数学（选修12）练习模块综合质量评估

模块综合质量评估本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i是虚数单位，复数z＝eq\f(1－2i,i)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析∵z＝eq\f(1－2i,i)＝eq\f(i－2－i,i)＝－2－i，∴z在复平面内对应的点为(－2，－1)．故选C．答案：C2．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是()答案：A3．用反证法证明命题“若sinθeq\r(1－cos2θ)＋cosθ·eq\r(1－sin2θ)＝1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是()A．sinθ≥0或cosθ≥0B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0D．sinθ＞0且cosθ＞0解析用反证法证明，应先假设所证命题的否定成立．本题所证的命题的否定为sinθ＜0或cosθ＜0.答案：B4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇＝()A．eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr,2) D．不可类比解析扇形的弧长类比于三角形的底，扇形的半径类比于三角形的高，所以S扇形＝eq\f(lr,2).答案：C5．欲证eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)，只需要证()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2解析将不等式等价转化为eq\r(2)＋eq\r(7)＜eq\r(3)＋eq\r(6).由于两边都为正数，所以可平方化简．答案：C6．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线和“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A．①—综合法，②—分析法B．①—分析法，②—综合法C．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图．由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法．故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的为①—综合法，②—分析法．答案：A7．已知a，b∈R，i是虚数单位，若3＋bi与a－i互为共轭复数，则|a＋bi|等于()A．eq\r(2) B．5C．eq\r(10) D．10解析∵3＋bi与a－i互为共轭复数，∴a＝3，b＝1.∴|a＋bi|＝|3＋i|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).答案：C8．某纺织厂的一个车间有技术工人m名(m∈N＋)，编号分别为1,2,3，…，m，有n台(n∈N＋)织布机，编号分别为1,2,3，…，n.定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij＝1，否则aij＝0.则等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的实际意义是()A．第4名工人操作了3台织布机B．第4名工人操作了n台织布机C．第3名工人操作了4台织布机D．第3名工人操作了n台织布机解析根据即时定义在a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中，第一下标4表示第4名工人进行操作，第二下标1,2，…，n表示第1号织布机、第2号织布机，…，第n号织布机．根据规定可知这名工人操作了3台织布机．答案：A9．下图是求S＝1＋3＋5＋…＋99的程序框图，其中①应为()A．A≤97？ B．A＜99?C．A≤99? D．A≤101?解析模拟程序的运行可得程序的功能是计算并输出S＝1＋3＋5＋…＋99的值，且在循环体中，S＝S＋A表示每次累加的是A的值．故当A≤99时应满足条件进入循环，A＞99时就不满足条件．故条件为A≤99.答案：C10．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－0.7x＋a，则a＝()月份x1234用水量y4.5432.5A．10.5 B．5.15C．5.25 D．5.2解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(4.5＋4＋3＋2.5,4)＝3.5.∴3.5＝－0.7×2.5＋a.解得a＝5.25.答案：C11．甲、乙两队进行排球决赛(五局三胜制)，现在的情形是甲队只要再赢一局就可获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析由题意知，在已比赛过的前3局中，甲队两胜一负，则甲队获胜(得冠军)有以下两种情形：A1＝第4局甲胜，A2＝第4局乙胜且第5局甲胜，A1，A2互斥．故P(甲得冠军)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).答案：D12．观察下列各式：eq\r(3,2＋\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,7))，eq\r(3,3＋\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,26))，eq\r(3,4＋\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,63))，…，若eq\r(3,9＋\f(9,m))＝9eq\r(3,\f(9,m))，则m＝()A．80 B．81C．728 D．729解析eq\r(3,2＋\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,23－1))，eq\r(3,3＋\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,33－1))，eq\r(3,4＋\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,43－1))，……∴eq\r(3,n＋\f(n,n3－1))＝neq\r(3,\f(n,n3－1)).∴eq\r(3,9＋\f(9,m))＝9eq\r(3,\f(9,m))＝9eq\r(3,\f(9,93－1)).∴m＝93－1＝729－1＝728.答案：C第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．复数z＝1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模的取值范围是________.解析|z|＝eq\r(1＋cosα2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα).∵π＜α＜2π，∴－1＜cosα＜1.∴0＜2＋2cosα＜4.∴|z|∈(0,2)．答案：(0,2)14．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值分别为________________.解析分别令n＝1,2,3，可解得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)15．两个实习生每人加工一个零件，加工的零件为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立．则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________.解析设甲、乙加工零件为一等品分别为事件A，B，两个零件恰有一个一等品为事件C．由题可知P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，则P(C)＝P(A∩eq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))∩B)＝P(A∩eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))∩B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)16．观察下列等式：12＝132＝2＋3＋452＝3＋4＋5＋6＋772＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋1092＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13……以上等式右侧中，1出现1次，2出现1次，3出现2次，4出现3次，…，则2016出现的次数为________.解析由题意，每一行的第一个数构成以1为首项，1为公差的等差数列，最后一个数构成以1为首项，3为公差的等差数列．则首次出现2016在第673行，最后一次出现2016在第2016行．所以2016出现的次数为2016－673＋1＝1344.答案：1344三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z＝1－i.(1)设w＝z(1＋i)－1－3i，求|w|.(2)已知eq\f(z2＋az＋b,1＋i)＝i，求实数a，b的值．解(1)∵z＝1－i，∴w＝z(1＋i)－1－3i＝1－3i.∴|w|＝eq\r(10).(2)由题意得z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b＝a＋b－(2＋a)i＝(1＋i)i＝－1＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－1，,－a＋2＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.))18．(本小题满分12分)已知a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)∵a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，ab＞cd，∴eq\r(ab)＞eq\r(cd).∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，∴(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①若eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)，则(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)＞c＋d＋2eq\r(cd).由a＋b＝c＋d，得ab＞cd.∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，(c－d)2＝(c＋d)2－4cd，∴(a－b)2＜(c－d)2.∴|a－b|＜|c－d|.②若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.由a＋b＝c＋d，得ab＞cd.∴(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).综上可得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要条件．19．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程．(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(t,\s\up6(－)).解(1)由所给数据计算得eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14.则b＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)ti－\o(t,\s\up6(－))2)＝eq\f(14,28)＝0.5，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3.故所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知b＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8.所以该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．(本小题满分12分)第24届冬奥会将于2022年在我国北京和张家口举行．为了做好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男1016女614总计30(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？(3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).独立检验临界值表：P(χ2≥k)0.400.250.100.010k0.7081.3232.7066.635解(1)填表如下：喜爱运动不喜爱运动总计男10616女6814总计161430(2)假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得χ2＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×16×14)≈1.1575＜2.706.因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．(3)喜欢运动的女志愿者有6人，设喜欢运动的女志愿者分别为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D会外语，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都不会外语的只有EF这1种取法．故抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是P＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).21．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣工艺有着悠久的历史．图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求f(5)的值．(2)利用合情推理的归纳推理思想，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式．(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n.∴f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－