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文档简介

苏科版七上

第二章有理数

整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,

且n#0)的形式。

任何一个有理数都可以在数轴上表示。

无限不循环小数和开平方开不尽的数叫作无理数,比如IT,3.141592653589793

2384626……

而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数

其中包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为旬运1遨或无限循环小数。

有理数分为正数、0、负数

正数又分为正整数、♦分数

负数又分为负整数、负分数

如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数。

全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学

书则用空心字母Q表示。

①加法的交换律a+b=b+a;

②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c;

③存在数0,使0+a=a+0=a;

④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

⑤乘法的交换律ab=ba;

⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c;

⑦分配律a(b+c)=ab+ac;

⑧存在乘法的单位元1黄0,使得对任意有理数a,1a=a;

⑨对于不为。的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a=0文字解释:一个数乘0还等于0。

0的绝对值还是0.

有理数加减混合运算

1.理数加减统一成加法的意义:

对于加减混合运算中的减法,我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法,

这样就可将混合运算统一为加法运算,统一后的式子是几个正数或负数的和的形式,

我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的方法和步骤:

(1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

(2)运用加法法则,加法交换律,加法结合律简便运算。

有理数范围内已有的绝对值,相反数等概念,在实数范围内有同样的意义。

一般情况下,有理数是这样分类的:

整数、分数;正数、负数和零;负有理数,非负有理数

整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达,其中a、b都是整数,且

互质。我们II常经常使用有理数的。比如多少钱,多少斤等。

凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数,又叫无限不循环小数

第三章用字母表示数

代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得

的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。例如:ax+2b,-2/3等。

全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。

这十条规则是:

五条基本运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律;

两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数,等式不变;等式两边同时乘以一

个非零的数,等式不变;

三条指数律:同底数塞相乘,底数不变指数相加;指数的乘方等于底数不变指数

想乘;积的乘方等于乘方的积。

(1)代数式:代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母

连结而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.带有“<(4)”“>伫)”“="¥”等

符号的不是代数式。

(2)代数式的值;用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果p叫做代数式

的值.

求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求

值.

(3)代数式的分类

把多项式中同类项合成•项,叫做合并同类项。

如果两个单项式,它们所含的字母相同,并且各字母的指数也分别相同,那么就

称这两个单项式为同类项。如2ab与-3ab,m2n与nm2都是同类项。特别地,所

有的常数项也都是同类项。

把多项式中的同类项合并成一项,叫做同类项的合并(或合并同类项)。同

类项的合并应遵照法则进行:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母

的指数不变。

第四章一元一次方程

概述

只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做

一元一次方程。

一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知

数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为Oo我们将ax+b=0(其中x是未

知数,a、b是已知数,并且aHO)叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的

系数,b是常数,a的次数是1。

性质

一.等式的性质一:笠式两边加一个数或减一个数,等式两边相等。

二.等式的性质二:等式两边乘一个数或除以一个数(。除外),等式两边相等。

三.等式的性质二:两边都可以有未知数。

一元一次方程的解

1,当aWO,b=O时,方程有唯一解,x=0;

2,当aWO,bMO时,方程有唯一解,x=-b/a。

一元一次方程与实际问题

一元一次方程牵涉到许多的实际问题,例如:

工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题。

第五章走进图形世界

有的面是平面、有的面是曲面。

我们知道,面与面相交成线,在棱柱与棱锥中,面与面的交线叫做棱。(edge)

其中,相邻两个侧面的交线叫做侧棱

棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点(vertex)

棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。

棱柱的侧棱长相等,棱柱的上下底面是相同的多边形,直棱柱的侧面都是长方形。

棱锥的侧面都是三角形

图形都是由点(point)、线(line)>面(plane)构成。

第六章平面图形的认识(一)

线段和直线的有关性质:

两点之间的所有连线中,线段最短。

经过两点有一条直线,并且只有一条直线。

线段的中点:

线段的中点把线段分成两条长度相等的线段。

角的平分线:

角的平分线把角分成两个度数相等的角。

线段长度的比较:

(1)度量法(先量出长度,再比较长度大小)

(2)重合法(两同条线段放在一条直线上,一个端点重合,观察另一端点位置。)

角的比较:

(1)用量角器度量角。

(2)重合法(把角的顶点和一条边分别重合,然后看另一边的位置,另一边在外面的角大)

角的两种定义:

1、角是由两条具有公共端点的射线组成的。

2、角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的。

角的有关性质:

1、同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等。

2、对顶角相等。

两直线平行的有关知识:

1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

2、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。

3、如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。

两直线垂直的有关知识:

1、如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直,两条直线的交点叫做垂足,其中

一条直线叫做另一条直线的垂线。

2、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3、过直线外一点作这条直线的垂线,这一点到垂足之间的线段叫垂线段。垂线段的长度,

叫做点到直线的距离。

4、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。

七年级下册

第七章平面图形的认识(二)

同位角:两条直线被第三条直线所截,在二条直线的同侧,且在第三条直线的同旁的二个

角叫同位角。

内错角:两条直线被第三条直线所截,在二条直线的内侧,且在第三条直线的两旁的二个

角叫内错角。

同旁内角:两条直线被第三条直线所截,在两条直线的你侧,且在第三条直线的同旁的两

个角叫同旁内角。

同位角相等两直线平行。

内错角相等,两直线平行。

同旁内角互补,两直线平行

平移由两个方面所决定:平移的方向与平移的距离

某图形平移后所得的图形称为此图形的对应图形

平移不改变图形的大小与形状

图形经过平移后,连结各组对应点的线段平行(或在同一直线上),并且相等

三角形的定义:

由3条不在同一直线上的线段,首尾依次相接组成的图形称为三角

边:组成三角形的三条线段

如右所东:线段AB、AC、BC就是三角形

的三条边

顶点:三角形任意两边的交点

如右所示:点A、B、C均为三角形的顶点

通常情况下,我们用三角形的三个顶点加以一个来表示一个

三角形,在表示三角形时,三个字母之间并无顺序关系

如上图中,此三角形可以表示为△ABC,或aACB或△BAC等等

内角:三角形两边所夹的角,称为三角形的内角,简称角

例如aABC中,ZA,ZB,/C都是三角形的内角

边BC称为/A所对的边,或顶点A所对的边,因此边BC也可以

表示为a

三角形的分类

1)按角分

‘锐角三角形:三个角都是锐角的三角形

三角形,直角三角形:有一个角为直角的三角形

钝角三角形:有一个角为钝角的三角形

2)按边分

.不等边三角形:三个边均不相等

三角形,等腰三角形:有两个边相等的三角形

等边三角形:三边均相等的三角形

三角形任意两边之和大于第三边

高的定义:在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点与垂

足之间的线段称为三角形的高

注:1)三角形的高必为线段

2)三角形的高必过顶点垂直于对边

3)三角形有三条高

在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点间的线段称为三

角形的角平分线

注:1)三角形的角平分线必为线段,而一个角的角平分线为一条射线

2)三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角

在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段,叫做

三角形的中线

1)三角形的中线必为线段

2)三角形的中线必平分对边

直角三角形的两个锐角互余。

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

n边形的内角和等于(n-2)X180°

三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。

多边形的外角:多边形的一边与另一边的延长线所组成的角。

多边形每顶点处有两个外角,这两个角是对顶角,n边形就有2n个外角。

多边形的外角和:在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的

外角和。

注:多边形的外角和并不是所有外角的和。

第八章鬲的运算

①HXa"=a"".②③(a")"=a7④(ab)"=a"〃.⑤(:)"=〃.

⑥特别:⑦,=l(a#O).如:言乂舌=3,,+a2=a',(力2=d,

an

(3a3)3=27a,(—3)'=一才,5,'=彳=方,(不)—=(,)'=甲(-"3.14)°=1,(网一4一

)°=L

第九章从面积到乘法公式

完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

因式分解

定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,

也叫作分解因式。

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公国式。

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成

两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;

字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项

式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的,一般要提出号,使括号内的第一项的系数成为正

数。提出号时,多项式的各项都要变号。

口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形

看奇偶。

例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)o

注意:把2aA2+1/2变成2(a"+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

平方差公式:aA2-bA2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a"2±2ab+bA2=(a±b)A2:

注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成

两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式:aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2);

立方差公式:aA3-bA3=(a-b)(aA2+ab+bA2);

完全立方公式:aA3±3aA2b+3abA2±bA3=(a±b)A3.

公式:aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ca)

例如:aA2+4ab+4bA2=(a+2b)A2„

(3)分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握:

①等式左边必须是多项式;

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;

③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考

虑。

3.提公因式法基本步骤:

(1)找出公因式;

(2)提公因式并确定另一个因式:

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;

②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另•个因式,可用原多项式除

以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项

式的每一项,求的剩下的另一个因式;

③「提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

第十章二元一次方程组

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元•次方程。把两

个一次方程联立在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含未

知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义:•个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,

叫二元一次方程。

二元一次方程组定义:两个结合在•起的共含有两个未知数的•次方程,叫二元

一次方程组。

二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元

一次方程的解。

二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解。

一般解法,消元:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。

消元的方法有两种:代入消元法加减消元法

二元一次方程组的解有三种情况:1.有一组解2.有无数组解3.无解

第十一章图形的全等

全等三角形的对应边、对应角相等

边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

推论(AAS)有两角和其中•角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边公理(HL)有斜边和•条直角边对应相等的两个直角三角形全等

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

第十二章数据在我们周围

为了•定的目的而对考察对象进行全面调查,称为普查。其中所芍察处零的全体称为总体

(population),而组成总体的每一个考察对象称为个体(individual)»

人们从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查(samplinginvestigation),

其中从总体中抽取一部分个体叫做总体的一个样本(sample),样本中所抽取的这一部分个

体的数量称为样本容量。

第十三章感受概率

在一定条件下,有些事情我们事先能肯定它•定不会发生,这样的事情是不可能事件。在一

定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这样的事情是必然事件。在一定条件下,

生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生,这样的事情是随机事件。随机事件发

生的可能性有大有小,一个时间发生可能性大小的数值,称为这个事件的概率。

八年级上册

第一章轴对称图形

…一轴对称与轴对称图形

1.什么叫轴对称:

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于

这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。

2.什么叫轴对称图形:

如果把一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做

轴对称图形,这条直线叫做对称轴。

3.轴对称与轴对称图形的区别与联系:

区别:

①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合,而轴对称图形是指一个图形的两个

部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系;轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系:

①两部分都完全重合,都有对称轴,都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体,这个整体就是一个轴对称图形;如果把

一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形,这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有:圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角

形、角、线段、相交的两条直线等。

4.线段的垂直平分线:/

垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。

(也称线段的中垂线)

5.轴对称的性质:_________卜

⑴成轴对称的两个图形全等。A

⑵如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

6.怎样画轴对称图形:I

画轴对称图形时,应先确定对称轴,再找出对称点。

……线段、角的轴对称性/

1.线段的轴对称性:]M

①线段是轴对称图形,对称轴有两条;一条是线段所在的直线,

另一条是这条线段的垂直平分线。/卜

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。人I

③到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

结论:线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合J

2.角的轴对称性:y

①角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线。/c

②角平分线上的点到角的两边距离相等。RZ

③到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。

结论:角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合卜Q----

.....等腰三角形的轴对称性~

1.等腰三角形的性质:

①等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴;

②等腰三角形的两个底角相等;(简称“等边对等角”)

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”)

2.等腰三角形的判定:

①如果一个三角形有2个角相等,那么这2个角所对的边也相等;(简称“等角对等边”)

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

3.等边三角形:

①等边三角形的定义:

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。

②等边三角形的性质:

等边三角形是轴对称图形,并且有3条对称轴;

等边三角形的每个角都等于60°o

③等边三角形的判定:

3个角相等的三角形是等边三角形;

有两个角等于60°的三角形是等边三角形;

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

4.三角形的分类:

「斜三角形:三边都不相等的三角形。

三角形彳r只有两边相等的三角形。

〔等腰三角形1

等向三角形

------等腰梯形的轴对称性

1.等腰梯形的定义:

①梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行为梯形。

梯形中,平行的•组对边称为底,不平行的一组对边称为腰。

③等腰梯形的定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2.等腰梯形的性质:

①等腰梯形是轴对称图形,是两底中点的连线所在的直线。

②等腰梯形同•底上两底角相等。

③等腰梯形的对角线相等。

3.等腰梯形的判定:

④在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。

⑤补充:对角线相等的梯形是等腰梯形。

第二章勾股定理与平方根

勾股定理、勾股定理的应用

1、勾股定理:B

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学式子:a

ZC=90°=>a2+b2=c2L

CbA

2、神秘的数组(勾股定理的逆定理):

如果三角形的三边长a、b、c满足/+y=c2,那么这个三角形是直角三角形.

数学式子:

a2+/?2=C2=>ZC=90°

满足三个数小氏c叫做勾股数。

3.一般的,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做二次方根。

一个正数的平方根有两个,他们互为相反数。

0只有一个平方根,它是0本身。负数没有平方根。

一般的,如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根,也称为三次方根。

正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.

无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。

常见的无理数有:⑴无限不循环小数:如0.010010001……

(2)开不尽的根号:如百、石、孤、近等

7T

⑶圆周率乃:如%-3.14、一等。

3

r整为

有理数\卜(都艮小数和无限循的、数)

r1分数J

实数4

无理数(无限不循环w领)

4、近似数的认识:

实际生产生活中的许多数据都是近似数,例如测量长度,时间,速度所得的结果都是近

似数,且由于测量工具不同,其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像“这样的数,

也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。

取一个数的近似值有多种方法,四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数

的近似数时,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。

例如,圆周率“=3.1415926…

取n弋3,就是精确到个位(或精确到1)

取就是精确到十分位(或精确到0.1)

取JIQ3.14,就是精确到百分位(或精确到0.01)

取"23.142,就是精确到千分位(或精确到0.001)

5、有效数字:

对一个近似数,从左面第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数字都称为这

个近似数的有效数字。

例如:上面圆周率"的近似值中,3.14有3个有效数字3,1,4;

3.142有4个有效数字3,1,4,2.

第三章中心对称图形(一)

.....中心对称与中心对称图形

1、图形的旋转:

在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转,

这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中

心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

2、中心对称:

把一个图形绕着某一个点旋转180。,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图

形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应

点叫做对称点。C7_

注意:①中心对称是旋转的一种特例,因此,7&

成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。/

②成中心对称的2个图形,对称点的连线都经过对称中心,B--------¥D,

并且被对称中心平分。

3->中心对称图形:

把一个平面图形绕着某点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重

合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

4、中心对称与中心对称图形之间的关系:

区别:(1)中心对称是指两个图形的关系,中心对称图形是指具有某种性质的图形。(2)成

中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系:若把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们成中心对称;若把中心对称的两个

图形看成一个整体,则成为中心对称图形.

5、5・比轴对称图形与中心对称图形:

轴对称图形中心对称图形

有一条对称轴——直线有一个对称中心点

沿对称轴对折绕对称中心旋转180°

对折后与原图形重合旋转后与原图形重合

.......平行四边形

1、平行四边形的定义:/—D

2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。/

B2C7

记作:OVBCD,读作平行四边形ABCD.

平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心。

2、平行四边形的性质:

①平行四边形的对边平行;

②平行四边形的对边相等;

③平行四边形的对角相等;

④平行四边形的对角线互相平分。

3、平行四边形的判定:

①2组对边分别平行的四边形是平行四边形;

②2组对边分别相等的四边形是平行四边形;

③2组对角分别相等的四边形是平行四边形;

④对角线互相平分的四边形是平行四边形;

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

……矩形、菱形、正方形

1、矩形的定义:

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,通常也叫长方形。

2、矩形的性质:

①矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质;

②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是对边中点连线所在直线,有两条,

对称中心是对角线的交点。

③矩形的对角线相等;

④矩形的四个角都是直角。

3、矩形的判定:

①有一个角是直角的平行四边形是矩形;

②对角线相等的平行四边形是矩形;

③有3个角是直角的四边形是矩形。

4、菱形的定义:

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

5、菱形的性质:

①菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质;

②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,对称中心

是对角线的交点。

③菱形的四条边相等;

④菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。b^__\d

6、菱形的判定:

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

②四边都相等的四边形是菱形;

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

7、菱形的面积:八

A_________D

S»=|AC•BD/I

8、正方形的定义:

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。/\

9、正方形的性质:BC

①正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质。

②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点。

10、正方形的判定:

①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;

②有一组邻边相等矩形形是正方形;

③有一个角是直角的菱形是正方形。

11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:

1、三角形的中位线:

⑴连结三角形两边中点的线段叫做

区别三角形的中位线与三角形的中

⑵三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

2、梯形的中位线:

⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意:中位线是两腰中点的连线,而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质

梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

第四章数量、位置的变化

数量、位置的变化、平面直角坐标系

1、数量的变化:

⑴生活中处处有变化的数量关系,并且这些变化的数量之间往往有一定的联系;感受

用变化的观点分析数字信息的重要意义。

⑵实际问题中的数量常常会发生变化,表示这种变化通常有3种各具特色的表达方式

表格、图形、式子,可根据实际情况灵活选用。

2、位置的变化:

现实生活中,人们既关心事物的数量变化,也关心事物的位置变化,如行驶中的车辆、

飞行中的火箭、航行中的船只、移动中的台风等位置的变化。

3、平面直角坐标系:

⑴有关概念:平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐

标系。

水平方向的数轴称为x轴或横轴;竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。

它们统称坐标轴。公共原点。称为坐标原点。八y

⑵确定点的位置(点坐标)4-

3-P(a,b)

①若平面内有一点P(如图),我们应该如何确定它的位置?

(过点P分别作x、y轴的垂线,将垂足对应的数组合起来形成一

对有序实数,这样的有序实数对叫做点的坐标,可表示为P(a,b)-i।।।i।i।>

4321013234

②若已知点Q的坐标为(m,n),该如何确定点Q的位置?-----*

(分别过x、y轴上表示m、n的点作x、y轴的垂线,两线的交点

即为点Q)

4、点坐标的特征:

⑴四个象限内点坐标的特征:

两条坐标轴将平面分成4个区域称为象限,按逆时针顺序分别记作第一、二、三、四

象限。

⑵数轴上点坐标的特征:

X轴上的点的纵坐标为0,可表示为(a,0);

y轴上的点的横坐标为0,可表示为(0,b)。

⑶象限角平分线上点坐标的特征:

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可表示为(a,a);第二、四象限角

平分线上点的横、纵坐标互为相反数,可表示为(a,-a)。

⑷对称点坐标的特征:

P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b);

P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b);

P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,上)。

-----函数

1、常量和变量:

在数量和位置的变化过程中,数值保持不变的量叫做常量,可以取不同数值的量叫做

变量。

2、函数:

⑴函数的定义:

一般的,设在•个变化过程中有两个变量x与y,如果对于变量x的每一个值,变量y

都有唯一的值与它对应,我们称y是x的函数。其中x是自变量,y是因变量。

⑵函数的表示方法:

通常,表示2个变量之间的关系可用3种方法:表格、图形、式子。表示2个变量之间

关系的式子通常称为函数关系式。(函数解析式)

例如s=100t就是一个函数解析式。

⑶函数自变量的取值范围:

自变量取使函数关系式有意义的值,叫做自变量的取值范围。

例如式子y一中,能使它有意义的值是x=3的•切实数,所以函数y一的取

x—3x—3

值范围是xw3的一切实数。

常见的使函数解析式有意义的式子有:

①函数的解析式是整式时,自变量可以取全体实数;

②函数的解析式是分式时,自变量的取值要使分母不为0;

③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值要使被开方数是非负数;

④对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。

第五章一次函数

.......一次函数

1、一次函数与正比例函数的定义:

一般地,如果两个变量x与y之间的关系,可以表示为y=kx+b(k,b为常数kWO)的

形式,那么称y是x的一次函数。

特别地,当b=0时,y叫做x的正比例函数。

2、如何求一次函数与正比例函数的解析式:

①因为正比例函数y=kx(k#O)中的待定系数只有一个k,因此确定正比例函数的解析

式只需x、y-组条件,列出一个方程,从而求出k值。

②而一次函数尸kx+b(kWO)中的待定系数有两个k和b,因此要确定一次函数的解析式

需x、y的两组条件,列出一个方程组,从而求出k和b。

3、-次函数的图象:

一般的,正比例函数产kx的图象是经过原点的一条直线,一次函数产kx+b的图象是

由正比例函数产kx的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移问个单位长度得到的一条

直线。

因为一次函数的图象是一条直线,由直线的公理可知:两点确定••条直线。所以在画一

次函数的图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了,一次函数丫=1«+13的图

象也称为直线y-kx+bo

4、一次函数的性质:

在一次函数尸kx+b中,

如果k>0,那么y的值随x的增大而增大;

如果k<0,那么y的值随x的增大而减小。

☆补充性质:

在正比例函数y=kx中,

如果k>0,那么正比例函数的图象经过一、三象限;

如果k<0,那么正比例函数的图象经过二、四象限;

在一次函数y=kx+b中,

如果k>0、b>0,那么一次函数的图象经过一、二、三象限;

如果k>0、b<0,那么一次函数的图象经过一、三、四象限;

如果k<0、b>0,那么一次函数的图象经过一、二、四象限;

如果k<0、b<0,那么一次函数的图象经过二、三、四象限;

--------一次函数的应用

1、一次函数的应用:

用一次函数解决实际问题的步骤:(1)认真分析实际问题中变量之间的关系;(2)若具有

一次函数关系,则建立•次函数的关系式;(3)利用一次函数的有关知识解题。

在一些具体生活问题中,常常数据较多,反映的内容也很复杂,如何把众多的信息组织

起来是解题的核心,要认真读题,分析题意,理顺关系,寻求解题途径。在实际生活问题中,

如何应用一次函数知识解题,关键是建立一次函数关系式,然后再根据一次函数的性质,综

合方程知识求解。

在一次函数应用的过程中,要注意结合实际,确定自变量的取值范围,求出对应的函数

值时,也要结合实际舍去不符合题意的部分。

2、二元一次方程组的图象解法

⑴一次函数与二元一次方程的关系:

•般地,-次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=O的解;

以二元一次方程kx-y+b=O的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上。

⑵两个一次函数与二元一次方程组的解的关系:

一般地,如果两个一次函数的图象有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方

程组的解。

所以解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法。

用图象法解二元诙方程组的步骤如下:

①把二元一次方程化成一次函数的形式;

②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像,并标出交点;

③交点坐标就是方程组的解。

第六章数据的集中程度

.......数据的集中程度

1、平均数:

—v—x—«••—x

一般地,对于n个数xi,X2,…,x我们把x=」一=--------叫做这n个数的

nn

算术平均数,简称平均数,

平均数,它是显示出一组数据的集中趋势的特征数字,也就是说这组数据都“接近”哪个数。

补充公式:⑴如果在n个数中,XI出现6次,X2出现f2次,X3出现f3次,....Xn出现式次,

(其中fi+f2+f3+……+f『n),这n个数的平均数可表示为:

f,+xf+xf---+xf

X-X]2233nn

n

⑵如果一组数据X1,X2,X3,……,Xn的平均数为Y,则一组新数据:

X]+a,x2+a,x3+a,...,Xn+a的平均数为:

x=x'+a

举例说明:某班第一小组的同学的身高如下:(单位:cm);158,160,160,170,158,170,

168,158,160,160,168,170»计算这组同学的平均身高。(精确到1cm)

一,、—158x3+160x4+168x2+170x3…

方法⑴x=--------------------------------------------------«163

3+4+2+3

方法⑵将各个数据同时减去160,得到-2,0,0,10,-2,10,8,-2,0,0,8,8

再计算这组新数据的平均数,得

—1

xf=—(-2+0+0+10-2+10+8-2+0+0+8+8)=3.2

x=?+160=163.2«163

2、加权平均数:

在实际问题中,一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的,有时有些数据比其它

数据更重要。所以,我们在计算这组数据时,往往给每个数据一个“权

加权平均数:如果在n个数中,XI出现。次,X2出现f2次,X3出现f3次.....*|(出现£14次,

(其中f1+f2+f?+......+fk=n),则I=x£+xf+X3f「TXkfk

n

其中6、f2、f3.........fk叫做权。(看例D

3、中位数和众数:

一般地,n个数据按大小顺序排列,处于中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均

数)叫做这组数据的中位数。

一般地,一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势。一组数据中的中位数是惟一的;•组

数据中的众数可能不止一个,也可能没有。

八年级下册

第七章一元一次不等式

一.等式的概念:

一般的,用符号“=”连接的式子叫做等式。

*等式的左右两边是代数式。

一般的,用符号(或(或、”),“尹连接的式子叫做不•等式。不等

式中可以含有未知数,也可以不含)

用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,左

右两边为整式的式子叫做一元一次不等式(linearineqalitywithoneunknown)。

不等式的性质:

1.不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。

2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

4.不等式的两边都乘以0,不等号变等号。

不等式的基本性质

1.性质1:如果a>b,那么a±c>b士c

2.性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c)

3.性质3:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c)

解一元一次不等式的一般方法顺序:

1、去分母(运用不等式性质2,3)o

2、去括号。

3、移项(运用不等式性质1)。

4、合并同类项。

5、将未知数的系数化为1(运用不等式性质2,3)。

(6、有些时候需要在数轴上表示不等式的解集)

一元一次不等式的解法及解集

1.解一元一次不等式的步骤:(1)去分母,(2)去括号,(3)移项,(4)合并同类项,

(5)求得解集。

2.一元一次不等式的解集

将不等式化为aX>b的形式

⑴若a>0,则解集为x>b/a

(2)若a<0,则解集为x<b/a

5.不等式的解集:

(1)能使

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