第19讲等腰三角形（完整版）2

第19讲等腰三角形数学1．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________．2．(2017·台州)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE100°C3．(2017·河池)已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，求AD的长．【解析】设BD＝x，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由垂直的定义得到∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．解：设BD＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB于点G，∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，∴BF＝2x，∴CF＝12－2x，∴CE＝2CF＝24－4x，∴AE＝12－CE＝4x－12，∴AD＝2AE＝8x－24，∵AD＋BD＝AB，∴x＋8x－24＝12，∴x＝4，∴AD＝81．(2018·预测)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_________．【解析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，即可求得周长．103．(原创题)如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是()A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°D【解析】点O是AB中点，连结DO.∵点D在量角器上对应的度数＝∠DOB＝2∠BCD，∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，∠BCD＝40°或70°，∴点D在量角器上对应的度数＝∠DOB＝2∠BCD＝80°或140°，故选D.4．(2018·预测)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm，将线段DC沿BC方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长是__________

cm.【解析】∵CD沿CB平移7cm至EF，∴EF∥CD，CF＝7，∴BF＝BC－CF＝5，EF＝CD＝4，∠EFB＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴EB＝EF＝4，∴C△EBF＝EB＋EF＋BF＝4＋4＋5＝13.135．已知等腰三角形的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是___________________．【解析】等腰三角形周长为10，腰长为x，则2x＞5且2x＜10，即2.5＜x＜5.2.5＜x＜56．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AD＝BC.【解析】由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABC＝∠C＝∠BDC.再据等角对等边及等量代换即可求解．7．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连结DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE，CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【解析】(1)证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质，即可判断三角形的形状；(2)作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得得出∠APD度数．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F.(1)在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；(2)求证：BD＝2EC.解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∵BD⊥CE，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BD⊥CE，∴∠BEF＝∠BEC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠FBE＝∠CBE，∵BE＝BE，∴△FBE≌△CBE(ASA)，∴CF＝2EC，∴BD＝2EC9．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.(1)写出图中所有的等腰三角形，不需证明；(2)请你判断AD与BE是否垂直，并说明理由；(3)如果BC＝12，求AB＋AE的长．解：(1)△ABD，△EAD，△CDE，△ABC

(2)∵∠BAE＝∠BDE，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，AB＝DB，又∵∠ABE＝∠DBE，∴AD⊥BE

(3)∵∠C＝∠DEC＝45°，∴CD＝DE，∴AE＝DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝1210．(2018·预测)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连结BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积．【解析】连结PQ，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝6，证明△APC≌△AQB得到PC＝QB＝10，说明△PBQ为直角三角形后，利用S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ求得结果．11．如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，求它的容积．12．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.【解析】(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；(2)利用垂直平分线的性质即可证得结论．解：(1)∠ABE＝∠ACD，理由：在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC13．直线CP是经过等腰直角三角形ABC的直角顶点C，并且在三角形的外侧所作的直线，点A关于直线CP的对称点为E，连结BE，CE，其中BE交直线CP于点F.(1)若∠PCA＝25°，求∠CBF的度数；(2)连结AF，设AC与BE的交点为点M，请判断△AFM的形状；(3)求证：EF2＋BF2＝2BC2.解：(1)由题意可知直线CP是线段AE的中垂线，∵∠PCA＝25°，∴∠PCE＝25°，∴∠BCE＝140°，∵CA＝CB，∴CE＝CB，∴∠CBF＝20°(2)△AFM是直角三角形．∵直线CP是线段AE的中垂线，∴FA＝FE，CE＝CA，CF＝CF，∴△ECF≌△ACF，∴∠CEM＝∠CAF，∠CEM＝∠