19.2.6 一次函数的应用（教学设计）

人教版初中数学八年级下册19.2.6一次函数的应用教学设计一、教学目标：1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题;2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力;3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．二、教学重、难点：重点：根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数.难点：能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题.三、教学过程：问题引入提出问题：下图所表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？典例解析例1.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子.超过2kg部分的种子价格打8折.

(1)填写下表(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.分析：付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.设购买xkg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子价格按5元/kg计价，其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)种子按4元/kg(即8折)计价.因此，写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段计论.解：(2)设购买量为x千克，付款金额为y元.

当0≤x≤2时，y=5x

当x＞2时，y=4(x-2)+10=4x+2称此类函数为分段函数思考：你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？

(1)一次购买1.5kg种子，需付款____元；(2)一次购买3kg种子，需付款____元.【针对练习】1.某景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)每人25元，超过20人的部分每人15元.

(1)写出应收门票y(元)与游览人数x(不超过20人)之间的函数关系式：_________；

(2)写出应收门票y(元)与游览人数x(超过20人)之间的函数关系式：________________.2.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.请问答：

(1)当每月用电量不超过50度时，用电价格是____元/度；

(2)当每月用电量超过50度时，超出部分的用电价格是____元/度.解决问题：下图所表示的函数是分段函数吗？你能写出它的解析式吗？例2.某校手工社团计划制作A、B两类手工产品共100个，准备在“红领巾爱心义卖”活动中出售，所获收入全部捐给希望小学建图书角.若售出3个A类产品和2个B类产品收入65元，售出4个A类产品和3个B类产品收入90元．(1)求A、B两类手工产品的售价各是多少元；(2)已知A类产品个数不超过B类产品的3倍，则制作A、B类两种产品各多少个的时候总收入最多？请说明理由．（1）解：设A类手工产品的售价是x元，B两类手工产品的售价是y元，由题意得3x+2y=654x+3y=90解得x=15y=10

答：A类手工产品的售价是15元，B类手工产品的售价是10元．（2）制作A类产品75个B类产品25个，获得总收入最多理由如下：设总收入为W元，制作A类产品a个，则制作B类产品100-∵A类产品个数不超过B类产品的3倍，∴a解得：a≤根据题意得：W=15a+10100∵5>0∴W随着a∴当a=75时，W取得最大值，最大值为5×此时100-答：制作A类产品75个，B类产品25个，获得总收入最多．【针对练习】某电器厂生产A、B两种家用小电器，若每天生产A、B两种电器共60件，这两种电器每件的成本和售价如表：设每天生产A种电器x件，每天获得的利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果该电器厂每天最多投入成本为4590元，那么每天生产多少件A种电器时，所获利润最大？并求出这个最大利润．（1）解：由题意知，每天生产B种电器60-x件，∴y=105-85x+85-70∴y与x之间的函数关系式为y=5x+9000≤x≤60；（2）解：由题意得，85x+7060-x解得x≤26，∵5>0，∴y随x的增大而增大，∴当x=26时，y有最大值，值为5×26+900=1030，∴每天生产26件A种电器时，所获利润最大，最大利润为1030元．例3．“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家80千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达目的地，他们在滑雪场玩了4小时后乘车回家他们离家的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示．(1)求AB的函数表达式．(2)赵凯一家经过多长时间离家的距离为40千米？（1）解：设AB段对应的解析式为：y=kx+b，把A(1.5，30)，B(2.5，80)代入，得，1.5k+b=302.5k+b=80解得：k=50

b=-45∴AB段对应的解析式为y=50x-45．（2）由题意知，C(6.5，80)，D(8.5，0)，设CD段对应的解析式为y=mx+n，把C(6.5，80)，D(8.5，0)代入，得，6.5m+n=808.5m+n=0解得：m=-40n=340

∴CD段对应的解析式为y=-40x+340．把y=40代入y=50x-45，得40=50x-45，解得，x=1.7，把y=40代入y=-40x+340，得40=-40x+340，解得，x=7.5．答：赵凯一家经过1.7或7.5小时，离家的距离为40千米．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(千克)的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_____千克，就可以免费托运.2.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是_____cm.3.在一定范围内，某种产品购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，一客户购买4000吨单价为______元.4.如图所示的折线ABC为某地出租汽车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间的函数关系式图象.根据图象回答下列问题:(1)出租车的起步价是____元;(2)当x>3千米时，该函数的解析式为___________;(3)乘坐8千米时，车费为_____元.5.某农户种植一种经济作物，总用水量y(米3)与种植时间x(天)之间的函数关系式如图所示.(1)第20天的总用水量为多少米3?(2)当x≥20时，求y与x之间的函数关系式.(3)种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3?6.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费1.5元，超计划部分每吨按1.8元收费.(1)写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式:①当用水量小于或等于3000吨时________；②当用水量大于3000吨时__________________.(2)某月该单位用水3200吨，水费是______元；若用水2800吨，水费______元.(3)若某月该单位缴纳水费4590元，则该单位用水多少吨?7.小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min.设小亮出发xmin后行走的路程为ym.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.(1)小亮行走的总路程是_____m,他途中休息了____min.|(2)①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式;②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少?8.某鞋店销售A，B两种型号的球鞋，销售一双A型球鞋可获利80元，销售一双B型球鞋可获利110元．该鞋店计划一次购进两种型号的球鞋共60双，将其销售完可获总利润为y元，设其中A型球鞋x双．(1)求y与x的函数关系式．(2)若本次购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，问如何安排购进方案，可获得最大利润．【参考答案】1.202.103.5004.(1)20;(2)y=20+5(x-3);(3)45.5.解:(1)第20天的总用水量为1000米3.(2)设当x≥20时y=kx+b，依题意得:20k+b=100030k+b=4000解得∴y=300x-5000(x≥20)(3)当y=7000时，300x-5000=7000，解得x=40∴种植时间为40天时，总用水量达到7000米3.6.(1)y=1.5x;y=4500+1.8(x-3000);(2)4860;4200;(3)解:∵4590>4500∴1.8x-900=4590，解得x=3050答:该单位用水3050吨.7.(1)3600;20;解:(2)①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b.根据题意，当x=50时，y=1950;当x=80，y=3600∴1950=50k+b∴y与x的函数关系式为y=55x-800；②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800(m)缆车到达终点所需时间为1800÷180=10(min)小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60(min)把x=60代入y=55x-800，得y=55×60-800=2500所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是:3600-2500=1100(m).8.（1）解：设其中A型球鞋x双，则B型球鞋60-x双，由题可得，y=80x+110×60-x整理得y=-30x+6600，故y与x的函数关系式为y=-30x+66000≤x≤60．（2）解：由题可得60-x≤2x，解得x≥20，∵y=-30x+6600，y随x值的增加而减小，∴当x=20时，y最大为-30×