易错模型03 最值模型（八大易错分析、变式训练、易错题通关）（原卷版）

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．18例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

练习1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（

）A． B．1 C． D．练习2．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（

）．

A． B．3 C． D．练习3.（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形的边长为4，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点，，按逆时针排序），则长的最小值为（）

A． B． C．4 D．1．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.82．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（）

A． B． C． D．3．（2022·河南南阳·二模）如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．易错模型七：瓜豆模型（圆）【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4.定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。例1．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为．例2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为．

练习1．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为．

练习2．（2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出：（1）如图①，在中，，，，则的长为__________；问题探究：（2）如图②，已知矩形，，，点P是矩形内一点，且满足，连接，求线段的最小值；问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地，其中，，，点E为边上一点，且，，为了美化环境，要求四边形的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值．1．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（）A． B．4 C． D．62．（2023·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______．4．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是．

易错模型八：隐圆模型模型1、动点定长模型（圆的定义）若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．模型2、定边对直角模型（直角对直径）固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．模型4、四点共圆模型四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模型作相应练习即可。1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．条件：线段同侧张角相等．例1．（2023·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为．例2．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．练习1．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（）

A． B． C． D．练习2．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连结，过点点作于点，连结，在点移动的过程中．（1）；（2）的最小值是．练习3．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是．

1．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（

）A． B．2 C． D．3．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一