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文档简介

山东省济南市高中名校2023-2024学年高考仿真模拟数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列中,则()A.10 B.16 C.20 D.242.正项等比数列中,,且与的等差中项为4,则的公比是()A.1 B.2 C. D.3.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.4.已知,则下列说法中正确的是()A.是假命题 B.是真命题C.是真命题 D.是假命题5.如图,棱长为的正方体中,为线段的中点,分别为线段和棱上任意一点,则的最小值为()A. B. C. D.6.已知关于的方程在区间上有两个根,,且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.8.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,,则()A. B.C. D.9.若复数是纯虚数,则()A.3 B.5 C. D.10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.11.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.函数在区间上的大致图象如图所示,则可能是()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则____.14.函数的极大值为______.15.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为_______.16.若函数为偶函数,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设为坐标原点,动点在椭圆:上,该椭圆的左顶点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆外一点满足,平行于轴,,动点在直线上,满足.设过点且垂直的直线,试问直线是否过定点?若过定点,请写出该定点,若不过定点请说明理由.18.(12分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中,众多群众在脸上贴着一颗红心,以此表达对祖国的热爱之情,在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线,如图,在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为(),M为该曲线上的任意一点.(1)当时,求M点的极坐标;(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N,求的最大值.19.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.20.(12分)已知的图象在处的切线方程为.(1)求常数的值;(2)若方程在区间上有两个不同的实根,求实数的值.21.(12分)已知等差数列{an}的各项均为正数,Sn为等差数列{an}的前n项和,.(1)求数列{an}的通项an;(2)设bn=an⋅3n,求数列{bn}的前n项和Tn.22.(10分)语音交互是人工智能的方向之一,现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱,它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度,从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人,具体数据如下:“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人?(2)根据列联表,能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据等差数列性质得到,再计算得到答案.【详解】已知等差数列中,故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.2、D【解析】

设等比数列的公比为q,,运用等比数列的性质和通项公式,以及等差数列的中项性质,解方程可得公比q.【详解】由题意,正项等比数列中,,可得,即,与的等差中项为4,即,设公比为q,则,则负的舍去,故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用,其中解答中熟记等比数列通项公式,合理利用等比数列的性质是解答的关键,着重考查了方程思想和运算能力,属于基础题.3、B【解析】

解:当直线过点时,最大,故选B4、D【解析】

举例判断命题p与q的真假,再由复合命题的真假判断得答案.【详解】当时,故命题为假命题;记f(x)=ex﹣x的导数为f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命题为真命题;∴是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断,考查全称命题与特称命题的真假,考查指对函数的图象与性质,是基础题.5、D【解析】

取中点,过作面,可得为等腰直角三角形,由,可得,当时,最小,由,故,即可求解.【详解】取中点,过作面,如图:则,故,而对固定的点,当时,最小.此时由面,可知为等腰直角三角形,,故.故选:D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力,属于中档题.6、C【解析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简,构造新的函数,将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题,画出函数图象,再结合,解得的取值范围.【详解】由题化简得,,作出的图象,又由易知.故选:C.【点睛】本题考查了三角恒等变换,方程的根的问题,利用数形结合法,求得范围.属于中档题.7、A【解析】

对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.8、C【解析】

根据偶函数的性质,比较即可.【详解】解:显然,所以是定义域为的偶函数,且在单调递增,所以故选:C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质,是基础题.9、C【解析】

先由已知,求出,进一步可得,再利用复数模的运算即可【详解】由z是纯虚数,得且,所以,.因此,.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算,考查学生的运算能力,是一道基础题.10、D【解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.11、D【解析】

设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.12、B【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可;【详解】解:当时,,无意义,故排除A;又,则,故排除D;对于C,当时,,所以不单调,故排除C;故选:B【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式,这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由,得出,根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简,再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数化简求值,利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式,以及运用齐次式求值,属于对公式的考查以及对计算能力的考查.14、【解析】

先求函的定义域,再对函数进行求导,再解不等式得单调区间,进而求得极值点,即可求出函数的极大值.【详解】函数,,,令得,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,当时,函数取到极大值,极大值为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意定义域优先法则的应用.15、【解析】

先根据点共线得到,从而得到O的轨迹为阿氏圆,结合三角形和三角形的面积关系可求.【详解】设B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿氏圆,其半径,故.故答案为:.【点睛】本题主要考查三角形的面积问题,把所求面积进行转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.16、【解析】

二次函数为偶函数说明一次项系数为0,求得参数,将代入表达式即可求解【详解】由为偶函数,知其一次项的系数为0,所以,,所以,故答案为:-5【点睛】本题考查由奇偶性求解参数,求函数值,属于基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析【解析】

(1)根据点到直线的距离公式可求出a的值,即可得椭圆方程;(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),根据,可得y1=2y0,由,可得2x0+2y0t=6,再根据向量的运算可得,即可证明.【详解】(1)左顶点A的坐标为(﹣a,0),∵=,∴|a﹣5|=3,解得a=2或a=8(舍去),∴椭圆C的标准方程为+y2=1,(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),则依题意可知y1≠y0,得(x0﹣2x0,y1﹣2y0)(0,y1﹣y0)=0,整理可得y1=2y0,或y1=y0(舍),,得(x0,2y0)(2﹣x0,t﹣2y0)=2,整理可得2x0+2y0t=x02+4y02+2=6,由(1)可得F(,0),∴=(﹣x0,﹣2y0),∴•=(﹣x0,﹣2y0)(2,t)=6﹣2x0﹣2y0t=0,∴NF⊥OP,故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法,直线和椭圆的关系,向量的运算,考查了运算求解能力和转化与化归能力,属于中档题.18、(1)点M的极坐标为或(2)【解析】

(1)令,由此求得的值,进而求得点的极坐标.(2)设出两点的极坐标,利用勾股定理求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设点M在极坐标系中的坐标,由,得,∵∴或,所以点M的极坐标为或(2)由题意可设,.由,得,.故时,的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标的求法,考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法,属于中档题.19、(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函数值域.【详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,则,,,若①③成立,则,,不合题意,若②③成立,则,,与③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由题意得,,所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20、(1);(2)或.【解析】

(1)求出,由,建立方程求解,即可求出结论;(2)根据函数的单调区间,极值,做出函数在的图象,即可求解.【详解】(1),由题意知,解得(舍去)或.(2)当时,故方程有根,根为或,+0-0+极大值极小值由表可见,当时,有极小值0.由上表可知的减函数区间为,递增区间为,.因为,.由数形结合可得或.【点睛】本题考查导数的几何意义,应用函数的图象是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.21、(1).(2)【解析】

(1)先设等差数列{an}的公差为d(d>0),然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程,解出d的值,即可得到数列{an}的通项an;(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式,然后运用错位相减法计算前n项和Tn.【详解】(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d(d>0),则a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,整理,得12d2+7d﹣10=0,解得d(舍去),或d,∴an=1(n﹣1),n∈N*.(2)由(1)知,bn=an⋅3n•3n=(2n+1)•3n﹣1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)•3n﹣1,∴3Tn=3×31+5×32+…+

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