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文档简介

第19讲等腰三角形数学1.(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是____________.2.(2017·台州)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE100°C3.(2017·河池)已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,求AD的长.【解析】设BD=x,根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°,由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°,解直角三角形即可得到结论.解:设BD=x,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,FG⊥AB于点G,∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°,∴BF=2x,∴CF=12-2x,∴CE=2CF=24-4x,∴AE=12-CE=4x-12,∴AD=2AE=8x-24,∵AD+BD=AB,∴x+8x-24=12,∴x=4,∴AD=81.(2018·预测)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是_________.【解析】根据任意两边之和大于第三边,知道等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,即可求得周长.103.(原创题)如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是()A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140°D【解析】点O是AB中点,连结DO.∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD,∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时,∠BCD=40°或70°,∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°,故选D.4.(2018·预测)如图,△ABC中,AB=AC,BC=12cm,点D在AC上,DC=4cm,将线段DC沿BC方向平移7cm得到线段EF,点E,F分别落在AB,BC上,则△EBF的周长是__________

cm.【解析】∵CD沿CB平移7cm至EF,∴EF∥CD,CF=7,∴BF=BC-CF=5,EF=CD=4,∠EFB=∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴EB=EF=4,∴C△EBF=EB+EF+BF=4+4+5=13.135.已知等腰三角形的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是___________________.【解析】等腰三角形周长为10,腰长为x,则2x>5且2x<10,即2.5<x<5.2.5<x<56.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC.【解析】由等腰三角形性质及三角形内角和定理,可求出∠ABC=∠C=∠BDC.再据等角对等边及等量代换即可求解.7.如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连结DC,DF,CF,判断△CDF的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE,CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.【解析】(1)证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质,即可判断三角形的形状;(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得得出∠APD度数.8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是∠ABC的平分线,CE⊥BD,垂足是E,BA和CE的延长线交于点F.(1)在图中找出与△ABD全等的三角形,并证明你的结论;(2)求证:BD=2EC.解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠FAC=∠BAC=90°,∵BD⊥CE,∠BAC=90°,∠ADB=∠EDC,∴∠ABD=∠ACF,∴△ABD≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF,∴BD=CF,∵BD⊥CE,∴∠BEF=∠BEC,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠FBE=∠CBE,∵BE=BE,∴△FBE≌△CBE(ASA),∴CF=2EC,∴BD=2EC9.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,垂足为D.(1)写出图中所有的等腰三角形,不需证明;(2)请你判断AD与BE是否垂直,并说明理由;(3)如果BC=12,求AB+AE的长.解:(1)△ABD,△EAD,△CDE,△ABC

(2)∵∠BAE=∠BDE,∠ABE=∠DBE,BE=BE,∴△ABE≌△DBE,AB=DB,又∵∠ABE=∠DBE,∴AD⊥BE

(3)∵∠C=∠DEC=45°,∴CD=DE,∴AE=DE=DC,∴AB+AE=BD+DC=BC=1210.(2018·预测)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连结BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,求四边形APBQ的面积.【解析】连结PQ,则可判断△APQ为等边三角形,所以PQ=AP=6,证明△APC≌△AQB得到PC=QB=10,说明△PBQ为直角三角形后,利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ求得结果.11.如图,以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点,在各边上分别截取4cm长的六条线段,过截得的六个端点作所在边的垂线,形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线剪掉,用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子,求它的容积.12.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连结BE,CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.【解析】(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论;(2)利用垂直平分线的性质即可证得结论.解:(1)∠ABE=∠ACD,理由:在△ABE和△ACD中,∵AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,∴△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,∵AB=AC,∴点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC13.直线CP是经过等腰直角三角形ABC的直角顶点C,并且在三角形的外侧所作的直线,点A关于直线CP的对称点为E,连结BE,CE,其中BE交直线CP于点F.(1)若∠PCA=25°,求∠CBF的度数;(2)连结AF,设AC与BE的交点为点M,请判断△AFM的形状;(3)求证:EF2+BF2=2BC2.解:(1)由题意可知直线CP是线段AE的中垂线,∵∠PCA=25°,∴∠PCE=25°,∴∠BCE=140°,∵CA=CB,∴CE=CB,∴∠CBF=20°(2)△AFM是直角三角形.∵直线CP是线段AE的中垂线,∴FA=FE,CE=CA,CF=CF,∴△ECF≌△ACF,∴∠CEM=∠CAF,∠CEM=∠

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