型环节。惯性环节,斜率下降20dB/dec;振荡环节,下降40dB/dec;

一阶微分环节,上升20dB/dec；二阶微分环节，上升40dB/dec。

Bode图的特点：1.开环传递函数典型环节分解。确定一阶环节、二阶环节的转折频率，将各转折频率标注在ω轴上，ωmin为其中最小的转折频率。

3.作最左端的直线，即ω<ωmin频段内直线：最左端直线的斜率为-20vdB/dec，且该直线或其延长线在ω＝1时分贝值等于20lgK。作ω>ωmin频段渐近线：在ω>ωmin频段，在每个转折频率处，斜率发生变化，变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类。绘制开环系统伯德图的步骤：对数相频特性作图步骤：确定低频段的相位角；确定高频段的相位角；在中间选出一些插值点，计算出相应的相角，将上述特征点连线，即得对数相频特性的草图。例5-2

已知单位反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的开环对数幅频特性曲线。解：先将Gk(s)化成典型环节串联的标准形式1)交接频率：2，1，20L(ω)/dBω020401102202)低频段：斜率：-20dB/dec;位置：ω=1时，为20lgk=20dB3)低频向高频延续，每经过一个转折频率，斜率作适当修改-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec开环零点与开环极点全部位于s左半平面的系统，称为最小相位系统。否则，称为非最小相位系统。除了延迟环节以外，其他七种典型环节组成的系统必为最小相位系统。5.3.3最小相位系统与非最小相位系统1、定义例如，有一最小相位系统和一非最小相位系统，

其频率特性分别如下:

很明显，这两个系统的对数幅频特性是完全相同的,

相频特性不同：前一系统的相角角度变化范围0°

负角度值

0°；后一系统的相角角度变化范围0°

-180°。

它们的Bode图如图。

最小相位系统和非最小相位系统的伯德图

b.当ω=∞时，其相角等于-90o(n-m)，对数幅频特性曲线的斜率为-20（n-m）dB/dec。有时用这一特性来判断系统是否为最小相位系统。

c.对数幅频特性和对数相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说，只要知道其幅频特性，就能由此写出相应的传递函数，而无须再画出相频特性。非最小相位系统高频时相角迟后大，启动性能差，响应缓慢。对要求响应快的系统，不宜采用非最小相位系统。2、最小相位系统的特征a.在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。一般步骤：1.根据低频段直线的斜率，确定系统包含的积分（或微分）环节的个数。2.根据低频段直线或其延长线在ω＝1的分贝值，确定系统增益K。注意到系统低频段渐近线可近似为：若系统含有积分环节，则该渐近线或其延长线与0dB线(频率轴)的交点为：若系统不含积分环节，低频渐近线为20lgKdB的水平线，K值可由该水平渐近线获得。4.根据渐近线转折频率处斜率的变化，确定对应的环节。5.获得系统的传递函数。根据伯德图求取系统的传递函数已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求系统的传递函数。

5.4

奈奎斯特稳定判据基本思想：根据开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性。(1)应用开环频率特性判断闭环系统的稳定性。(2)便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。(3)很容易研究包含延迟环节在内的系统的稳定性。(4)奈氏判据稍加推广还可用于某些非线性系统的稳定性的分析。具有以下特点：5.4.1辅助函数F(s)则其开环、闭环传递函数分别为研究图示系统，若G(s)H(s)+-记F(s)为系统闭环和开环特征多项式之比，即F(s)具有如下特点：(1)其零点和极点分别是闭环和开环特征根；(2)零点和极点个数相同；(3)F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。

因此F(s)又可写成

式中，zi和pj分别是F(s)的零点和极点。5.4.2控制系统的频域稳定性判据1.一阶系统D(s)=s+p

D(jω)=jω+p若p为正数，当ω从0→∞时，φ从0→90°，即D(jω)逆时针旋转π/2，记为△Arg[D(jω)]=π/2-pjω+pφjω-pp若p为负数，当ω从0→∞时，D(jω)顺时针旋转π/2，记为△Arg[D(jω)]=-π/2由此可知，对于一阶系统，如果系统是稳定的，则当ω从0→∞时，D(jω)逆时针旋转π/2。2.n阶系统

n阶系统稳定的充要条件为，当ω从0→∞时，特征矢量D(jω)的相角变化量为△Arg[D(jω)]=nπ/25.4.3奈奎斯特判据1.0型系统1)开环是稳定的系统开环特征式D(s)的n个根应该在s左半平面，当ω从0→∞时，有若系统闭环也是稳定的，则闭环特征式DB(s)的n个根也应该在s左半平面，当ω从0→∞时，有则辅助函数F(s)满足上式说明，如果开环系统稳定，F(jω)的相角变化为0，即F(jω)的轨迹不包围原点，则闭环系统的特征根全部位于s左半平面，系统是稳定的。否则，系统不稳定。这样，系统的稳定问题转化为ω

变化时，F(jω)的相角变化问题。又F(jω)与G(jω)H(jω)只相差1，因此可以直接讨论G(jω)H(jω)的相角变化。在极坐标图中，包围F(jω)平面的原点等于包围G(jω)H(jω)平面的(-1,j0)点。因此可以用极坐标图来判断闭环系统的稳定性。此时稳定判据为：

如果开环系统是稳定的，那么闭环系统也稳定的充要条件是：当ω由0→∞时，开环极坐标图不包围(-1,j0)点。2)开环是不稳定的系统开环特征式D(s)的n个根不全在s左半平面，假设其中p个根在s右半平面，则当ω从0→∞时，有若系统闭环特征式DB(s)的n个根有z个在s右半平面，则当ω从0→∞时，有此时式中，R=(p-z)/2为F(jω)包围原点的圈数，逆时针为正，顺时针为负。此时稳定判据为：若开环系统不稳定，开环特征方程式有p个根在s右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是，当ω从0→∞时，开环极坐标图应逆时针包围(-1,j0)点R=p/2圈。否则，系统是不稳定的。奈奎斯特稳定判据（奈氏判据）

已知开环系统特征方程式在s右半平面的根的个数为p，当ω从0→∞时，开环频率特性的轨迹在G(jω)H(jω)平面包围(-1,j0)点的圈数为R，则闭环特征方程式在s右半平面的根的个数为z=p-2R。若z=0,说明系统是稳定的。否则，系统不稳定。例5-3

设系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解:(1)由系统开环传递函数知，开环特征方程式有1个特征根在s右半平面，即p=1。(2)作开环极坐标图，系统频率特性为当ω=0时，当ω→∞时，ImRe0-kω=0ω→∞ImRe0-kω=0ω→∞(3)当-k<-1时，开环极坐标图逆时针包围(-1,j0)点1/2圈，即R=1/2，此时z=p-2R=0，闭环系统是稳定的。

当-k>-1时，开环极坐标图不包围(-1,j0)点，R=0，此时z=p-2R=1，闭环系统是不稳定的。2.开环有串联积分环节的系统例5-4已知系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解：由开环传递函数知，p=0。其开环极坐标图为(例5-1)0

由于原点处开环极点的存在，开环系统临界稳定，此时不能直接应用奈氏判据。应先作如图所示增补线，然后再应用奈氏判据判断稳定性。增补线

当开环系统在原点处有开环极点时，要应用奈氏判据，应先在开环极坐标图ω=0处补作一个半径无穷大，逆时针旋转v·90°的圆弧增补线作为奈氏曲线的一部分，然后再利用奈氏判据判断系统稳定性。0增补线由图知，当时，即时，开环频率特性曲线顺时针包围(-1,j0)点1圈，R=1，此时z=p-2R=2,闭环系统不稳定。当时，即时，开环频率特性曲线不包围(-1,j0)点1圈，R=0，此时z=p-2R=0,闭环系统稳定。5.4.4伯德图上的奈氏判据极坐标图单位圆单位圆以内区域单位圆以外区域负实轴伯德图0dB线（幅频特性图）0dB线以下区域0dB线以上区域-180o线（相频特性图）因此，幅相曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中，当L(ω)>0dB时，相频特性曲线自上而下（或自下而上）地穿越-180o线。参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标系下的奈氏判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0→∞变化时，在开环对数幅频特性L(ω)>0的频段内，相频特性φ（ω）穿越-180o的次数（正穿越N+与负穿越次数N-之差）为R=P/2。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。对数频率稳定判据：当G(s)H(s)包含积分环节时，要在对数相频特性曲线的ω为0+的地方，补画一条虚线，从相角∠G(j0+)H(j0+)到∠G(j0+)H(j0+)+v90o，其中，v是积分环节数。将补画的虚线看成对数相频特性曲线的一部分，再计算正负穿越次数。例5-4已知一反馈控制系统的开环传递函数为试用对数稳定判据判断系统稳定性。当幅相曲线穿过(-1,j0)点时，闭环系统是临界稳定的。这时，。5.5

稳定裕度

幅相曲线与（-1，j0）点的靠近程度，表征着闭环系统的稳定程度。一般来说，离开（-1，j0）点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。系统的稳定程度可以定量地描述。相角裕度开环截止频率ωc：指开环频率特性G(j

ω)H(jω)的幅值等于1时，或对数幅频特性L(ω)=0时的频率，即相角裕度：指：使系统达到临界稳定所需附加的度数。相角穿越频率ωg：相角为-180o时的频率。幅值裕度h：或幅值穿越频率ωc：幅值为1，对数幅值为0dB时的频率。（截止频率）相角裕度γ：

[幅值裕度的物理意义]：对于稳定系统，如果开环增益增大到原来的h

倍，则系统变为临界状态；如果再增大，则系统变为不稳定。在伯德图中，如果对数幅频特性曲线向上移动20lgh分贝，则系统变为临界状态；如果再向上移动，则系统变为不稳定。

[相角裕度的物理意义]：对于稳定系统，如果在截止频率处将相角减小γ

度，则系统变为临界稳定；如果再减小，则系统变为不稳定。

显然，对于最小相位系统，

20lgh>0，即h>1和γ

>0，闭环系统稳定；20lgh、h和γ

越大，系统稳定程度越好；

20lgh<0，即h<1和γ

<0

，闭环系统不稳定。对于最小相位系统，h>1和γ

>0是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度γ

。例5-16已知单位负反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性曲线如图，试求开环传递函数，计算系统的稳定裕度。-2-1-33.16110ω结论：对于最小相位系统，一般而言L(ωc)处的斜率为-20dB/det时，γ

>0，系统稳定。L(ωc)处的斜率为-40dB/det时，一般γ

>0，系统稳定，也可能不稳定。L(ωc)处的斜率为-60dB/det时，γ

<0，系统不稳定。为了使系统具有一定的稳定裕量30o~70o，L(ω)在ωc处的斜率为-20dB/det。例5-5典型二阶系统如图所示，试确定系统的相角裕度。R(s)C(s)解：典型环节开环频率特性为设ωc为截止频率，则有可求得相角裕度为对于单位反馈系统，闭环传递函数为5.6闭环频率特性闭环频率特性为闭环幅频特性为M(ω)闭环相频特性为Φ(ω)闭环幅频特性典型的闭环幅频特性如图：特点：低频段变化缓慢，较为平滑；随着频率的不断增大，幅频特性出现极大值；然后以较大的陡度衰减至零。1.零频幅值M0：ω=0时的闭环幅频特性值。2.谐振峰值Mr：幅频特性极大值与零频幅值之比，即

Mr=Mm/M0。3.谐振频率ωr：出现谐振峰值时的频率。4.带宽频率ωb：闭环幅频特性的幅值减小到0.707M0时的频率。5.系统带宽：频率范围0≤ω≤ωb。带宽大，表明系统能通过较高频率的输入信号；带宽小，表明系统只能通过较低频率的输入信号。因此，带宽大的系统