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第二章 极限与连续1极限概念是贯穿整个微积分的基本概念，微分运算、定积分运算、级数运算等高等数学的运算的实质即是某种极限运算。极限观念的建立使我们从初等数学走向了高等数学。对于极限的思想，先看两个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽“割圆术”求圆的面积和周率

的方法:“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.2“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放——(魏晋)刘徽345678910111213正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.141614一、数列的定义例如第一节 数列的极限15注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是自变量取正整数的函数：16定义:定义:例如是单调递增数列；是单调递减数列；没有单调性.17播放二、数列极限的定义1819202122232425262728293031问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:32例133解34解35解问题:“无限接近”意味着什么?和“接近”有何区别？如何用数学语言刻划它.3637如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：38几何解释:其中即在a的任意小的邻域里都聚集着数列的无穷多项，只有有限个落在外面.39数列极限的定义未给出求极限的方法.例：证所以,注意：40例：证故412.收敛数列一定有界.证:

设取则当时,从而有取

则有由此证明收敛数列必有界.有三、收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.423.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.注:

此性质反过来不一定成立.例如,数列虽有界但不收敛.注:

若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，

发散!43内容小结:1.数列极限的“–N

”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;

收敛数列的任一子数列收

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