排列与组合中的常见策略讲义-高三数学二轮复习

排列与组合中的常见策略策略一相邻问题捆绑法个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法?先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有______________种.策略二不相邻问题插空法将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法?先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有______________种例1．（2223高二下·全国·开学考试）小陈同学准备将新买的《大学》《左传》《孟子》《论语》《诗经》《中庸》六本书立起来放在书架上，若要求《大学》《中庸》两本书相邻，则不同的摆放种数为．（用数字作答）例2．（2324高二上·福建宁德·期末）宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为（用数字作答）．例3．（2324高二上·河南驻马店·期末）A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（）A．24 B．120 C．48 D．60例4．（2324高二下·安徽宿州·开学考试）若A，B，C，D，E，F六人站队照相，要求A､B相邻且C､D不相邻，则所有不同的站法有（

）A．36 B．72 C．108 D．144例5．（2324高二上·福建龙岩·期末）某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种例6．（2324高二上·陕西渭南·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种例7．（2324高二上·福建漳州·期末）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（

）A．6 B．12 C．20 D．72策略三间隔排列问题公式法两类元素间隔排列,即这两类元素各自互不相邻，两类元素间隔排列只有以下两种情况:(1)两类元素的个数相等.个不同元素与另外个不同元素间隔排列,共有种不同的排法.(2)两类元素个数相差.个不同元素与另外个不同元素间隔排列，共有种不同的排法.例1.五位科学家和五名中学生站成一排照相，中学生与科学家间隔排列的站法有________种.例2.4个男生与3个女生站成一排照相，则男生和女生互相间隔排列的方法有________种.策略四定序问题倍缩法倍缩法也称消序法,主要适用于定序问题.将个不同元素排列成一排,其中某个元素的顺序保持一定,有多少种不同排法?个不同元素排列成一排,共有种排法;个不同元素排列成一排共有种不同排法.于是，个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一.故符合条件的排列共有_________种.例1.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（，可以不相邻），那么不同的排法有_____种.例2.五个元素排成一列，要求在的前面且在的前面，不同的排法有_________种.例3．（2024高三·全国·专题练习）3名女生和5名男生排成一排．(3)如果女生不站两端，有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?

策略五特殊元素(特定位置)问题特优法某个或几个元素要排在指定位置,通常要优先考虑这个或这几个元素的受限位置,再排其他的元素,这种方法称为特优法.例1.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，如果要派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种.例2.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端，则不同的排法有_________种.策略六多排问题单排法求一些元素排成前后几排有多少种排法.可把元素排成几排的问题归结为一排考虑,再分排处理.例1.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数为_________种.例2.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，不同排法有_________种.策略七圆排问题直排法把个不同元素放在圆周个无编号的位置上，顺序(例如按顺时针)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,即无首位、末位之分,如下列个普通排列: ……以上排列在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为个元素的圆排列数有______种.因此可将某个元素固定展开展成单排，其他个元素全排列.例1.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，不同站法有_________站.

策略八选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.例1.若四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有_________站.例2.9名乒乓球运动员，其中有5名男运动员，4名女运动员，现在要选出4名运动员进行混合双打训练，不同的分组方法有_________站.策略九分组分配问题先分后排法将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为，记(1)无序非均匀分组：将个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为.(2)无序均匀分组：将个不同元素分成不编号（即无序）的组，每组元素数目相等，其分法种数为.(3)无序部分均匀分组：将个不同元素分成不编号的组，其中有组元素个数相等，其分法种数为.如果再有组均匀分组，应再除以;(4)有序非均匀分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为.(5)有序均匀分组：将个不同元素均匀分成有编号（即有序）的组，其分法种数为.(6)有序部分均匀分组：将个不同元素分成有编号的组，其中有组元素个数相等,其分法种数为.例1.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本.(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本.(3)平均分成三份，每份2本.(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本.(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本.(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.例2.8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)平均分成四份.(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人.(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张.(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张.(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张.(6)分成三份，一份1张，1份2张，一份5张.(7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张.策略十隔板法将个相同元素分成组（每组的任务不同）的分组方法(1)每组至少含有一个元素，不同的分组方法有种，即在个元素中间形成的个空中插入个“隔板”.(2)任意分组，可出现某些组所含元素个数为0的情况，不符合“隔板法”的适用条件，但可人为增加个元素，使每组至少含有一个元素，此时问题就转化为将个相同元素分成组，且每组至少含有一个元素，则不同的分组方法有种.