长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构-教师研修

小学数学图形与几何

话题一

吴正宪（北京教育科学研究院）

王彦伟（北京东城区教师研修中心）

张杰（北京东城区教育研修学院）

2011版课标终于要公布了，新课标修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”

这个领域的变化。

新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有空间观念、儿何直观、推理能力

等o

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际

物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述

画出图形等。

更直观的理解如下图：

物体特征几何图为

想象

几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题,

变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。

案例：《打电话》

如果你是老师，有件紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知1人,

给你3分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一下。

下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描

述打电话来通知这件事情，设计方案。

通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本

身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两

倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。

通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示

得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。

推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人

们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从己

有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事

实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按

照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情

推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

通过对一线教师的访谈，查阅资料，把老师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。

讨论话题：

1.如何在观察、操作中“认识图形”抽象出图形特征，发展空间观念？

2.如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及

其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测？从而发展学生

的空间观念与推理能力？

3.如何通过“图形的运动”探索发现，体会研究图形性质的不同方法，发展学生几何

直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣？

4.如何通过学习“确定图形位置”的方法，发展学生的空间观念和推理能力？

话题一、图形的认识——抽象图形特征，发展空间观念

问题一、新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？

这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容？有什么新的变化?

课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比：

修订前修订后

第(1)通过实物和模型辨1.能通过实物和模型辨

认长方体、正方体、圆柱和球认长方体、正方体、圆柱和球等

学等立体图形。几何体。

段(2)辨认从正面、侧面、2.能根据具体事物、照片

上面观察到的简单物体的形或直观图辨认从不同角度观察

状。[参见例1]到的简单物体(参见例11)。

(3)辨认长方形、正方形、3.能辨认长方形、正方

三角形、平行四边形、圆等简形、三角形、平行四边形、圆等

单图形。简单图形。

(4)通过观察、操作，能4.通过观察、操作，初

用自己的语言描述长方形、正步认识长方形、正方形的特征。

方形的特征。5.会用长方形、正方形、

(5)会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

三角形、平行四边形或圆拼图。6.结合生活情境认识角，

(6)结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。

会辨认直角、锐角和钝角。7.能对简单几何体和图

(7)能对简单几何体和图形形进行分类(参见例20)。

进行分类。

第(1)了解两点确定一1.结合实例了解线段、

条直线和两条相交直线确定一射线和直线。

学个点。2.体会两点间所有连线中

段(2)能区分直线、线段和线段最短，知道两点间的距离。

射线。3.知道平角与周角，了解

(3)体会两点间所有连线中周角、平角、钝角、直角、锐角

线段最短，知道两点间的距离。之间的大小关系。

(4)知道周角、平角的概念4.结合生活情境了解平面

及周角、平角、钝角、直角、上两条直线的平行和相交(包括

锐角之间的大小关系。垂直)关系。

(5)结合生活情境了解平面5.通过观察、操作，认识

上两条直线的平行和相交(包平行四边形、梯形和圆，知道

括垂直)关系。扇形，会用圆规画圆。

(6)通过观察、操作，认识6.认识三角形，通过观察、

平行四边形、梯形和圆，会用操作，了解三角形两边之和大于

圆规画圆。第三边、三角形内角和是

（7）认识三角形，通过观察、180°。

操作，了解三角形两边之和大7.认识等腰三角形、等边

于第三边、三角形内角和是三角形、直角三角形、锐角三角

180°。形、钝角三角形。

（8）认识等腰三角形、等边8.能辨认从不同方向（前

三角形、直角三角形、锐角三面、侧面、上面）看到的物体的

角形、钝角三角形。形状图（参见例32）。

（9）通过观察、操作，认识9.通过观察、操作，认识

长方体、正方体、圆柱和圆锥，长方体、正方体、圆柱和圆锥,

认识长方体、正方体和圆柱的认识长方体、正方体和圆柱的展

展开图。开图。

（10）能辨认从不同方位看

到的物体的形状和相对位置。

[参见例1]

从这个表中可以看到，课表修订前后在图形的认识部分只有一些细小的变化，图形与

几何这一模块原称空间与图形，变“空间与图形”为“图形与几何”；重提几何直观、推理

能力、运算能力、逻辑思维能力，用词更加规范，体现了课标的严肃。

<标准>的”图形与几何”第一、二学段仍分为四部分，具体表示有所变动，（1）

图形的认识，（2）测量，（3）图形的运动（修改稿：图形与变换），（4）图形与

位置。图形的运动”强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。运动也是一种基本

的数学思想。第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线”和“两条直线确定一个点”。

“图形与几何”领域，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，强调空间和图形知

识的现实背景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。新《标准》突出用观察、描述、

制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动，发展学生的空间观念和图形设

计与推理（合情推理与演绎推理）的能力。

新《标准》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。扇形的认识，《大纲》（修订版）

教材作为选学内容，《数学课程标准》中没有认识扇形的要求。

认识扇形在《课标修改稿》中确实没有做要求，但在“统计与概率”部分却明确

提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性，以及

学生认识扇形统计图的需要，《课标修订稿》在认识圆的基础上，增加了初步认识扇形。

简单说对图形认识的要求主要包括两个方面：

一是对图形自身特征的认识。

二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。

在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到

“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。例如，对于长方体、正方体、

圆柱和球等几何体，第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要

求了解其中一些几何体的侧面展开图。

又如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；

第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”»

再如，三角形内角和的例子：

关于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角

度观察到的简单物体”；第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到

的物体的形状图”；第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、

俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”。

这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐

渐深入、循序渐进.

对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之

间关系的认识。第一学段的“了解直角、锐角和钝角”；第二学段的“体会两点间所

有连线中线段最短”：“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系"；“了

解三角形两边之和大于第三边”；第三学段的“会比较线段的长短”，“能比较

角的大小”等，都是对图形大小关系的研究。

点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置

关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图形

与图形之间的位置关系。

图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图形的形状、

大小关系；图形的相似研究的是图形的形状之间的关系；而图形的位似则还涉及到了图形的

位置关系。

在儿童的不同学段上，形象思维的发展是有层次的，荷兰范・希尔夫妇对学生几何思

维水平的研究说明了从直观辨认到探索特征是儿童的对图形的形象思维规律。他们将学生的

图形认知水平主要分为五级：水平1：直观化；水平2：描述/分析；水平3：抽象/

关联；水平4：演绎/形式化推理；水平5：严密/元数学。一二三水平在小学体现，

四五水平是在中学体现的。这和我们课标的要求也是一致。

图形认识的教学先明确两点：

一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前后继知识各是什么；

二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过你的教学达到什么阶段。

问题二、小学阶段对于“图形的认识”这一内容，教材是遵循怎样一个编排体系

的？

第一，现在的教材，在图形的认识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。从历

史发展过程上看，实际上我们中国小学的传统教材，最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲

的。到了上个世纪90年代以后，义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后再讲平面，然

后又回到立体。为什么当时要改？因为当时很多老师都反映，高年级孩子，对几何立体图形，

本身的识图的能力比较低，认识起来比较困难。这部分是个难点，分阶段安排可以分散难点。

第二，实际上一个人是生活在三维空间当中，一个婴儿从出生落地，他所有接触的东

西，看到的东西，实际上都是体，他的奶瓶，他玩的积木都是体，住的大大楼里，所有东西

都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体，因此所有的几何体，都具有直观的实物

的模型的。那在这种情况之下，低年级孩子，刚开始初步的认识立体图形是有可能的。

所以一是有必要，二是有可能，再加上儿童的空间观念的形成，必然是有一个长期的

反复的积累的过程，不能一次到位。所以当时的义务大纲就打破了传统的一步到位，先讲立

体图形，要求直观认识，然后中间一段是平面图形，最后再讲立体图形。现在教材也一样，

先讲立体，后讲平面，再回到立体，但这两次讲立体层次不同，第一次要求辨认，到第二学

段要求是认识。也就是现在教材是“体一形一体”的混合螺旋编排结构

问题三、怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？

第一、通过对实物的观察与操作认识图形

第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、“通

过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；第二学段要求“结合实例了解线段、

射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”

等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面

图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，

也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，

发展积极的情感与态度。

人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球…都给我们以长

方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形

开始，”通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。“辨认”是

认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。

0

从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆

等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形

与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。

第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面

上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。射线和直线涉及到了无限的概念，与长方

体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有“直线”的实物原型，这就需要学

生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有“线段”的实物原型0

类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物

原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，

但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于

学生发展抽象能力和空间观念。

第二、基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念

新教材内容编排上增加了“视图和投影、展开与折叠”等内容。

木

八，、

视图和投影，过去小学没有，现在小学数学几何和图形当中，增加了观察物体，这部

分在课标上有两个要求。

第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体

的形状，这是辨认。很多教材里面是这样，有的是拿个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子

们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。

第二个学段的要求能辨认从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同

方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的

一个投影，也就是拍照。

例如

例：搭一塔，看一看，找出从前面，锄面、上面看

到，形状。

B

)

拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空

间的一个转化的过程，这是过去小学没有的，现在有了，这两个阶段的目标要达到，就为第

三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。

“折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体的展开图。但是这个

做法现在要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过

程本有什么实际意义呢？这是让孩子们认识到,立体图形的结构和展开图之间的这种对应关

系。怎么让他来认识这个对应关系呢？

例如，”正方体展开图”课例。

通过课例可以看到，孩子可以折一折，通过操作找到结果；也可以不折，先想一想，

我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。

让学生操作的时候，它不是一个简单的操作，首先得想象一下，可能会是什么样子，

然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包

括把这个过程表现出来，是非常重要的。

让学生的这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，我们讲三维和两维之间的这

样一种关系，就是你讲的对应关系，是经历了下面过程。

□杰:折叠与展开促进学生的空间想象能力二

□翁一次转换：

•:•弟二次转换:

一z

•:•第三次思考：探索正方体展开图的规律

“认识长方体、正方体和圆柱的展开图”，体现了三维图形与二维图形之间相互转

换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应

注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类

型的做法是不可取的。

认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观

念教学中应当予以充分的重视。

话题二、图形的测量一一渗透度量意识，掌握测量方法

一、如何以“图形的测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，

渗透度量意识。

（一）使学生体会建立统一度量单位的重要性

在教学长度单位的认识时，经常有老师问为什么要讲统一单位？原来的教学中学生就

是直接认识长度单位，学习度量单位有什么价值？下面以人教版教材为例谈一谈：二年级学

生第一次学习长度单位，教材呈现的例1,并没有上来就认识厘米，而是创设了一个活动

的情境：让学生测量数学书封面，有的学生用两个硬币或者两个三角形，两个曲别针进行测

量。这个活动使学生感受用不同的测量工具，测量出不同的物体长度。然后例2是开始学

习厘米的认识。

《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体

会建立统一度量单位的重要性。”这种要求对面积、体积的单位也同样适用。

度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一

般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提

供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交流的过程中发现发现不同的

方法，不同单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。

例如，海淀区中关村三小鲍海影老师执教的《厘米的认识》一课，学生在活动中充

分体会了统一度量单位的重要性。

鲍老师创设了一个情境，先鼓励学生采用不同的办法去测量相同的长度，有的学生用

手量，有的用自己的铅笔量，还有可能用自己桌上的橡皮去量，由于采用了不同的测量工具,

所得的结论，当然是不同的了。比如说，有的同学测量的是三扎长，有的同学可能测量的是

五根铅笔这么长，还有的同学测量的是15块橡皮那么长。

学生通过交流发现，当同学们你说你的结果，我说我的结果，彼此间就无法交流。通

过这个活动让学生深刻地体会到度量单位需要统一，否则它会给生活带来不便。这时，学

生有一个共同的心里需求，即要使测量结果让大家都接受,就必须要有一个公认的标准单位。

学生产生了这种需求，然后再来学习长度单位。

建立标准度量单位，有助于学生从知识本身的逻辑体系出发，对建立标准单位的意义

有客观地认识。教材这样编排，不仅突出了统一单位的重要性，也体现了一种数学的文化内

涵，揭示了度量单位是怎么发生发展，又是怎么推动社会的前进的。

《2011版数学课程标准》特别强调，要结合生活实际，经历用不同方式，测量物体

长度的过程，让学生去体会建立统一度量单位的重要性。所以教师在教学实践中，应该坚持

把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好，让学生经历完整“度量单位”的从

形成到产生的过程。由此看来，关于让学生体会建立统一的度量单位的重要性，不仅要在

长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受。

(-)使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟

《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知

道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。进行单位之间的换算，

不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到

了对单位的理解。长度(类似的，面积、体积)

单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的

实际意义。

例如，生活中哪些物体的长度大约为1米，1厘米的长度可以用什么熟悉的

物体来估计，哪些物体的重量大约是1千克，哪些物体的体积大约是1立方米等。

对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。关于对

度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，比如，一个成人的身高为175（）,

应当选择cm而不是mm作为单位，这是对认识长度单位地深化理解。

再如“北京到南京的铁路长约1000（）”，引导学生学会选择合适的度量单位；要

用实物感知度量单位的大小，如“一米约相当于（）根铅笔长”，强化学生对度量单位

地感知；还应关注不同维度度量单位之间的联系，例如，理解1平方分米=100平方厘米,

可以借助图形（10X10的方格，每个方格为1平方厘米），也可以借助等式1平方分

米=1分米X1分米=10厘米X10厘米=100平方厘米，避免学生死记硬背单位之间

的换算关系。

总之，在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量测量是从人类

的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的应用。在明确实际测量的对

象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能否方便、可操作地进行、影响着

测量结果的准确程度。比如，用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长

度就不是上策了…学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经

验。

二、如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积

累数学活动经验，培养学生的空间观念。

关于规则图形的度量公式，《标准》要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式；探

索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解决简单的实

际问题；探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能

解决简单的实际问题。

《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、

会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这

样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过

程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想（如微积分的思想）。

同时，课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，

也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知

识和方法在更高层次上的抽象与概括。

那么，在教学图形测量这部分内容时，如何渗透数学思想呢？下面结合一些具体案例

来阐述。

1.以图形测量公式推导为载体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、“极限”、

“函数”和“积分”的数学思想。

在直边图形公式的推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转

化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出计算公式，在这个过

程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。

=ax

2X7力=axh+2]

A句=(a+b)xh+Z

圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，是学生第一次了解“这个

无理数，是学生第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的长度和圆形的面积等

问题，因此对圆的周长以及面积的探索具有一定的挑战性，这个过程的学习有助于学生提高

分析问题、解决问题的能力，获得基本的数学活动经验，体会"转化"、“极限”和“函

数”的思想。

案例1:圆的周长公式的推导

化曲为直--------转化思想

你有办法测量圆他的周长吗？小用发纸板剪一个用鼠一试.

我是这样土

周长的：■片向

右波动一周.*

它的长度.MHffinMi

这是我的办法：fflftft

・片一同.量它的长度.

liiniHi；iiiiiiiiiiiiiiiiiiHiill<iiiiiiiiniiiniqiiil|iiiip

还有其他方法吗?

我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了，那么我们又该怎样研究周长与直

径的关系呢？

老师给每组同学准备了不同的实物：有圆纸片、纸杯或硬币。

拿出来，就你们小组的实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要的数据（尤其是周长

的数据）？（讨论）为什么要绕线？为什么要滚动？（化曲为直）

活动二：在圆的周长教学中，向学生介绍“割圆术”，让学生经历正多边形到圆

的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。

然后又化曲为直：割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而

无所失矣。

在测量圆的周长和直径填写数据的过程中，感受直径变，圆的大小变，周长也随之变

化，而它们的倍数关系不变，从而让学生体会到函数思想。

通过课件形象直观的演示周长和直径的关系，体会函数思想。

案例2:圆的面积公式的推导

圆面积的探究活动

活动设计：学生利用手中学具，独立探究，小组合作，探索圆面积的计算方法。

核心问题：给学生提供几张圆形的纸片，小组合作探究，如何计算圆的面积？

这一活动的设计，给了学生充分的探究空间。通过对学生情况的把握，以及学生所经

历的前面一系列认识和周长的教学活动，可以充分相信学生有自主探究的能力。通过圆面

积的探究活动，使学生在亲身经历中体会转化的研究方法和极限的重要数学思想。

圆转化成学过的图形--------转化思想（课件演示）

新图形神或旧图形

都导

通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程

中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归

纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感

悟数学思想。同时在度量图形的过程中组织学生进行大量的操作性活动，有利于学生积累基

本的数学活动经验。

掌握规则图形的周长、面积和体积公式，仍然是图形测量内容的重要方面，以往我们

的教学将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。

实际上，对于规则图形周长、面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生灵活运用多种

策略和方法解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，发展空间观

念也是大有好处的•

学生在操作活动中，经历探索从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，在体验解

决问题方法多样性的过程中创新意识也得到发展。

三、如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多

样性。

估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一

种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。

估测与精确测量之间有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法

来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握、对图形度量知识的掌握,

以及需要具有一定的空间观念。

估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准》要求“能估测一些物体的长度，

并进行测量”，并给出具体的实践任务“测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果

估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积”。这样，把测量与面积计算有

机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。

《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、

会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等。

教材在学生积累了足够的实际测量经验后，为学生提供了先估测再实测的练习，让学

生比较估测与实际测量所得结果的差别，从而修正自己的估测策略。

案例：测量不规则图形的面积

图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。

如图一：

（图一）

教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整

格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来，用此方法估计不规则

图形的面积。这是我们常用的方法。但是这种估算不规则图形面积的方法并没能体现估算的

价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。充分体现该题的数学教育价值。

教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。

例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，再进行思考“你认为曲线所围成的面积结果

可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师可以引导学生试

一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线

围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格

数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；

然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这

个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法

估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。由

此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。

如图二：

（图二）

在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的

探究过程，体会估算的意义和方法。

教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”

对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的

方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值，同时巧妙地渗透极限思想。

如图三：

（图三）

以往我们在教授“数方格”时，没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个

操作技能一一数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。上面“寻找区间”的设计则注

重了学生估算意识和方法的培养，特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算

的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做

好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮

助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意

义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方

格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有

意义的。

最后回顾一下“图形的测量”中的几个核心理念：

1.使学生体会建立统一度量单位的重要性；

2.使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟：

3.在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量；

4.重视估测及其简单应用；

5.帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活

动经验，培养空间观念。

话题三、图形的运动——体会研究方法，增加直观能力

一、为什么要在小学阶段增加“图形的运动”这个内容？

《2011版数学课程标准》在“图形与几何”领域仍然增加了“平移，旋转，放大与

缩小这些内容”，只是把“图形与变换”改为“图形的运动”。为什么仍然保留这个内容，

学习它的价值是什么？

运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓图形的运动，在义务教育

数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；

二是形状不变而大小变化（相似运动）。

1.从学生角度来看

现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如，电梯、

地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许多年画、卡通动物、

建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我

们希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。通过图形的运动探索发现并确

认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性

质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。

2.从数学发展的角度来看

1872年，德国大数学家克莱茵发表“爱尔兰根纲领”的演说，这个里程碑式的论断,

改变了近两千年来人们用静止的观点研究儿何的传统方法。与静态地研究图形与几何的性质

不同，图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与儿何的性质，欣赏与设计图案。

是发展学生空间观念和思维能力的重要内容。

二、第一、二学段关于“图形的运动”相关知识内容有哪些？教学目标分别是什么？

按照《标准》的要求，小学「6年级图形的运动主要涉及平移、旋转、对称及简单的

图形相似这样一些内容。在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动，包括图形的平移、

旋转和轴对称。

第一学段中，学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了解平移、旋

转和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。提供大量的丰富的图形运动现象,

引导学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累的有关经验，归纳、发现各种运动的

特点，是达成这个课程目标的有效途径。

《2011版数学课程标准》提倡我们组织学生分组收集日常生活中常见的图形(如案

例21)一一生活中的轴对称图形。

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引导学生观察它们是否有对称轴，若有对称轴，数出或说出有几条对称轴。尝试画出

它们的对称轴。在课堂中展示交流大家的发现，并尝试设计出一些轴对称图形。

这个活动可以鼓励学生主动观察，设法收集(如可以使用数码相机或现场素描等)。

学生可以结合自己的生活环境发现、找到他们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴，并在交流过

程中丰富自己的经验。在交流大家收集到的图形的基础上，教师进一步鼓励学生自己设计轴

对称图形，并交流自己图形所表达的意思。

第二学段中，图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面：

(1)按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形，会补全一个轴

对称图形。

图形的运动对小学生的认识来说，是比较抽象的，有一定难度。如果把抽象的空间意

识转化为具体的、容易操作的教与学的过程，方格纸起到很好的作用。在第一、二学段，

方格纸是学生认识图形运动很好的平台，利用它可以准确地描述图形位置、定量刻画

图形的运动，这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解。

《标准》只要求图形沿水平或竖直方向平移、图形绕着一点旋转90°。如，“在

方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方

格纸上将简单图形旋转90”。《标准》不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角

度。方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好地使学生认识和描述空间

图形的变换过程，可以有效地促进学生对空间概念的建立。这也就回答了老师们的问题在“图

形与几何”学习中方格纸的作用。

(2)研究图形的相似运动，即将图形放大或缩小。

第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”，这里的“放大与

缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而

大小的不同。这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。

(3)综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计。

学生对图形运动特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后图形，这些知识技能

和经验是图案的欣赏和设计的基础。图案的欣赏与设计，为学生用数学的眼光看世界、看生

活提供了机会，也可以进一步感受数学的美、数学的价值。

欣赏或设计一个图案时，不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的想象，只

要是合理的都应予以肯定，并进行交流与分享；但应要求学生用自己的语言表达图案中的图

形运动关系，从而更好地体会图形的运动在图案欣赏和设计中的作用。

课标中有这样的案例：

例35图画还原。

打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原并利用平移和旋转记录还

原步骤。

在这个案例中，学生通过实际操作进一步理解平移和旋转，不仅能增加问题的趣味性,

还可以让孩子们感悟几何运动也是可以记录的，体验选取最佳方案的过程。

教学设计时，可关注如下要点：

(1)完成还原积木的任务一定要从简单到复杂，如图，先打乱四块积木中的下面两

块，让学生尝试思考的过程。学生有了一定经验后，可以打乱三块或四块积木，让学生继续

尝试。

(2)可以分小组进行。为了记录准确，事先要确定每一个步骤的代表符号。

(3)小组活动时，可以先讨论，确定一个大概的还原路线，然后操作验证。

(4)小组成员共同操作，进行比较，验证确定的路线。

课标修订前后具体目标有一些具体的变化

修改前修改后

第一学1.结合实例，感受平1.结合实例，感受平移、旋转、

段移、旋转、对称现象。轴对称现象。

2.能在方格纸上画出2.能辨认简单图形平移后的

一个简单图形沿水平方向、图形。

竖直方向平移后的图形。

3.通过观察、操作，初步认识

3.通过观察、操作，轴对称图形。

初步认识轴对称图形。并

能在方格纸上画出简单图

形的轴对称图形。

第二学1.用折纸等方法确定1.通过观察、操作等活动，进

段轴对称图形的对称轴，能在一步认识轴对称图形及其对称轴，能

方格纸上画出一个简单的在方格纸上画出轴对称图形的对称

轴对称图形。轴；能在方格纸上补全一个简单的

轴对称图形。

2.能利用方格纸按一

定比例将简单图形放大或2.通过观察、操作等，在方格

缩小，体会图形的相似。纸上认识图形的平移与旋转,能在方

格纸上按水平或垂直方向将简单图

3.通过观察实例，认形平移，会在方格纸上将简单图形旋

识图形的平移与旋转，能在

转90°。

方格纸上将简单图形平移

或旋转旋转903.能利用方格纸按一定比例将

简单图形放大或缩小。

4.欣赏生活中的图

案，灵活运用平移、对称和4.能从平移、旋转和轴对称的

旋转在方格纸上设计图案。角度欣赏生活中的图案，并运用它们

在方格纸上设计简单的图案。

总体上看：修改后的课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，积累学生数学

活动经验。过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，教学中应当予以充分

的重视。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们

的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值，应当认真落实《标准》的这些要求。

三、”图形的运动”内容常用的教学策略有哪些？

策略一：结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动

新课标要求课程内容要反映社会的需要，数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。

课程内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要

具体形象思维与生活经验给与支撑，对感知图形运动这样抽象概念来说尤其重要。小学阶段

关于图形的图形的运动定位在积累感性体验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条

相当重要的教学策略。

在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平移、旋转

变换同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，多收集一些这样的素材，通过学生的

观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。

例如，教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材，注意融入了像道闸，车轮，钟

摆等素材并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在教学“轴对称变换

时”，借助一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材。

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■■因雷靠

这样做，一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣，另一方面使学生进一步体会到

数学与生活的密切联系，发展学生的概括能力。

策略二：借助操作活动，加深对图形运动的认识，帮助学生体会变换的特征

加强学生操作活动，也是提高图形变换教学成效的一个策略。操作是一种

重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经某变换后的图形和剪对称

图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力。

老师们在资源中观看了《图形的旋转》一课，在教学“线的旋转”环节让学生通过用

铅笔表示线段在桌面方格中以三种不同的旋转中心（铅笔尖、铅笔尾与铅笔中点）进行旋转。

来感悟旋转中心可以是线段上的任意一点。为后面在方格纸上画线段提供实物支撑。

策略三：注重从变换的角度，引导学生欣赏图形、设计图案

学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实

世

界。因此，教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形，设计图案。例如,

在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，可以发现其中

包含的熟悉的图形;可以运用数学的眼光分析图案的组成，例如是否运用了变

换；可以欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明

美；可以以此为启发，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案。

《2011版数学课程标准》中要求：能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形

等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称

图形，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；以及运用图形的轴对称、旋转、平移

进行图案设计。

这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的

学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值，应当认真落实《标准》的这些要求。

《图形旋转一课》“感悟旋转的应用”环节中，教师借助信息技术，动态呈现一些基

本图形旋转后形成的美丽图形和图案，鼓励学生从变换的角度欣赏图形与图案，感受其中蕴

涵的对称美、和谐美、简明美。并能从不同角度观察图形，识别不同的基本图形发生了怎

样的变换之后，形成了同一个图形，激发学生的创造性思维，为后面学习灵活应用对称、平

移和旋转自己设计、制作图案做了孕伏。

策略四：在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系，发展空间想象力和

解决问题的能力

1.从变换角度认识图形

在认识图形的教学过程中，可以借助变换，动态直观的刻画图形的属性。例如：长方

形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、正方体、圆锥等图形，在认识他

们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换，清晰直观地发现图形隐含着的特点。

2.从变换的角度理解度量

小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中，时刻都能感受到

变换的重要作用。三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中，会用到拼凑、

割补等多种推导的方法，这些方法的实质是图形的变换。

总之，小学阶段有关图形的运动的目标的达成是一个循序渐进的过程，教师在课堂教

学中应该注重多种策略的运用，并以图形的运动教学为载体，培养学生的几何直观，发展空

间观念。

话题四、图形的位置一一发展空间观念，提高推理能力

“图形与位置”教学中的主要问题，主要分为三个层面：

教学内容层面：第一、二学段的数