特色题型专练05 最值问题-三角形（解析版）（江苏专用）

中考特色题型专练之最值问题——三角形题型一、将军饮马如图，已知点分别是等边中边上的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（

）

A．3 B．6 C．9 D．【答案】D【分析】本题考查轴对称求最短距离．连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为．【详解】解：连接交于点，连接，

是等边三角形，，，，此时的值最小，最小值为，，的最小值为，故选：D．如图，在等边中，是高，点G是边上的动点，若，则的最小值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，作点F关于的对称点，连接交于点G，连接，则，当、G、三点共线时，的值最小，求出，利用勾股定理求出即可．【详解】作点F关于的对称点，连接交于点G，连接，则，∴，当、G、三点共线时，的值最小，∵是等边三角形，是高，∴，由对称可知，，∴，∴，∴的最小值等于5．故选：B．如图，等腰中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为．【答案】4【分析】本题考查等边三角形的性质，轴对称解决线段和最小的问题，根据等边三角形三线合一，得到点关于对称，进而得到，根据三角形的面积求出的长即可．【详解】解：连接，∵等腰中，于点H，∴点关于对称，∴，∴，∵点D为的中点，∴，∴，∵，∴，∴m的最小值为4；故答案为：4．如图，在等腰直角三角形中，，E是上一点，，P是上一动点．则的最小值是．【答案】5【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质，作等腰直角三角形关于的对称直角三角形，连接，由关于对称，根据两点之间线段最短可知，连接，交于P，连接，则此时的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图：作等腰直角三角形关于的对称直角三角形，连接，由轴对称的性质可得，，∴，∴当三点共线时，最小，即此时最小，∵等腰直角三角形中，，∴由轴对称的性质可得，∵，∴∴，∴最小值为5，故答案为：5．题型二、两定一动如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（

）A．10 B．5 C．13 D．【答案】B【分析】本题考查三角形三边关系．延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，，根据三角形三边关系证明此时，最大，最大值等于长即可求解．【详解】解：如图，延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，，∵，，∴，∴此时，最大，最大值等于长，∵D是中点，∴，∴最大值，故选：B．如图，若为等腰直角三角形，，P为CD上一动点，的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题主要考查轴对称一一最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作A关于的对称点A，连接交于P，则点P就是使的值最大的点．此时，结合条件证明是等边三角形，即可求得答案．【详解】解：作A关于的对称点A，连接交于P，则点P就是使的值最大的点．此时，连接，如下图：∵为等腰直角三角形，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，即：的最大值是5．故选∶C．在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为；的最大值为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，延长至使得，连接，则进而勾股定理，即可求解；【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接，在中，，∴，∴，∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，∵，，，∴∵，∴，在中，，∴，∴，如图所示，延长至使得，连接，则，，∴，故答案为：，．如图，四边形中，，，，，，点P为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为．【答案】【分析】本题考查三角形三边关系的应用、勾股定理、平行线的性质，关键是得到点P的运动路线．过P作于H，由三角形的面积公式求得，则点P在平行于且与的距离为1的直线l上运动，作C关于直线l的对称点，连接并延长交直线l于，连接，则，当A、、共线时取等号，此时最大值为的长度，过作于M，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过P作于H，∵的面积为，，∴，则，∴点P在平行于且与的距离为1的直线l上运动，作C关于直线l的对称点，连接并延长交直线l于，连接，则，当A、、P共线时取等号，此时最大值为的长度，过作于M，由题意，，，∴，，在中，，∴，故答案为：．题型三、两动一定在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案．【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，如图：∴，，∴的周长的最小值为，由轴对称的性质得：，，，，，，，，为边长为4的等边三角形，，的周长的最小值为4．故选：A．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称性质可知：，，，，，，，即，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．如图，在五边形中，，在上分别找到一点，使得的周长最小，则的度数为．【答案】120°【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．【详解】解：作关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则即为的周长最小值．作延长线，

∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故答案为：．如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键．作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,则即为周长的最小值，求出的长即可．【详解】解：如图：作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,∴，，∴，∵，即，∴，∴，即，∴，∴，，∴．故答案为．题型四、周长最小如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（

）

A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题，作于，交于，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，点关于的对称点为点，从而得出当、、在同一直线上且时，的值最小，为，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作于，交于，连接，，

在中，，，是等边三角形，，，，，点关于的对称点为点，，，当、、在同一直线上且时，的值最小，为，的最小值是，故选：B．如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果．【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，是的角平分线，Q与关于对称，点在上，，，，即，，，的最小值为．如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为．【答案】【分析】作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，由，，求得，，则，所以，由，，且，得，即可得出答案．【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，且，∴，即，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．如图，在等腰中，，是的高，，分别是上一动点，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，由等腰三角形的性质得到垂直平分，，则，故当三点共线且时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长，再运用等面积法求的长度即可．【详解】解：如图所示，连接，∵在等腰中，，是的高，∴垂直平分，，∴，∴，∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，由勾股定理得，∵，∴，解得：，∴的最小值为故答案为：．题型五、两定两动如图，在平面直角坐标系中，已知，直线：与轴相交所成的锐角为．若是轴上的动点，，是上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图所示，直线、轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作于点，交轴于点，交直线于，作直线，垂足为，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决．【详解】解：如图所示，直线、轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作于点，交轴于点，交直线于，作直线，垂足为，∵，，∴，∵与轴相交所成的锐角为，∴，∴，∴，∴，设，∵，直线、轴关于直线对称，在中，，，，∴，即，解得：或（负值不符合题意，舍去），∴，∴的最小值为．故选：A．

【点睛】本题考查轴对称—最短问题、垂线段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．解题的关键是利用轴对称性质正确找到点的位置．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为．

【答案】【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键．作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案．【详解】如图，直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，

点是点关于直线的对称点，作，垂足为，交轴于点，交直线于点，作，，，，此时最小，在中，，，，，，的最小值为，故答案为：．如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时，．

【答案】20【分析】作M关于的对称点，作N关于的对称点，连接，即为的最小值；证出为等边三角形，为等边三角形，得出，即为的面积．【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示：连接，

则，即为的最小值．根据轴对称的定义可知：，，∴为等边三角形，为等边三角形，∴，∵，，∴．故答案为：20．【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，属于填空题中的压轴题，通过轴对称变换找到取最小值时P，Q的位置是解题的关键．题型六、中位线最值如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】如图，取的中点M，连接、、，作于N．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N．∵四边形是平行四边形，，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∵，，∴，∵垂线段最短，∴当点G在点N时，的最小，即的最小值为的长，此时也最小，∴最小值为，的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段的中点，连接，则线段最小值是（

）

A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】本题考查了抛物线与x轴交点坐标的计算，三角形三边不等式，三角形中位线定理，先计算交点坐标，再确定点B、D、C共线时，就最小，计算即可．【详解】解：抛物线与x轴交于A，B两点，时，解得，∴，，∴，∵D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，∴，根据勾股定理，得，∵E是线段的中点，，O是中点，∴是三角形的中位线，∴，当最小时，取得最小值，即点B、D、C共线时，最小，此时就最小．如图，连接交圆于点，

∴，∴．所以线段的最小值为2．故选：A．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，点P在以为圆心，1为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为，则k的值为．【答案】【分析】连接，根据中位线定理可得长的最大值为，当过圆心C时，最长，过B作轴于D，设，则，，根据勾股定理可得，列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解．【详解】解：连接，由对称性得：，而Q是的中点，∴∵的长的最大值为，则长的最大值为，如图所示：当过圆心C时，最长，过B作轴与D，，，B在直线上，设，则，在中，由勾股定理得：整理得：，解得：（舍去），或，∴，∵B在反比例函数的图像上，．故答案为：【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，则是的中位线，，当最大时，有最大值，求出即可．【详解】解：连接，如图：，分别是，的中点，是的中位线，，当最大时，有最大值，，分别是边，上的动点，当与重合时，最大为的长，正方形边长为2，，的最大值为，故答案为：．题型七、两点最值正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（

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A． B． C．7 D．【答案】B【分析】如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案．【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，

∵四边形、是正方形，，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即Q是的中点，又∵点O是的中点，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵点O是的中点，∴，在中，，∴的最大值为，故选：B．【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键．如图，在四边形中，，是直线上的任意一点，且矩形的一边始终经过点，连接，则的最大值为（

）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】本题主要考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理等知识点，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆是解题的关键．根据矩形的性质结合圆周角定理得到点的运动轨迹为以为直径的半圆，如图：取的中点，点即为圆心，连接并延长交于点，此时最大，．然后根据勾股定理及线段的和差即可解答．【详解】四边形为矩形，且其中一边始终经过点，，点的运动轨迹为以为直径的半圆，即（点除外）．如图：取的中点，点即为圆心，连接并延长交于点，此时最大，．，，．故选：C．如图，在正方形中，，点和分别为上的动点，且，以为底边在石侧构造等腰且满足，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点作于，过点作与过点作的垂线相交于点,根据中位线定理设，则，根据推出，再证明得出，，过点作于，利用勾股定理表示出的长即可得出结果，正确作出辅助线构造相似三角形，根据勾股定理得出的长是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于，过点作与过点作的垂线相交于点，则，∵，，∴为的中点，∴，而，∴，∴，，设，则,∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，，过点作于，则，∴，，∴，当时，有最小值为，故答案为：．线段，M为的中点，动点P到点M的距离是1，连接，线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最小值是．【答案】【分析】全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、平面直角坐标系的建立都是本题的考点，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．以点M为原点建立平面直角坐标系，过点C作轴，垂足为D，过点P作，垂足为E，延长交x轴于点F，然后A、B的坐标可以表示出来，再根据全等三角形的判定和性质求得点C的坐标，从而可求出的最大值．【详解】解：如图所示：以点M为原点建立平面直角坐标系，过点C作轴，垂足为D，过点P作，垂足为E，延长交x轴于点F，，O为的中点，，，设点P的坐标为，则，，，，由旋转的性质可知：，在和中，，，，，O为的中点，，，，，当时，有最小值，的最大值为．故答案为:．题型八、胡不归如图，等腰中，于，，为内一点，当最短时，在直线上有一点，连接．的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由为内一点，当最短时，得M为△ABC的费马点，以AC为边向外作正三角形ACF，据费马点的特征，直线BM和直线BF为同一条直线，由题意容易求得∠MBC=30°，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，显然；再过点C作BG的垂线，垂足为，由垂线段最短，知；因为易得BC=，又∠GBC=60°就容易求得就是的最小值．【详解】解：如下图以AC为边向外作正三角形ACF，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，过点C作BG的垂线，垂足为由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE=∴下面计算∵AB=AC=2且∴；∵为内一点，当最短时∴M为△ABC的费马点由费马点的特点知BM与BF为同一条直线∵正三角形ACF∴∠CAF=60°又∴∠BAF=150°又AB=AC=AF∴∠ABF=15°又∠ABC=45°∴∠FBC=30°∴∠GBC=60°在RT△中∴的最小值为．故选：D．【点睛】此题是几何最值问题——费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质．如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作平分，交于，连接、、，过点作于，根据切线的性质和三角形内角和定理可得，求得，根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，求得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据菱形的判定和性质可得平分，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据特殊角的锐角三角函数可求得，推得，根据垂线段最短可得，当、、三点共线时，的值最小，即时，的值最小，根据特殊角的锐角三角函数可求得，即可求解．【详解】解：作的角平分线，交于，连接、、，过点作于，如图：

∵，∴，又∵，∴，∴，∵平分，则，∵，，∴，即，又∵，，∴，∴，即圆的半径为，∵，，∴、是等边三角形，∴，∴四边形是菱形，∴平分，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．若使的值最小，即的值最小，当、、三点共线时，，此时的值最小，即时，的值最小，此时，，，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当、、三点共线时，的值最小，即的值最小．已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为．【答案】8【分析】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及等腰三角形性质、勾股定理、正弦三角函数值定义、等面积法求线段长等知识，过点作，如图所示，由等腰三角形性质结合勾股定理求出及，在中，求出，从而得到当三点共线，且时，有最小值为，利用三角形等面积列方程求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-胡不归问题的解法是解决问题的关键．【详解】解：过点作，如图所示：在等腰中，是边上的高，在中，，，则，由勾股定理可得，，在中，，则，，如图所示，当三点共线，且时，有最小值，为，由等面积可知，则，故答案为：8．如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为．【答案】【分析】取中点，中点，，在的外侧作，的长度即为所求，本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将进行转化．【详解】解：取中点，中点，作，使，作，交延长线于点，点是中点，点是中点，，，，，又等边三角形，，，又，，，，当点在线段上时取最小值，长度为线段的长，，，，，，，故答案为：．题型九、斜中定值最值如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间线段最短，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值．【详解】解：如图，连接、，，，，，，点、分别是、的中点，，，当、、在同一直线上时，取最小值，的最小值为：．故选：A．如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（

）

A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形三边关系等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形三边关系求线段差的最大值是解题的关键．如图，连接，由勾股定理得，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，，分当三点不共线时，当三点共线时，两种情况讨论，可得，然后判断作答即可．【详解】解：如图，连接，

由勾股定理得，，∵点、分别是、的中点，∴，，当三点不共线时，，即，当三点共线时，，即，综上所述，，∴的最小值为2，故选：A．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为．【答案】6【分析】本题考查了轴对称―最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．以为边作等边三角形，连接，过点作于，由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即可求解．【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，点的坐标为，点为的中点，是等边三角形，，，，，在和中，，当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值，的最小值为，∴的最小值为，故答案为：．如图，长方形两边长，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是．

【答案】/【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出过的中点时值最大是解题的关键．取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点E时最大．【详解】解：如图：取线段的中点E，连接，

∵，点E是的中点，，∴，∵四边形是长方形，∴，，∴，∵，∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大．∴点D到点O的最大距离，故答案为：．题型十、面积最值如图，已知等腰直角三角形纸板中，．现要从中剪出一个尽可能大的正方形，则能剪出的最大正方形的面积是（

）A． B． C．25 D．50【答案】C【分析】本题主要考查图形的拼接，涉及正方形的性质和等腰直角三角形的性质，根据题意要求从一张等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形是以两直角边、斜边中点和直角顶点为正方形四个顶点，设正方形的边长是a，则，且，求解即可．【详解】解：假设能剪出的最大正方形为，如图，则，，设正方形为的边长为a，∵，∴，则，即，解得，∴能剪出的最大正方形的面积25．故选：C．如图，在中，，，，点是上一动点（D与点不重合），连接，作关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、勾股定理，根据轴对称性质和勾股定理得，，当时，点A到的距离最小，则E到的距离最大，此时面积的最大，如图，过A作于H，先根据三角形的等面积求得，进而求得即可求解．【详解】解：连接，

∵关于直线的对称点，，∴，在中，，，，∴，∵点在的下方，∴当时，点A到的距离最小，则E到的距离最大，此时面积的最大，如图，过A作于H，∵，∴，∴，∴面积的最大值为，故选：B．如图，在矩形中，，，为矩形的对角线的交点，以为圆心，半径为1作，为上的一个动点，连接、，则面积的最大值为．

【答案】【分析】当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，由于过点的直线是的切线，得出垂直于切线，延长交于，则，进而得出，根据勾股定理先求得的长，易得的长，利用面积法解得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求得答案．【详解】解：当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，如下图，

∵过点的直线是的切线，∴垂直于切线，延长交于，则，∵四边形为矩形，，，，，，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴的最大面积．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，判断出点处于什么位置时面积最大是解题关键．如图，在中，，，，为边上一动点（点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为．【答案】6【分析】本题考查了二次函数的最值问题，勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，配方法等知识点．过点A作于点M，过点E作的延长线于点H，过点B作的延长线于点G，先根据等腰三角形三线合一求出的长，再证得，求出的长，再证和全等，得出，最后根据三角形面积公式计算，配方成二次函数顶点式，从而得出面积的最大值．【详解】解：过点A作于点M，过点E作的延长线于点H，过点B作的延长线于点G，由题可得，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，设，则，∵四边形为正方形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴当时，的面积有最大值是，故答案为：6．题型十一、费马点如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（

）A． B．36 C． D．【答案】A【分析】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值．【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴，∵等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线时最小，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线．如图，菱形ABCD中∠ABC＝60°，ΔABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的个数是（

）①△AMB≌△ENB；②若菱形ABCD的边长为2，则AM＋CM的最小值2；③连接AN，则AN⊥BE；④当AM＋BM＋CM的最小值为时，菱形ABCD的面积也为．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根据菱形的性质，运用“SAS”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线BD对称，可知AM+CM最小为AC长；③先假设AN⊥BE，而后逆推即可判断；④根据图形特征得出当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC，交CB的延长线于F，在Rt△EFC中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④．【详解】解①∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故①正确；②连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=CO．∴点A和点C关于直线BD对称，∴当M点与O点重合时，AM+CM的值最小为AC的值．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=2．即AM+CM的值最小为2，故②正确；③假设AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分线，∴EN=BN=BM=MA，∴M点与O点重合，∵条件没有确定M点与O点重合，故③错误；④如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°﹣120°=60°，设菱形的边长为x，∴BF=，EF=，在Rt△EFC中，∵，∴，解得x=4，，∴菱形的面积为，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键．如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接、、，则的最小值为．【答案】/【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接、，根据旋转的性质有：，，，即可得为等边三角形，同理为等边三角形，则有，，进而有，当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，过点作于点E，交于点F，即最小值为：，问题随之得解．【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，根据旋转的性质有：，，，∴为等边三角形，同理为等边三角形，∴，，∴∴当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F，，即最小值为：，在矩形中，于点E，即可知四边形是矩形，，即，∵为等边三角形，，∴，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定性质与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP＋BP＋CP的最小值为4，则BC的长度为．【答案】【分析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG，