湖南省怀化市会同一中高二下学期期中考试数学(理)试题

会同一中20172018学年下学期期中考试高二数学（理科）满分：150分时量：120分钟选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）已知复数满足,则()A.1B.1C.D.2.已知集合,则()A.B.C.D.3.执行如图所示程序框图,输出的的值为()A.39B.81C.102D.214.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若,则.”的否命题是“若,则.”B.命题“若,则.”的逆否命题为真.C.“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件.D.命题“,使得.”的否定是“,均有”.5.设实数，满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.6.将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（）A.5B.8C.9D.10已知函数的部分图象如图所示,则下列直线是其导函数的一条对称轴的是（）A.B.C.D.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图，则该多面体体积为（）A.B.C.D.39.已知是所在平面内一点，.现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A.B.C.D.10.已知是上的奇函数,都有,当时,,则()A.0B.1C.1D.211.已知是双曲线的一条渐近线，与圆（其中）相交于两点，若为等腰直角三角形，则的离心率为（）A.B.C.D.12.已知实数，若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设，则展开式中的常数项为.（用数字做答）14.已知向量，满足，则向量在方向上的投影为.15.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是.16.数列中，，，则的整数部分是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）如图，在中，角，,的对边分别为，，，.（1）求角的大小m（2）若，为外一点，，,.试将四边形的面积表示为的函数,并求其最大值.18.（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关．平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．参考公式与数据：，其中P(x2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（12分）在等腰中，，腰长为，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．（1）求证：平面；（2）点是线段上一点，且.()求证:平面；()求二面角的余弦值.20.(12分）如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．（1）求的方程；（2）设与y轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、两点，直线、分别与相交于、．（i）证明：；（ii）记，的面积分别是，．问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21.(12分)已知函数为自然对数的底）.

(1)求的单调区间；

(2)若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围．请在第22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（10分）已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．23.(10分)选修45：不等式选讲已知（是常数，）.（1）当时，求不等式的解集；（2）如果函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.会同一中20172018学年下学期期中考高二（理科）数学参考答案选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1——6BACDBA7——12BADCCA二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.14.15.16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）；（2）．18.解：（1）平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过与性别有关．…（6分）

（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．由已知可得的所有可能取值是0,1,2,3，且，，分布列为012319.证明：，又可以D为原点建立如图所示空间直角坐标系．而；（）设是平面的法向量，则由得（）设是平面的法向量，则由得，故二面角的余弦值为.（1）；（2）（）由已知,得直线的斜率存在,可设的方程为由得设,又（）设直线的方程为．

由，解得或,则点,

由于，则同理可得点B的坐标为,

又由点，的坐标得，．所以．

故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为和．解：（1）∵，

∴当2a≤0即a≥2时f'（x）＜0恒成立;

当2a＞0即a＜2时，由f'（x）＜0，得；由f'（x）＞0，得;

因此,当a≥2时函数f（x）的单调减区间是（0，+∞）；

当a＜2时，函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是

（2）∵g'（x）=（1x）e1x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，

又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．

由（1）知当a≥2时函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，不合题意，

∴a＜2，并且，即①∵x→0时f（x）→+∞，故对任意给定的x0∈