第08讲二项分布超几何分布及正态分布（教师版）

第08讲二项分布、超几何分布及正态分布（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国甲卷（理），第19题,12分超几何分布的均值超几何分布的分布列计算几个数的中位数独立性检验解决实际问题2022年新Ⅱ卷，第13题,5分正态分布指定区间的概率/2021年新Ⅱ卷，第6题,5分正态分布的实际应用/2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握二项分布的定义及计算2.理解、掌握超几何分布的定义及计算3.理解、掌握正态分布的定义及计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般给在大题中结合前面的的概率及分布列一起考查，需重点强化复习知识讲解独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率计算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率．两点分布X01P1－pp这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正态分布正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.考点一、二项分布1．（2023·广东·统考模拟预测）某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？【答案】(1)分布列见解析，(2)，，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．【分析】（1）根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率和，根据大小关系，即可得到结论.【详解】（1）解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，可得方案一中，随机变量，则，，，所以随机变量的分布列为：X012P所以期望为．（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为，则其概率为．对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为，则，可得，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．2．（2023·湖南株洲·统考一模）2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）设甲、乙获得的门票数分别为、，分别求、的分布列，进而可得结果；（2）“乙获得的门票数比甲多”有3种可能、和，结合（1）中的数据运算求解.【详解】（1）由题意可得：预定一张开幕式门票不成功的概率，成功的概率为，设甲获得的门票数为，则的可能取值为，故，故的分布列为：012设乙获得的门票数为，则，故，故的分布列为：012故甲乙两人都没有获得任何门票的概率.（2）由（1）可得：乙获得的门票数比甲多的概率.3．（2023·湖南常德·二模）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有，，三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：班级一二三四人数(1)从这人中随机抽取人，求这人恰好来自同一班级的概率；(2)从这名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选，两款软件学习的概率都是，且他们选择，，任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）结合组合的应用，根据古典概型公式求解即可；（2）由题知，甲乙丙同学选择任一款软件学习的概率是，，进而根据二项分布求解即可.【详解】（1）解：由题知，从这人中随机抽取人，共有种可能情况，记“这人恰好来自同一班级”为事件，则事件包含的可能情况有：种，所以，（2）解：由题知，的可能取值为，因为选，两款软件学习的概率都是，且他们选择，，任一款软件都是相互独立的所以，他们选择款软件学习的概率是所以，这三名学生中下午自习时间选软件的人数为所以，，，，；所以，的分布列为：所以，4．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.类题操作正确得10分，类题操作正确得20分.以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明类7题中有5题会操作，类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响.(1)求李明被终止比赛的概率；(2)现已知李明类题全部操作正确，求李明类题操作完后得分的分布列及期望；(3)求李明获二等奖的概率.【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）设“李明被终止比赛”事件为表示选的4题均会操作或3题会操作，结合对立事件的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意得到得分为的取值，结合类题正确操作题数，利用重复试验的概率计算公式，求得概率，列出分布列，求解数学期望；（3）根据题意得到事件即类题全部操作正确，类题正确操作2题或类题操作正确3题，类题全部正确操作，结合概率的运算公式，即可求解.【详解】（1）解：设“李明被终止比赛”事件为表示选的4题均会操作或3题会操作，故李明被终止比赛的概率.（2）解：设李明在竞赛中，类题全部操作正确后得分为，则的取值为，且类题正确操作题数，可得；；；所求的分布列406080100.（3）解：设李明获二等奖的事件为，事件即类题全部操作正确，类题正确操作2题或类题操作正确3题，类题全部正确操作，所以李明获二等奖的概率为.5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）自年底开始，一种新型冠状病毒COVID19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为.(1)若，现对份样本进行核酸检测，求这份中检验结果为阳性的份数的分布列及期望；(2)若，现有份样本等待检验，并提供“合”检验方案：将份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“合”检验方案所需的检验次数的期望与的大小.【答案】(1)分布列答案见解析，(2)答案见解析【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布，利用二项分布的期望公式可求得的值；（2）计算出，令可得出，构造函数，利用导数研究函数的单调性，比较与的大小关系，即可得出与的大小.【详解】（1）解：记阳性人数为，则，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.（2）解：记所需化验次数为，则的可能取值为、、，，则，所以，，，，，令，可得，则，所以，，即，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，，当时，恒成立，，则当时，恒成立，当时，恒成立.综上所述，当且时，，则，当时，，则，当且时，，则.【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．（2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解；（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．6．（2023·江西·校联考模拟预测）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用表示；（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.【答案】(1)分布列见解析，，(2)（i），（ii）答案见解析【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion求出设备升级后单位时间内的利润，即为；（ii）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，所以，，，所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为0123控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，；（2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量0设备运行概率所以升级改造后单位时间内产量的期望为；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为，即；（ii）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为；第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为；所以，则，所以当时，，单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当时，，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键.1．（2023·浙江金华·统考模拟预测）为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率(2)求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、(3)分布列答案见解析，【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；（2）根据古典概型的概率公式及组合数公式计算可得；（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，则，利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望.【详解】（1）设顾客第次摸到红球为，则；（2）由题意知，，，，，因此，顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、；（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，则，所以，，，，则分布列为：123数学期望.2．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每位同学测试的结果互不影响.(1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差；(2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数.【答案】(1)分布列见详解；.(2)【分析】（1）由条件确定随机变量X的可能取值，则，由此可得其分布列，求得方差；（2）设选择甲方案测试的学生人数为，则选择乙方案测试的学生人数为，并设通过甲方案测试合格的学生人数为，通过乙方案测试合格的学生人数为，利用二项分布期望公式和期望的性质求，由条件确定的取值.【详解】（1）由已知随机变量X的取值有,则.；；；；；.所以X的分布列为X012345P方差.（2）设选择甲方案测试的学生人数为，则选择乙方案测试的学生人数为，并设通过甲方案测试合格的学生人数为，通过乙方案测试合格的学生人数为，当时，此时所有学生均选择乙方案测试，则，所以，不符合题意；当时，此时所有学生均选择甲方案测试，则，所以，符合题意；当时，，，所以，又，则，故当时，符合题意.综上，所以.所以当选择甲方案测试的学生人数为时，测试合格的人数的均值不小于3.3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数X人数10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.【详解】（1）由题意得：，，，.（2），，则，可能的取值为，的分布列为：0123数学期望.4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某学校三年级开学之初增加早自习，早饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率为，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是，选择餐厅甲就餐的概率也为，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择甲餐厅就餐的概率为.(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求的分布列，并求；(2)请写出的通项公式；【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得概率分布，利用二项分布期望公式可得期望；（2）根据题意先求与的关系，然后利用构造法可得通项.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，所以位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.的分布列为0123故（2）依题意，，即.由（1）知，则当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列.5．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图案，抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“爱国”卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是“敬业”卡的概率是.”(1)求抽奖者获奖的概率；(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设“敬业”卡有n张，根据已知列出关系式解出的值，然后即可得出答案；（2）先求出下规则下，每人获奖的概率.由已知可得，进而即可根据二项分布的分布列以及均值公式，得出答案.【详解】（1）设“敬业”卡有n张，由已知可得，解得，故“爱国”卡有5张，抽奖者获奖的概率为.（2）若抽出的为“敬业”卡，则每个抽奖者获奖的概率为，若抽出的为“爱国”卡，则每个抽奖者获奖的概率为，所以，新规则下，每个抽奖者获奖的概率为，所以，（，1，2，3），则X的分布列为X0123P所以.6．（2023·广东茂名·统考二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为，在社交媒体平台复购的概率为.(1)记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为，若，试求的分布列和期望；(2)记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为，当取得最大值时，为何值？(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.【答案】(1)分布列见解析；当时，期望为1；当时，期望为3；(2)(3)805500元【分析】（1）复购的人数满足，故通过可求得或，然后分两种情况进行求分布列和期望即可；（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,，故可计算得，通过导数研究其单调性即可求得最大值，求得此时的值；（3）根据题意，分两个平台进行计算净利润，最后进行求和即可【详解】（1）由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为，复购的人数满足二项分布，即，故,故或.又知的所有可能取值为0，1，2，3，4，①当时,的分布列为01234此时期望为，②时,，所以的分布列为01234此时期望为（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,.,,令,得或1，所以时,，函数单调递增,当时,，函数单调递减.故当取得最大值.由可得，此时.（3）短视频平台:(元),社交媒体平台:(元),净利润总额:(元).故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元.【点睛】方法点睛：这道题的信息量较多，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的考点二、超几何分布1．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列为：X012P2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．(1)若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；(2)若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．【答案】(1)分布列见解析，【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.【详解】（1）方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列如下表：X012P随机变量X的期望为法二：随机变量X服从超几何分布，所以.（2）设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，事件为脱落两个字，，，，，，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为，法二：掉下的两个字不同的概率为，所以标语恢复原样的概率为．3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列及数学期望；(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2).【分析】（1）所有可能的取值为，且，根据二项分布的概率公式求解，从而可得分布列与期望；（2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”，求解即可.【详解】（1）所有可能的取值为，且.；；；.故的分布列为0123所以.（2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”，则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为，所以.所以，解得.所以，故当时，最大.4．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；(2)实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：对照组实验组（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：【答案】(1)分布列见解析，(2)（i）；列联表见解析，（ii）能【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【详解】（1）依题意，的可能取值为，则，，，所以的分布列为：故.（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420实验组14620合计202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.1．（2023·陕西铜川·校考一模）某品牌厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一组，3份；第二组，8份；第三组；第四组；第五组，4份；已知其中得分高于60分的问卷份数为20．(1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率；(2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）由题意可得第四组有16份问卷，所取两份问卷分差不低于20分，故在第二组与第四组中各取一人，由古典概型的计算公式即可求解；（2）随机变量X取值为0，1，2，3，4，求出各变量对应的概率，即可得到分布列与期望.【详解】（1）由于成绩在的问卷为4份，又得分高于60分的问卷份数为20，故第四组有16份问卷.由于所取两份问卷分差不低于20分，故由题意知是在第二组与第四组中各取一人，故所求概率为．（2）由题意知随机变量X取值为0，1，2，3，4．，X的分布列为：X01234所以期望．2．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）为提升教师的命题能力，重庆市第一中学定期举办教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行4轮比赛，4轮比赛命制的题目均可适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，4轮比赛中，至少获得3次“优秀奖”的教师将进入复赛．为了能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．(1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获得“优秀奖”的概率；(2)若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？【答案】(1)(2)教师甲不能进入复赛【分析】（1）考虑教师甲获得优秀奖的三种情况，分别计算概率相加得到答案.（2）计算教师甲获得“优秀奖”的概率为，则，，得到答案．【详解】（1）设为事件：“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件发生的所有情况有：①符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为；②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为；③符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为．所以．（2）强化训练后，每道非解答题入选的概率为，每道解答题入选的概率为，则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为：，因为每轮比赛结果互不影响，所以进行4轮比赛可看作4重伯努利试验．用表示教师甲在4轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则．，故教师甲不能进入复赛．3．（2023·全国·模拟预测）2023年春节期间，电影院有多部新片上映，某传媒公司调查了消费者的购票途径，数据显示超八成用户选择线上购买电影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H这8个线上购票平台，现随机抽取了200名线上消费者并统计他们在这8个平台上购买春节档电影票的人数（假设每个消费者只选用一个购票平台购买春节档电影票）以及曾经使用过这8个平台购买电影票的人数（每个消费者可用多个平台购买电影票），得到如下表格：ABCDEFGH购买春节档电影票的人数4030303030201010曾经购买过电影票的人数9288808070622515(1)把样本消费者中曾经在每个平台上购买电影票的频率作为线上消费者在相应平台上购买电影票的概率，从所有线上消费者中随机抽取4人，求恰有2人在C平台上购买电影票的概率．(2)现从样本中在A，D，E平台上购买春节档电影票的消费者中按照分层抽样的方法抽取n个人，已知抽取的在A平台上购买春节档电影票的人数比在D平台与E平台上购买春节档电影票的人数之和少2．①求n的值；②从抽取的n个人中再随机抽取4人，记这4人中在E平台上购买春节档电影票的人数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)①；②分布列见解析；期望为【分析】（1）n次独立重复实验求解即可；（2）先应用分层抽样再根据超几何分布列分布列求数学期望即得.【详解】（1）由题可得线上消费者在C平台上购买电影票的概率为，所以从所有线上消费者中随机抽取4人，恰有2人在平台上购买电影票的概率为．（2）①设按照分层抽样的方法抽取的在A平台上购买春节档电影票的人数为4x，则抽取的在D平台与平台上购买春节档电影票的人数之和为6x，所以，得，所以．②由题及①易知抽到的10个人中，在平台上购买春节档电影票的人数为3，所以X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，，所以的分布列为X0123P．4．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列见解析，【分析】（1）根据分层抽样计算可得；（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，,,,,所以的分布列为：1234考点三、正态分布1．（2023·河北·统考模拟预测）山东烟台某地种植的苹果按果径（单位：）的大小分级，其中的苹果为特级，且该地种植的苹果果径．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（

）（参考数据：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946【答案】C【分析】先根据原则求出的概率，再乘以即可得解.【详解】由，得，，，所以，所以特级苹果的个数约为个.故选：C.2．（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（

）A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为C．该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等【答案】D【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.故选：D.3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（

）A．19 B．12 C．6 D．5【答案】C【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布，，∴，根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为，∴理论上说在130分以上人数约为.故选：C．4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（多选）已知某果园的每棵果树生长的果实个数为X，且X服从正态分布，X小于70的概率为，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据正态分布即可求出概率，均值和方差.【详解】由题意，X服从正态分布，X小于70的概率为，从该果园随机选取10棵果树，∴，∴，故选项A正确;由题意可知，∴，故选项B错误：∵，∴，∴选项C错误，选项D正确．故选：AD．5．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）（多选）已知随机变量的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据已知可求得，，，，即可判断A、B项；然后求出，根据正态分布的对称性，即可得出C、D项.【详解】对于A项，根据已知可得，，.因为的极大值点为，所以有，所以，故A项错误；对于B项，由A分析可知，，故B项正确；对于C项，由A分析可知，.又，，根据正态分布的对称性，可知，所以，故C正确；对于D项，因为，所以，.所以，，故D项正确.故选：BCD.6．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）.附参考数据：，随机变量服从正态分布，则.【答案】【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.（2）根据，可求得成绩在内的概率，利用二项分布的概率公式求解即可.【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：.（2）由题意知，则，故该校女生短跑成绩在内的概率，由题意可得，所以，，所以.8．（2023·重庆·统考二模）某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励，①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．附：若随机变量，则；；．【答案】(1)(2)①能，理由见解析；②乙所说为假【分析】（1）利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；（2）①利用正态分布的对称性及法则，求得前名参赛者的最低得分即可判断；②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及法则，证得丙的分数为分是小概率事件，从而得以判断.【详解】（1）设：第次通过第一关，：第次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知.（2）设此次闯关活动的分数记为．①由题意可知，因为，且，所以，则；而，且，所以前名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为分，所以甲能够获得奖励；②假设乙所说为真，则，，而，所以，从而，而，所以为小概率事件，即丙的分数为分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假．9．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图.(1)求的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数和中位数；(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间服从正态分布，其中近似为，.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除；在时间小于分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）附：若服从正态分布，则，，.参考数据：.【答案】(1)，，中位数为(2)【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1可得，再根据平均数与中位数的算法求解即可；（2）根据正态分布概率公式可得所以在时间大于分钟与小于分钟在平台内的数量，进而根据题意可得所需准备的资金表达式，再求导分析最值求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.故平均数.设中位数为，因，，故，则，解得，即中位数为.（2）由题意，，且，，故，所以在时间大于分钟的平台内约有件；，所以在时间小于分钟的平台内约有件；则“合格平台”约有件，所以需要资金为，由于，可令，则，令有，当时，递减；当时，递增；故有最小值，故至少需要准备元.10．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.(1)令，则，且，求，并证明：；(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.参考数据：，则，，.【答案】；证明见解析.(2)（ⅰ）分布列见解析（ⅱ）能，.【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果；（2）先利用导数求出，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果.【详解】（1），又，所以.因为，根据正态曲线对称性，，又因为，所以.（2），.令，得.当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数.所以的最大值点，从而.（ⅰ）的可能取值为3，2，1，0.，，，，所以的分布列为3210（ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为.1．（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则．【答案】/．【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为，所以，因此．故答案为：．2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则．（用字母表示）【答案】【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案.【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知，因为，所以，即，随机变量服从正态分布，根据对称性可知，，则，即.故答案为：.3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为．附：，，【答案】4【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可.【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布其中，，设第次抽到优等果的概率（），恰好抽取次的概率，所以，设，则，两式相减得：，所以，由，即，的最大值为．故答案为：．【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可.4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量（盒）购物群数量（个）122032(1)求实数的值，并用组中值估计这100个购物群销售凤梨总量的平均数（盒）；(2)假设所有购物群销售凤梨的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售凤梨的数量在（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该凤梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若服从正态分布，则．【答案】(1)，376(2)186800元【分析】（1）根据样本容量列方程求出m，利用组中数求出平均数；（2）根据正态分布的概率计算公式求出对应的概率值，计算“优质群”和“一级群”的个数，求出奖励金.【详解】（1）由题意得：，解得．故平均数为.（2）由题意，，且，故，所以“优质群”约有个，，所以“一级群”约有个；所以需要资金为，故至少需要准备186800元．5．（2023·河北·统考模拟预测）某工厂从生产出的产品中随机抽取100件，测量一项质量指标，将测量结果落到质量指标的各区间内的产品频率绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这100件产品质量指标的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若认为该产品质量指标，认为是样本平均值.（i）在交货前，该产品的客户随机抽取了10件，记X表示这10件产品中质量指标在（，）之间的产品件数，求；（ii）为了保证产品质量，质量检查员每天在当天生产的该产品中，随机抽取15件，若出现质量指标值在之外的产品，则认为生产过程出现问题，需要检查整个生产过程，否则不需要检查.在质量检查员当天抽取的15件该产品的质量指标中，质量指标最小值为，质量指标最大值为，根据近似值判断是否需要检查整个生产过程.附：若，则，，.【答案】；(2)（i）8；（ii）不需要检查整个生产过程．【分析】（1）由各组数据中点值乘以相应频率再求和可得；（2）（i）由正态分布性质求得概率，再乘以10即得；（ii）由正态分布特殊区间概率公式得，再乘以15得合格产品数量，从而得出不合格产品数量，可判断出结论．【详解】（1）；（2）（i）由题意该产品质量指标，，；（ii）由已知，，因此不合格产量数量差为0，不需要检查整个生产过程．6．（2023·广东·校联考模拟预测）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量，则；；.【答案】(1)(2)①能，理由见解析②假【分析】（1）设为第次通过第一关，为第次通过第二关，计算即可；（2）①由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；②假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论．【详解】（1）设：第i次通过第一关，：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知.（2）设此次闯关活动的分数记为.①由题意可知，因为，且，所以，则；而，且，所以前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；②假设乙所说为真，则，，而，所以，从而，而，所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.7．（2023·湖南·校联考模拟预测）为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：，，，，，．整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）参考数据：，，．【答案】(1)，(2)5114元【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，即可求得，根据平均数公式计算即可得；（2）利用参考数据由正态分布的对称性分别求出获得学校食堂消费券为元时的概率，即可得出一名学生的期望值为，便可计算出全校1000名学生共可获得食堂消费券为5114元．【详解】（1）由题意可知，，解得（2）设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为Y元，，，，，Y的分布列如下表：Y051015P01359即一名学生获得的学校食堂消费券的期望值为，所以，全校学生可获得（元）．故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券5114元．8．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛?(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第题时“花”掉的分数为（，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少?附：若，则，，；．【答案】(1)；(2)有(3)7或8【分析】（1）确定X的取值，算出预赛成绩在和范围内的样本量，根据超几何分布的概率计算求得至少有1人预赛成绩优良的概率，继而可求得X的分布列，求得期望；（2）求出变量Z的均值，确定，即可求得，算出不低于91分的人数，可得结论；（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，可得，结合二项分布的均值计算公式可得表达式，结合二次函数知识，可得答案.【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，预赛成绩在范围内的样本量为：，设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为，则，又，则X的分布列为：X012P故.（2），，则，又，故，故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，因为，故小明有资格参加复赛.（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，则，故，，故,因为，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.9．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送的货物量（单位：箱）分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）．(1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析每日的可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率；(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为三级，时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元．方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于样本的中位数时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于样本的中位数时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率为奖金50100概率小张为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？(3)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）．附：若，则，．【答案】(1)(2)小张选择方案二更有利(3)1637【分析】（1）由频率分布直方图结合分层抽样的方法得出各组抽取的人数，再求其概率即可；（2）若选择方案一，小张每日可获得的奖金为的可能取值为50，80，120元，由频率分布直方图可得其对应的概率，再求其数学期望即可；若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为可能取值为50，100，150，200元，求其相应的概率得出数学期望并和方案一比较大小得出结果；（3）由频率分布直方图求解，再根据正态分布求给定区间的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知：前3组数据的频率之比为.根据分层抽样的方法，11天的数据有1个来自第1组，4个来自第2组，6个来自第3组，故有4天的数据来自这一组.用表示事件“抽取的3天的数据中至少有2天的数据来自”，则.（2）若选择方案一，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为50，80，120，由频率分布直方图可得其对应的概率分别为，，，故.若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为50，100，150，200，每日的可配送货物量不低于样本的中位数的概率为，低于样本中位数的概率也为.故，，，.所以的分布列为50100150200所以.因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利.（3）由题可得，所以.故该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数为.10．（2023·浙江绍兴·统考二模）某APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）；(2)若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的的值；附：若随机变量服从正态分布，则：【答案】(1)（岁）(2)(3)【分析】（1）结合频率分布直方图和百分位数的定义即可求解；（2）利用正态分布的性质即可求解；（3）利用二项分布的概率公式和二项式系数的最值列不等式组，解之即可.【详解】（1）由直方图可知，第分位数位于区间，第分位数（岁）.（2）（岁）使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的.（3）根据题意，要使取最大值，则，，解得，因为，所以.17．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布.(1)已知如下结论：若，从X的取值中随机抽取个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量，利用该结论解决下面问题.（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求；（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析(2)分布列见解析，【分析】(1)(i)由正态分布的对称性及原则进行求解；(ii)结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；(2)设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，进而求出的分布列及数学期望.【详解】（1）（i）因为，所以，因为，所以，因为，所以；（ii）由第一问知，庞加莱计算25个面包质量的平均值为g，，而，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2.则，，故分布列为：012其中数学期望.【基础过关】一、单选题1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若，则当，1，2，…，100时（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【详解】解：由题意得：即，化简得：，又k为整数,可得,所以，故选：C．二、多选题2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量，下列说法中正确的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】BCD【分析】根据二项分布有关知识，，，可得.【详解】A选项：因，所以，故A错误.B选项：，故B正确.C选项：，故C正确.D选项：，，故D正确.故选：BCD.三、填空题3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）设随机变量，则.【答案】【分析】根据超几何分布计算公式可得.【详解】由随机变量服从超几何分布，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，根据超几何分布公式可得.故答案为：4．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为，全年级恰好共种了500盆，则大概有个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）【答案】410【分析】根据题意可计算出一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，再根据二项分布的期望值即可求得结果.【详解】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为，即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，且被评为“阳光小组”的盆数服从二项分布，所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有.故答案为：4105．（2023·福建宁德·校考二模）若随机变量，且，则．【答案】/【分析】利用正态曲线的对称性求出的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出，代值计算即可得解.【详解】因为，且，则，所以，.故答案为：.6．（2023·河南开封·统考三模）已知随机变量服从正态分布，若，且的最小值为－3，则．【答案】【分析】先根据对称性求参，再根据正态分布的对称性求概率即可.【详解】因为的最小值为－3，所以，即，又，所以，即根据正态分布的对称性，正态分布的正态密度曲线关于对称，即，而，所以，故，故答案为．7．（2023·山西吕梁·统考二模）某种红糖的袋装质量服从正态分布，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间的约有袋．（质量单位：）附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】4093【分析】根据正态分布的对称性，结合求解即可.【详解】由题意知，，所以，，得，所以袋装质量在区间的约有袋．故答案为：40938．（2023·天津·天津市滨海新区塘沽第一中学校联考模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为.【答案】【分析】首先设有白球个，根据题意得到，再解方程即可.【详解】设有白球个，因为从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，所以，解得或（舍去）.故答案为：59．（2023·河南·校联考模拟预测）若随机变量，且，则．【答案】【分析】由正态分布函数的性质结合已知条件即可求解.【详解】因为，所以正态曲线的对称轴是直线，又因为，所以.故答案为：0.39.四、解答题10．（2023·云南·校联考模拟预测）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.参考数据:若,则,,,,.【答案】(1)(2)随机变量的分布列见解析；期望为【分析】（1）由正态分布的对称性有,求各学生能进入面试的概率,再由独立事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求人中至少有一人进入面试的概率.（2）求出的可能取值为的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,所以,则,即这人中至少有一人进入面试的概率为.（2）的可能取值为,,,,,则随机变量的分布列为：,.【能力提升】一、多选题1．（2023·江西·校联考模拟预测）以下说法正确的是（

）A．若，，则B．随机变量，，若，则C．若，，，则D．若，且，则【答案】BCD【分析】根据二项分布的方差、分布列的期望、条件概率、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A．，，故A错；B．，故B对；C．，，，故C对；D．，，故D对．故选：BCD2．（2023·吉林白山·统考二模）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（

）．（附：若，则，，）A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍【答案】BD【分析】根据正态分布性质及对应特殊区间上的概率计算分别判断各个选项即可.【详解】因为，所以，．因为，所以，．因为，故A错误．因为，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．因为，，所以，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．因为，，所以D正确．故选：BD.二、填空题3．（202