ch1概率论的基本概念

概率论与数理统计教材：《概率论与数理统计》，韩旭里，等编，复旦大学出版社第一章概率论的根本概念1.1随机事件及其运算1.2事件的概率古典概率几何概率统计概率概率公理化的定义及其性质1.3条件概率、全概率公式和贝叶斯公式1.4

独立性1.1随机事件及其运算一些试验的例

E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;

E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；

E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;

E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；

E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；

E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;

E7:记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度。一、随机试验(简称“试验”)1.可在相同条件下重复进行；2.每次试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;

3.一次试验只能出现一个结果，但实验之前无法确定具体是哪种结果出现。

随机试验的特点具备以上特征的实验称为随机试验，简称实验1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω.根本领件：由一个样本点组成的单点集称为一个根本领件,也记为ω.EX给出E1-E7的样本空间二、样本空间

(1).定义试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等

任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素

(2).两个特殊事件:必然事件Ω、不可能事件

.3随机事件例：对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A＝“至少出一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“三次出现同一面”={HHH,TTT}；C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}例：试验E6中，D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000<x<T(小时〕}。1.包含关系〔子事件〕：A发生必导致B发生,记为AB相等关系：A＝BAB且BA.规定：A，∀A.易见，AΩ，∀A三、事件的关系

事件A与B至少有一个发生，记作AB推广：n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作2.和事件事件的并可列无穷个事件A1,A2,…至少有一个发生，记作A

Ω=Ω,A

=A,∀AA与B同时发生，记作A

B＝AB推广n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作3.积事件事件的交无穷可列个事件A1,A2,…,同时发生，记作A

Ω=A,A

=,∀A事件之间的关系〔3〕A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生事件的差4.差事件：A-A=,A-=A,A-Ω=,∀A5.互斥的事件：AB不可能同时发生，记作：AB＝

互不相容的事件易见，根本领件是两两互不相容的。6.互逆的事件

A

B＝,且AB＝

对立事件记作四、事件的运算律1、交换律：A

B＝B

A，AB＝BA2、结合律：(A

B)

C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，(AB)

C＝(AC)(B

C)4、对偶(DeMorgan)律：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示以下事件：1.写出随机试验E的样本空间、样本点及所列出的随机事件〔1〕掷一颗骰子.A={出现偶数点}；〔2〕5件产品中有一件废品，从中任取两件.B={从中任取两件得一件废品}；〔3〕向xoy面上的单位圆内投点.C={投点落在单位圆内}练习〔1〕写出E的样本空间；〔2〕设A={只有10个人活着}，B={至少有30个人活着}，C={最多有5个人活着}，问：A与B、A与C、B与C是否互不相容？A、B、C的对立事件是什么？2.某地区有1000人是1925年出生的，E：考察到2005年还有几个人活着。1.2概率

1、概率：2、频率

定义:在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中事件A出现的次数nA称为A的频数

，比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即

fn(A)＝nA/n.经试验证明：抛掷匀质硬币时，出现正反面的时机均等。从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性大小的度量〔数值〕，记作P(A)频率的性质(1)非负性:0fn(A)1；(2)标准性:fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：假设A、B互不相容(AB＝)，那么fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).(可推广至无穷可列个)

3、概率与频率

实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。因此，概率应具有与频率同样的性质。假设某实验E满足：1.有限性：样本空间Ω＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：P(e1)=P(e2)=…=P(en).那么称E为古典概型也叫等可能概型。一、古典概型N(A)为事件A中所含样本点个数，N(Ω)记样本空间Ω中样本点总数，〔一〕、古典概型中的概率设那么A的概率为P(A)具有如下性质：(1)非负性：0P(A)1；(2)标准性：P()＝1；P()=0(3)可加性：假设事件A1,A2两两互不相容,那么例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,那么至少有一个男孩的概率是多少?

例2：在盒子中有10个相同的球，分别标为号码1、2、…、10，从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，那么完成这件事共有n1n2种方法。复习：排列与组合的根本概念〔二〕、古典概型的几类根本问题加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，那么完成这件事共有n1+n2种方法。

有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，共有nk种排列方式.

无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.1、抽球问题例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。

答:取到一红一白的概率为3/5一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，那么这n个球中恰有k个白球的概率是分析：故所求概率为〔这里n≤N，k≤M〕设有N件产品，其中有M件次品，从中任取n件，问其中恰有k(k≤min(M,n))件次品的概率是多少？练习例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：〔1〕每盒恰有一球的概率是多少？〔2〕其中一盒至少有两球的概率是多少？2、分球入盒问题(分房问题)一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，那么每盒最多有一球的概率是：比方生日问题，假设每个人的生日在一年365天中的任一天室等可能的，那么随机选取n(n≤365)个人,问(1)他们的生日各不相同的概率是多少？(2)n(n≤365)个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？练习例3:箱中有3个白球和4个黑球，现从中任意地取球，每次取一球，取后不放回，求第5次取出的球是白球的概率。一般地，箱中有m个白球和l个黑球，从中任意地取球，每次取一球，取后不放回，那么第s(1≤s≤m+l)次取出的球是白球的概率为那么第s(1≤s≤m+l)次取出的球是白球的概率为比方m个人抽签分配m张彩票，其中有n(1≤n≤m)张彩票有奖,问第k(1≤k≤m)个人抽中有奖彩票的概率为多少？练习设Ak={第k(1≤k≤m)个人抽中有奖彩票}例4:一位常饮牛奶加茶的女士称，她能从一杯冲好的饮料中猜出是先放茶还是先放牛奶，且她在10次试验中都能正确的区分出来，问该女士的说法是否可信？解：假设该女士的说法不可信，即假定其为猜测。那么10次试验一共有210个可能的结果设A={10次试验中都能正确指出放置牛奶和茶的先后次序}那么A只含有一个样本点，因而A的概率非常小根据准那么:小概率事件在一次实验中是不可能出现的。因而假设不成立，即不可能是猜测的。可推断该女士的说法是可信的(一)、几个例子例1：某人午觉醒来，觉察表停了，他翻开收音机，想听电台报时，求他等待时间短于10分钟的概率(半点报时)。二、几何概率

例2：如果一个射手向一个固定的靶子射击，假定击中靶子的各种位置室等可能的研究靶子击中某一区域A的可能性。记A={该点落在区域A中}，(二)、定义这一类概率称为几何概率。假设在区域Ω中随机地任取一点，而该点落在区域A中，那么在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率这里的区域A，及样本空间Ω

分别表示为例：解：设x和y表示在区间(0,1)内满足条件的两个数，A表示x和y的乘积小于1/4的区域，那么

例：甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。求两人会面的概率。

解：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，那么两人能够会面的充要条件为在平面上建立直角坐标系如图，

那么15601560y=x+15y=x-15〔1〕0≤P(A)≤1；〔2〕P(Ω)＝1；P()=0；〔3〕可列可加性:假设A1,A2,…An…两两互不相容，即对任意地i≠j,AiAj＝,i,j=1,2,…那么(三)、几何概率的根本性质1.定义假设对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1； (3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)那么称P(A)为事件A的概率。三、概率的公理化定义2.概率的性质(1)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n那么有P(A1A2…An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差：A、B是两个事件，那么P(A-B)=P(A)-P(AB)(2)单调不减性：假设事件AB，那么P(A)≥P(B)且P(A-B)=P(A)-P(B)(4)加法公式：对任意两事件A、B，有

P(A

B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；(5)互补性：P(A)＝1－P(A);(6)

可分性：对任意两事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

例:设P(A)=P(B)=1/2,证明解:称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。1.3条件概率一般地，设A、B是Ω中的两个事件，P(A)>0,那么Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}A表示“其中一个是女孩”,B表示“两个都是女孩”,那么一个家庭中有两个小孩，其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少(假定生男生女是等可能的)？例A={(男,女),(女,男),(女,女)}B={女,女)}由题设，由于其中一个是女孩，故A已经发生，此时样本空间变为A，那么问题变为求条件概率解：设A={在第一组}，B={选到的是团员}(1)中事件AB=“既在第一组又是团员”AB的样本数为6，而样本空间Ω所包含的样本总数为40某班有40名学生,其中15名团员,而第一组有10人,6名团员，欲从中选一名代表，问：

(1)既在第一组，又是团员的可能性；

(2)假设在第一组选，问选到团员的可能性.(2)中由于在第一组中选此时的样本空间变为A，且事件B|A的概率为解：练习因为二者的样本空间不同。对任意事件B,可将其概率理解为注可验证，条件概率满足概率公理化定义中的三条公理：(1)非负性：对任意事件B,有：0P(B|A)1；(2)标准性：P(|A)＝1；(3)可列可加性：假设事件B1,B2,…两两互不相容,那么从而，条件概率满足概率所具有的性质和关系式。(略)二、乘法公式定理设A、B，P(A)>0,那么P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.3.2)式(1.3.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。由于A、B的位置有对称性，假设P(B)>0那么P(AB)＝P(A|B)P(B).式(1.3.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.3.3)一般地，有以下公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.3.4)盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，假设从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为“第i次取球时取到白球”，那么例盒中有5个白球，2个黑球，假设从盒中连续不放回地在其中取三次，求第3次才取得黑球的概率。练习三、全概率公式与贝叶斯公式市场上有三家工厂生产的同一品牌产品，三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。例解：设Ai为“第i家工厂生产”，B为“产品为次品”那么定义：事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间Ω的一个划分，假设满足：A1A2……………AnB假设事件组A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，那么对Ω的任一事件B,有：设A1，…,An是Ω的一个划分，且P(Ai)>0,(i＝1，…，n)，那么对Ω的任何事件B有式(1.3.5)就称为全概率公式定理2设A1，…,An是Ω的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，那么对Ω的任何事件B，有式(1.3.6)就称为贝叶斯公式。定理3解：Ai={第i车间生产的}，B={抽到的产品为次品}。〔1〕〔2〕例：设某一工厂有三个车间，他们生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占该厂生产螺钉总产量的25﹪,35﹪,40﹪,每个车间的次品率分为5﹪，4﹪，2﹪。求〔1〕从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品的概率；〔2〕如果从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品，那么它是第一车间生产的概率。1.4事件的独立性

一、两事件独立定义1：设A、B是两事件，P(A)≠0,假设P(B)＝P(B|A)(1.4.1)那么称事件A与B相互独立。即事件A的发生对B的发生没有影响。乘法公式等价于：P(AB)＝P(A)P(B)(1.4.2)假设P(A)>0,P(B)>0,那么A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。注意假设P(A)>0,P(B)>0,那么A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。注意假设A,B互不相容，那么AB=,因而P(AB)=0.那么必有0=P(AB)P(A)P(B)>0(P(A)>0,P(B)>0)即A,B不相互独立。假设A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)>0故AB。因此A,B不可能互不相容事实上，

定理：以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。证明：〔1〕推出〔2〕由A与B相互独立，有即A、B相互独立。可将其推广到多个事件独立的情形。略见课本二、多个事件的独立定义2、假设三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),那么称事件A、B、C两两相互独立；假设在此根底上还满足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),(1.4.3)那么称事件A、B、C相互独立。事件A、B、C相互独立问题：三个事件A、B、C俩俩相互独立与事件A、B、C相互独立有什么不同？A、B、C俩俩相互独立事件A、B、C俩俩相互独立，不能保证事件A、B、C相互独立但是，反之不成立。即详见下例假设将一枚硬币抛掷两次，观察正(H)反(T)面出现的情况，那么此时Ω={HH,HT,TH,TT},令A={HH,HT},B={HH,TH},C={HH,TT}因而AB=BC=AC=ABC={HH}又P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)＝P(BC)＝P(AC)＝P(ABC)＝1/4又因为事件A、B、C俩俩相互独立，但是P(ABC)＝1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)例：因此，当我们考虑多个事件独立性的时候不仅要考虑俩俩事件之间的相互关系，还要考虑多个事件的乘积对其他事件的影响。一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2…ikn，具有等式P(Ai1Ai