2020-2021学年延安市富县九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年延安市富县九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1,关于x的一元二次方程（加-2）/++附之-4=0的一根为0,则物的值是（）

A.±1B.±2C.-1D.-2

2.在正方形、等腰三角形、矩形、菱形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.方程5y2一3=必+3的实数根的个数是（：）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.下列事件中不是随机事件的是（）

A.从一个装有蓝球、白球的不透明的袋子里摸出一个球，摸出的球是白球

B.小红经过十字路口恰好遇到红灯

C.从班里选择一个同学参加学校座谈会，选到的是女生

D.将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上

5.点M（3,-2）关于y轴对称的点的坐标为（）

A.（—3,2）B.（-3,-2）C.（3,—2）D,（2,—3）

6.下列说法正确的是（）

A.“买10张中奖率为卷的奖券必中奖”是必然事件

B.“汽车累计行驶10000km,从未出现故障”是不可能事件

C.天气预报说“明天下雪的概率为80%”，但“明天下雪”仍是随机事件

D.射击奥运冠军射击一次，命中靶心是必然事件

7.在平面直角坐标系中，将抛物线37=-/+（>1-1〃+机绕原点旋转180。，在旋转后的抛物线

上，当％>4时，y随工的增大而增大，则TH的范围是（）

A.m>—7B.m>—7C.m<—7D.m<—7

8.如图，。。的半径为1,△ABC是。。的内接三角形，乙4=60。，点。、

E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）E

A.2

B.V3

D.逅

9.如图，nZBCD中，AD!!BQ,AD=8,CD=4,Z.B=60°.若点P在

线段BC上，且AADP为直角三角形，则符合要求的点P的个数有

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.将抛物线y=3/+1绕原点。旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A.y=-|x2+1B.y=-|x2—1C.y——3x2—1D.y=-3/+i

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.若关于x的方程（6-2）/+mx—3=。是一元二次方程，则m满足的条件是

12.如图，48是O。的直径，C为圆上一点，乙4=60°,OD1BC,。为垂足，力《

且。。=10,则4B=,BC=.,V

13.如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度九（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数

关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球运动中的最大高度九谩大=米.

14.如图，已知直线力B〃CD,直线I与直线4B、CD相交于点，E、F,将I绕点E逆时针旋转40。后，

与直线2B相交于点G,若NGEC=70。，那么NGFE=__度.

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）

15.解一元二次方程：%2—x—12=0.

16.问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在AABC中，Z.ACB=90°,AC=

BC,点。为直线AB上的一动点（点。不与点4B重合）连接CD,以点C为旋转中心，将CD逆时针

旋转90。得到CE,连接BE,试探索线段AB,BD,8E之间的数量关系.

小组展示：“希望”小组展示如下：解:线段AB,BD,BE之间的数量关系是AB=BE+BD.

证明：如图①N2CB=90。，Z-DCE=90°

•••Z.ACB=Z-DCE

•••Z-ACB=Z.DCB=Z.DCE—乙DCB

即NACD=（BCE

•••CE是由CD旋转得到.

・•.CE=CD

则在△ZCO和△BCE中，

AC=BC

乙ACD=乙BCE

CD=CE

••.△"0"8。联依据1）

・•.AD=BE（依据2）

AB=AD+BD

・•.AB=BE+BD

反思与交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：______

依据2：______

（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分

类情况直接写出发现的结论：

①如图②，当点。在线段4B的延长线上时，三条点段AB,BD,BE之间的数量关系是.

②如图③，当点。在线段B4的延长线上时，三条线段ZB,BD,BE之间的数量关系是.

（3）如图④，当点。在线段B4的延长线上时，若CD=4,线段OE的中点为F,连接FB,求FB的长度.

17.如图所示，直角坐标系内，4(一4,3),F(-2,0),C(-1,2),请你在图中画出△ABC关于原点。的

对称的图形即△AB'C',并写出A、B'、C'的坐标,求出△AB'C'的面积.

18.某工厂新生产的一种节能灯泡，设计使用寿命为10000无，现从产品中抽取若干只，在同等条件

下，进行使用寿命检验，规定使用寿命不少于10000/1为合格品.有关数据如下：

试验灯泡数/只20401002004001000

合格灯泡数/只193791179361902

合格频率——————

(1)计算各批灯泡的合格频率；

(2)根据频率的稳定值，估计这种灯泡的合格率(合格品的概率)(精确到0.1).

19.某大型超市7月份的销售额为100万元，9月份的销售额比8月份的销售额多24万元，若7月份到9

月份每个月销售额的增长率相同，求：

(1)7月份到9月份每个月销售额的增长率;

(2)9月份的销售额.

20.画出如图所示的底面为正三角形的直棱柱的表面展开图(尺寸大小自选).

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(2,-3),该图象与％轴相交于点4

B,与y轴相交于点C,其中点4的横坐标为-1.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)点P是直线BC下方，抛物线上的一个动点，当APBC面积取得最大值时，求点P的坐标和APBC面

积的最大值.

22.把4张普通扑克牌；方块3,红心6,黑桃10,红心6,洗匀后正面朝下放在桌面上.

(1)从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？

(2)从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张.请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面

23.如图，等腰三角形2BC的底边8c=20cm，。是腰48上一点，且CD=16cm,

D,

BD=12“i.求2B的长度.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+2久+c与x轴交于4(一1,0),B(3,0)两点，与y轴

交于点C.

(1)求抛物线y=ax2+2x+c的解析式；

(2)点。为抛物线上对称轴右侧、久轴上方一点，久轴于点E,DF〃/1C交抛物线对称轴于点F,

求DE+DF的最大值；

(3)①在抛物线上是否存在点P,使以点4,P,C为顶点，4C为直角边的三角形是直角三角形？若存

在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐

标为t,请直接写出AACQ为锐角三角形时t的取值范围.

25.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在AABC中，

ABAC=90°,48=2C,点D为直线BC上一动点(点。不与8,C重合)，以4。为边在4。右侧作

正方形4DEF,连接CF.

(1)观察猜想

如图①，当点D在线段BC上时.

①8C与CF的位置关系为：;

②BC,CD,CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图②，当点。在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成

立，请你写出正确结论再给予证明;

(3)拓展延伸

如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长B4交CF于点G,连接GE,若已知AB=2vLeD=:BC,

请求出GE的长.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：由于方程一根为0,故将％=。代入（幽-2）x，+3x+幽'-4=0中

得：m2-4,m=±2

由于方程为一元二次方程，故机的值不可以等于2.

故选D

2.答案：C

解析：解：中心对称图形有正方形、矩形、菱形；

轴对称图形有：正方形、等腰梯形、矩形、菱形，

既是中心对称又是轴对称的图形有正方形、矩形、菱形，

故选：C.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.答案：C

解析：解：5y2-3=V+3,

4y2—6,

即实数根的个数是2个，

故选C

先移项，再系数化成1,最后开方，即可得出选项.

本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程.

4.答案:D

解析：解：4、从一个装有蓝球、白球的不透明的袋子里摸出一个球，摸出的球是白球是随机事件;

夙小红经过十字路口恰好遇到红灯是随机事件；

c、从班里选择一个同学参加学校座谈会，选到的是女生是随机事件；

。、将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上是必然事件；

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事

件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

5.答案：B

解析：解：由M(3,-2)关于y轴对称的点的坐标为(一3,-2).

故选：B.

根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案.

本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴

对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

6.答案：C

解析：解：4“买10张中奖率为春的奖券必中奖”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；

B、汽车累计行驶10000km,从未出现故障”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；

C、天气预报说“明天下雪的概率为80%”，但“明天下雪”仍是随机事件，正确，符合题意；

。、射击奥运冠军射击一次，命中靶心是随机事件，故原命题错误，不符合题意，

故选：C.

根据随机事件的概念、概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案.

此题考查了随机事件、概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键.

7.答案：B

解析：解：将抛物线y=-/+(机一1)尤+机绕原点旋转180。后，得到的图象的解析式为一y=

—(―x)2+(m—1)(—x)+m,

即y=%2+(m—l)x—m,

••,在旋转后的抛物线上，当久>4时，y随x的增大而增大，

m-1,4

•••———<4,

解得，m>-7,

故选：B.

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得旋转后的抛物线，根据二次

函数的性质得到-T24,解得即可.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，关于原点对称的点的横坐标互

为相反数，纵坐标互为相反数，将自变量、函数值都换成相反数是解题关键.

8.答案：B

解析：解：连结BD、0C,如图，

•••乙BCD=90°,

BD为。。的直径，

BD=2,

•・・△ABC为等边三角形，

Z.A=60°,

・••(BOC=2Z-A=120°,

而。8=OC,

・•・乙CBD=30°,

在BCD中，CD=^BD=1,BC=WCD=W，

矩形BCDE的面积=BC-CD=V3,

故选:B.

连接BD、OC,根据矩形的性质得NBCD=90。，再根据圆周角定理得BD为。。的直径，利用圆周角

定理得到NBOC=2/4=120。，根据含30。的直角三角形三边的关系得到CD==1,BC=

於CD=V3,然后根据矩形的面积公式求解.

本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质和矩形的性质，关

键是求出BC的长.

9答案:B

解析：解：如图，连接AC,取BC的中点K,连接4K.

•.•四边形4BCD是平行四边形，

•••AB=CD=4,AD=BC=4,

■■■BK=KC=4,

BA=BK,

•••ZB=60°,

"'-AABC是等边三角形，

AK=BK=KC,

：.Z.BAC=90°,

vAB//CD,

：./.ACD=ZBXC=90°,

.•.以AD为直径作。。交BC于P2，「3，此时△ADP2，△4DP3是直角三角形，

当ND4Pl=90。时，△D4P是直角三角形，

符合条件的点P有三个，

故选:B.

如图，连接2C,取BC的中点K,连接力K.首先证明NBAC=90°,推出“CD=90°,以4D为直径作。。

交BC于P2,P3,此时AADPs是直角三角形，当ND2Pi=90。时，4P是直角三角形，所

以符合条件的点P有三个.

本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

10.答案：c

解析：解：y=3/+1的顶点坐标为(0,1),

•••抛物线y=3/+1绕原点。旋转180。，

・•・旋转后的抛物线的顶点坐标为(0,-1),

・•・旋转后的抛物线的解析式为y=-3久2一1.

故选：c.

求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的

抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便.

11.答案：m丰2

解析：解：「关于久的方程（机-2）/+ni久一3=0是一元二次方程，

m—20,即m42.

故答案为：m丰2.

利用一元二次方程定义判断即可求出山的值.

此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.

12.答案：40；20>/3

解析：解：「力吕是o。的直径，

ZC=90°,

•••ZB=90°-NA=90°-60°=30°,

OD1BC,

BD=CD,

在RtAOBD中，zS=30°,

OB=20D=20,BD=WOD=10V3，

AB=20B=40,BC=2BD=20相.

故答案，40,20V3.

根据圆周角定理，由力B是。。的直径得到NC=90。，则利用互余得到NB=30。，根据垂径定理由

OD18c得到8。=CD,然后根据含30度的三角形三边的关系可计算出。8、8D,从而可得到48和BC

的长.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂

径定理和含30度的三角形三边的关系.

13.答案：4.9

解析:解:h=9.8t-4.9t2

=4.9[-（t-I）2+1]

当t=1时，

函数的最大值为4.9米，

这就是小球运动最大高度.

把抛物线解析式化成顶点式，即可解答.

本题涉及二次函数的实际应用，难度中等.

14.答案：70

解析：

本题考查了旋转的性质，平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出NGFE=NFED是解此题的

关键.

求出NFED,根据平行线的性质得出NGFE=NFED,即可得出结论.

解：,•,将，绕点E逆时针旋转40。后，与直线相较于点G,

乙GEF=40°,

/-GEC=70°,

乙FED=180°-40°-70°=70°,

•••AB/1CD,

乙GFE=乙FED=70°,

故答案为70.

15.答案：解：・・,/一x-12=0,

(%—4)(x+3)=0,

%—4=0或x+3=0,

%]=4,x2=—3.

解析：首先把一元二次方程/-x-12=0转化成(x-4)Q+3)=0,然后解两个一元一次方程即

可.

本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次

方程的步骤，属于基础题.

16.答案：解：(1)依据1：S4S,依据2：全等三角形对应边相等；

(2)①BD,BE之间的数量关系是4B=BE—BD.

@BD,BE之间的数量关系是48=BD-BE.

⑶•••^ACB=90°,AC=BC,

：.Z.ABC=ABAC=45°

•••AACD=90°-/.ACE,乙BCE=90°-/.ACE,

•••Z-ACD=乙BCE,

AC=BC

•・•在△ADC^ABEC中，\AACD=乙BCE

CD=CE

：.AACD=ABCE(SAS),

••・乙CAD=Z-CBE,

•••乙CAB=45°,

••・土CAD=135°,

Z.CBE=135°,

又・・•AABC=45°

・•・乙DBE=乙CBE-/.ABC=135°-45°=90°

・•.△DBE是直角三角形

••・线段DE的中点为点F,

-1

BF=-DE,因为在Rt△£)£1£■中，CD=CE=4,

BF=2V2.

解析：解：(1)依据1：sas,依据2：全等三角形对应边相等;

(2)①BD,BE之间的数量关系是4B=BE-BD.

@BD,BE之间的数量关系是AB=BD-BE.

(3)•••AACB=90°,AC=BC,

•••/.ABC=^BAC=45°

•••AACD=90°-4ACE,乙BCE=90°-AACE,

・•.Z.ACD=乙BCE,

•・•在△ADC和△BEC中，

AC=BC

乙ACD=乙BCE

CD=CE

AC。三△BCE(S/S),

Z.CAD=Z-CBE,

•・•/,CAB=45°,

・•・4CAD=135°,

•••乙CBE=135°,

又•••/.ABC=45°

.­.Z.DBE=乙CBE-乙ABC=135°-45°=90°

・•.△D8E是直角三角形

•••线段DE的中点为点F,

'BF'

因为在RtADCE中，CD=CE=4,

•••°£=慈=爰=4仅

2

BF=2V2.

(1)根据三角形判定定理和性质即可填写;

(2)根据△4CDmABCE得出2D=BE,即可得出力B,BD,BE之间的数量关系;

(3)先求得AACD^ABCE得出NCTI。=乙CBE,进而求得/D8E=90。然后通过解直角三角形即可求

得;

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角函数的应用，本题的关

键是熟练掌握三角形的判定定理以及三角形全等的性质;

17.答案：解：如图所示：

4(4,-3),5X2,0),C'(l,-2)；

111

S△A'B'C'=3x3--xlx3--xlx2--x2x3

222

3

=9---1-3

2

_7

-2,

解析：根据关于中心对称的点的坐标特点画出并写出4、4、C，的坐标，求出其面积即可.

本题考查的是图形的旋转，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.

18.答案：0.950,9250.910,8950.9030.902

解析：解：（1）19+20=0.95,

37+40=0.925,

91+100=0.91,

179+200=0,895,

361+400=0,903,

902+1000=0.902,

各批合格频率如下:

试验灯泡数/只20401002004001000

合格灯泡数/只193791179361902

合格频率0.950.9250.910.8950.9030.902

故答案为:0.95,0.925,0.91,0.895,0.903,0.902；

(2)从上面的数据可以看出合格频率稳定在(0.95+0.925+0.91+0.895+0.903+0.902)-6-0.9

附近，估计第一批灯泡的合格率为0.9.

(1)直接用频率的计算公式计算后填表即可；

(2)根据各样品中灯泡的合格频率求其平均值，即可得出答案.

考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数

与总情况数之比.

19.答案：解：设每个月销售额的增长率为x,由题意得：

(1)100(%+I)2=100(%+1)+24,

解得：期=-1.2(不合题意舍去),%2=0.2=20%.

故所求百分数为20%.

(2)9月份的销售额：100X1.22=144万元

解析：(1)题中有一个等量关系：9月份的销售额x(1+每个月销售额的增长率)2=7月份的销售额

+24,根据等量关系列方程，求出解.

(2)把所求结果代入(1)中方程的任何一边，可以求出答案.

此题考查一元二次方程的应用，根据9月份的销售额不变列方程，找等量关系是解应用题的关键.

解析：根据三棱柱展开图的特征画出图形即可.

本题考查作图-应用与设计，几何体的展开图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

21.答案：解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x—/i）2+k,

则函数的顶点坐标为：（2,-3）,

则y=a（x一2尸一3,

•••点力的横坐标为—1,则点4（一1,0）,将点力的坐标代入上式并解得：a=|,

故抛物线的表达式为：y=|（x-2）2-3=|x2~-I；

⑵过点P作y轴的平行线交8C于点H,

由(1)知：y=|x2_|；令y=0，贝！I工=-1或5,x=0,则y=-1,

故点8、。的坐标分别为：(5,0)、(0,-|),

(1

(5k+b=0fc=-

设直线BC的表达式为：y=kx+b,贝U力=_三，解得：35，

v—3b=--

故直线BC的表达式为：y=|x-|；

设点P的坐标为：(%,*_枭_|),则点”(居家一|),

x22

△PBC面积S=S&PHB+S&PHC=|PHx(物—xc~)=1x5X(|x-|-|x+[x+1)=—|x+

-f<0,故S有最大值，最大值为：若，此时久=|,

o24Z

故点P©，-冷

解析：（1）利用抛物线的顶点式表达式，即可求解；

（2）利用二次函数表达式求出B、C的坐标，得到直线BC的表达式；再利用APBC面积S=SAPHB+

SXPHC=3xPHX（久B—%c），进而求解.

本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，其中，正确确定APBC面积

的表达式，是本题解题的关键.

22.答案：解：（1）•••共有4张普通扑克牌；方块3,红心6,黑桃10,红心6,

・•・从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是：土

（2）画树状图得：

开始

36106

/K/4\/N/K

610631063663610

•••共有12种情况，抽出一对6的2种情况，

;抽出一对的概率为：

61ZO

解析：（1）由4张普通扑克牌；方块3,红心6,黑桃10,红心6,可利用概率公式求得从中随机抽取

一张牌是黑桃的概率；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽出一对6的情况，再利用概

率公式求解即可求得答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所

求情况数与总情况数之比.

23.答案：解：设腰长为x,贝久一12,

BC=20cm,CD=16cm,BD=12cm,

••・满足BO?+亦=BC2t

根据勾股定理逆定理可知，Z.BDC=90°,

AD2+CD2="2,

即：（x-12）2+162=x2,

解得x=y,

腰长力B为言czn.

解析：设腰长为x,贝1|4。=久一12,由（1）可知AZ*=2。2,解方程（*一12）2+162=/,即

可得到腰长.

本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长Q,b,C满足小+力2=。2,那么这个三角

形就是直角三角形.

24.答案：解：(1)设抛物线解析式为y=。(％+1)(%-3),即丫=。/一2a%-3a,

**•—2d=2,解得a=-19

・•・抛物线解析式为y=-x2+2%+3；

(2)当％=0时,y=3,则)(0,3),

设直线/C的解析式为y=px+q,

把4(-1,0),C(0,3)代入得|二学=。，解得《二；,

直线4C的解析式为y=3x+3,

如图1,过。作DG垂直抛物线对称轴于点G,设。(%,-/+2尤+3),

•••DF//AC,

NDFG=N4C。，易知抛物线对称轴为x=1,

DG^x-1,DF=V10(x-1)，

DE+DF=-x2+2x+3+V10(x-1)=-x2+(2+V10)x+3-V10=-(%-+孩,

-1<0,

...当久=出型，DE+DF有最大值为f；

22

(3)①存在；

如图2,过点C作4c的垂线交抛物线于点A，•.•直线2C的解析式为y=3x+3,

，直线P1C的解析式可设为y=+小，把C(0,3)代入得m=3,

9(7

1(y——x+2x+3(Y=c\x=-

二直线P1C的解析式为y=f+3,解方程组=_%+3，解得洌

3V—9

则此时R点坐标为(1,§)；

过点2作2C的垂线交抛物线于P2,直线4P2的解析式可设为y=-|x+n,

把4(_1,0)代入得n=/

7(10

11(y——x+2%+3(y=—1x=—

・•・直线PC的解析式为y=解方程组=_1%_1，解得或J_313，

33-9

则此时22点坐标为(三,一葺)，

综上所述，符合条件的点P的坐标为第g)或(?,-£)；

②如图3,抛物线;/=-/+2%+3对称轴为直线％=1,过点C作CQi1/C交对称轴于Qi，过点/作

•・・4(-1,0),C(0,3),

・,・直线ZC解析式为y=3%+3,

•••CQi1AC

直线CQi解析式为y=—[x+3,令x=l,得丫=一》*1+3=：

VAQ21AC

二直线71Q2解析式为y回—gx-点令久=1，得y=_[xi_]=_|

•••^LAQC=90°时，AQ2+CQ2=AC2

1-I)?+t2+(1-0)2+(t—3)2=(V10)2,解得:t*=1,t2=2,

•••当1<t<2时，乙4QC>90°,

•・•△2CQ为锐角三角形，点Q(l,t)必须在线段Q1Q2上(不含端点Qi、<?2)，

—<t<1或2<t<—.

33

解析：本题是一道有关二次函数的代数几何综合题，考查了二次函数图象和性质、二次函数最值应

用、直角三角形判定和性质、待定系数法求函数解析式等，是比较经典的中考数学压轴题，解题关

键应用两直线垂直时，其解析式中一次项系数乘积等于-1.

(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(工一3),=ax2-2ax-3a,由一2a=2,求得a,即可得到

抛物线解析式；

(2)待定系数法求直线2C的解析式，过。作DG垂直抛物线对称轴于点G,设。(久,--+2%+3),可

得DE+DF=-x2+2x+3+V10(x-1)=-%2+(2+V10)x+3-V10=-(%-+葭，即

可求得OE+DF有最大值；

(3)①根据“以点4,P,C为顶点,4C为直角边的三角形是直角三角形”，可得AC1CP于C或AC14P

于4再由待定系数法求得直线CP和直线2P的解析式，通过解方程组求得点P的坐标；

②可直接由①中直线CPi或直线4P2解析式中令乂=1，可得Qi、<22的坐标，即可得t的范围.

25.答案：(1)垂直；BC=CF+CD；

(2)CF1BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.

•.•正方形4DEF中，AD=AF,

•••ABAC=4DAF=90°,

•••乙BAD=Z.CAF,

(AD=AF

在aDAB与工FZC中，\^BAD=4cAF,

AB=AC

.-^DAB=^FAC(SAS)f

・•・Z.ABD=Z-ACF,

・・・ABAC=90°,AB