2020-2021学年山东省聊城市冠县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年山东省聊城市冠县九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1.如图，矩形ERGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点,以y轴上的某一

点为位似中心，作位似图形ABCD,且点、B,尸的坐标分别为（-4,4）,(2,1),则

C.(0,2)D.(0,1.5)

2.△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1）,于下列四个

A.sina=cosaB.tanC=2C.sin0=cos0D.tana=l

3.若关于X的方程依2-3尤-9=0有实数根，则实数上的取值范围是（）

4

A.k=QB./》一1且4于0C.上》一1D.k>-\

4.如图，。。的半径为5,为弦，点C为处的中点，若NA8C=30°,则弦AB的长为

c告D.5y

5.若抛物线y=〃N+2ax+4(〃V0)上有A(-—,yi),B(-,/2>J2),c(料，笫)三

点，则yi,”，券的大小关系为（）

A.y\<y2<y?,B.y3<y2<y\C.y3<yi<yiD."VgVyi

6.如图，在平行四边形ABC。中，AC与5。相交于点O,片是。。的中点，连接AE并延

长交。C于点£则。/：FC=（）

DF_______________r

AB

A.1:4B.1:3C.1：2D.1:1

7.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABC。,坝顶宽10米，坝高12米，斜坡的坡度i

=1:1.5,则坝底AD的长度为（）

510C

AED

A.26米B.28米C.30米D.46米

8.如图，在RtZkABC中，ZA=90°,BC=：272.以8C的中点。为圆心。。分别与A3,

AC相切于£）,E两点、,则茄的长为（）

匹

ADB

、兀一兀

42

9.已知二次函数y=ax1+bx-i-c的图象如下,则一次函数y=ax-2b与反比例函数y=上在同

x

一平面直角坐标系中的图象大致是（)

10.若〃，b是方程N+2%-2016=0的两根，则〃2+3〃+人=()

A.2016B.2015C.2014D.2012

k1ko

11.如图，直线/_Lx轴于点P,且与反比例函数yi=——(x>0)及竺=——(x>0)的图

XX

象分别交于点A,B,连接04,OB,已知△043的面积为2,则右-依的值为()

12.二次函数y=〃x2+b%+c(Q=#0)的图象如图所示，对称轴是直线x=l,下列结论:

①〃Z?V0；②。2>4〃C；③〃+Z?+2CV0；④3“+CV0.

其中正确的是()

二.填空题(共6小题).

13.如图，在矩形A8CZ)中，AB=3,AD=5f点E在。。上，将矩形A5CZ)沿AE折叠,

点D恰好落在BC边上的点F处,那么cosNEFC的值是

14.如图，AB是的弦，A3=5,点C是。。上的一个动点，且NACB=45°,若点M、

N分别是AB、AC的中点,则MN长的最大值是.

15.如图，矩形ABC。中，BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆。与8C相切于点E,连

接8。，则阴影部分的面积为.（结果保留TT）

0

16.如图，已知。尸的半径为2,圆心P在抛物线y=$2_1上运动，当。尸与了轴相切时,

圆心尸的坐标为.

17.已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程N-8x+15=0的根，则该等腰三角形的

周长为.

18.如图，在△AO8中，ZAOB=90°,点A的坐标为（2,1）,B0=2辰,反比例函数

y=K的图象经过点B,则k的值为.

三、解答题(本大题共7个小题，共66分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤。)

19.(6分)根据要求解下列一元二次方程：

(1)尤2+2X-3=0(配方法)：

(2)(x+1)(.x-2)—4(公式法).

20.(8分)已知：如图，ZiABC是等边三角形，点。、E分别在边BC、AC上，ZADE=

60°.

(1)求证：/\ABDs/\DCE；

9

(2)如果A8=3,EC=g求DC的长.

3

21.(10分)如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CZ),小李在山坡的坡脚A处测得广告牌

底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知

山坡的坡度i=l：M，46=10米，AE=15米.(i=l：愿是指坡面的铅直高度8”

与水平宽度A8的比)

(1)求点8距水平面AE的高度8H；

(2)求广告牌C。的高度.

(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：注-1.414,我比1.732)

22.(10分)如图，已知△ABC,以AC为直径的。0交AB于点。，点E为弧虹।的中点,

连接CE交AB于点£JLBF=BC.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)若。0的半径为2,cosB=—,求CE的长.

5

23.(10分)某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千

克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，销售量将减少1千克

(1)现该商场保证每天盈利1500元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？

(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最

大？

24.(10分)如图，直线y=nu+〃与双曲线y=，•相交于A(-1,2)、B(2,b)两点，

x

与y轴相交于点C.

(1)求加，〃的值；

(2)若点。与点C关于x轴对称，求AA。□的面积；

(3)在坐标轴上是否存在异于。点的点P,使得=若存在，直接写出尸点

坐标；若不存在，说明理由.

3；

T

25.(12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(4,

0),C(0,-4)三点，点P是直线下方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出尸点坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时尸点坐标和△P2C的最大

面积.

参考答案

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求）

1.如图，矩形EFG。的两边在坐标轴上，点。为平面直角坐标系的原点,以y轴上的某一

点为位似中心，作位似图形ABC。，且点8,尸的坐标分别为（-4,4），(2,1),则

2.5)C.(0,2)D.(0,1.5)

•..四边形A8CZ）和四边形EFGO是矩形，点8,尸的坐标分别为（-4,4),(2,1),

.♦.点C的坐标为（0,4）,点G的坐标为（0,1）,

；.CG=3,

,JBC//GF,

.GP=GF=J_

,,正一而一5

：.GP=1,PC=2,

，点尸的坐标为（0,2）,

故选：C.

2.ZVIBC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1）,于。，下列四个

选项中，错误的是（）

A.sina=cosaB.tanC=2C.sinp=cospD.tana=1

解：观察图象可知，AADB是等腰直角三角形，BD=AD^2,AB=2近,AD=2,CD

=1,AC=、［^,

五

sina=cosa=故A正确，

2

ATI

tanC=±—=2,故8正确，

CD

tana=l,故。正确，

.・.&CDV5Q2V

-Smp=AC=VC°SP=5'

sinp丰cosp,故C错误.

故选：C.

3.若关于X的方程息2-3x-9=0有实数根，则实数4的取值范围是()

4

A.k=0B.4》一1且京于0C.Z》一lD.k>-\

q2

解：当左=0时，方程化为-3x-W=0,解得x=-±;

44

当左右0时，△=(-3)2-4h(--)\0,解得左2-1,

4

所以上的范围为左》-1.

故选：C.

4.如图，。。的半径为5,为弦，点C为第的中点，若NA8C=30°,则弦AB的长为

()

B

D.5y

VZABC=30°,

AZAOC=60°,

,.・A5为弦，点。为标的中点,

OC±ABf

在RtZkCME中，4£=殳巨,

2

••・48=5愿，

故选：D.

5.若抛物线y=〃N+2〃x+4(〃V0)上有A(-半yi),B(->2),C(泥，>3)三

点，则yi,j2,丁3的大小关系为()

A.yi<y2<ysB.y3<y2<y\C."VyiV"D.y2<ys<y\

解：，・,抛物线y=aN+2ox+4(〃V0),

二・对称轴为：%=一2a=_1

2a

・••当xV-l时，y随工的增大而增大，当比>-1时，y随工的增大而减小，

***A(-三,yi),B(-圾,”)，C(&,")在抛物线上，4〈-正〈-1<-0.5<后,

二•"VyiV”，

故选：C.

6.如图，在平行四边形ABC。中，AC与相交于点0,E是。。的中点，连接AE并延

长交。。于点尸，则。尸：FC=()

DF,C

AB

A.1：4B.1：3C.1：2D.1：1

解：在平行四边形ABC。中，AB//DC,

则△。尸ES/^BAE,

.DFDE

,*AB=ED'

；。为对角线的交点，

:.DO=BO,

又为0。的中点，

：.DE=—DB,

4

贝，JZ)E：£8=1：3,

：.DF:AB=l:3,

"：DC^AB,

：.DF:DC=1:3,

：.DF：FC=1：2；

故选：C.

7.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABC。，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡的坡度i

=1：1.5,则坝底的长度为（）

解：：坝高12米，斜坡的坡度i=l：1.5,

.•.AE=L5BE=18米,

"：BC=IQ米,

；.AZ)=2AE+8C=2X18+10=46米,

故选：D.

8.如图，在RtZsABC中，NA=90°,BC=2近,以BC的中点。为圆心。。分别与AB,

AC相切于。，E两点、,则DE的长为（）

C.TTD.2TI

解：连接。E、OD,

设半径为r,

:。。分别与AB,AC相切于。，E两点、,

J.OES.AC,OD±AB,

是BC的中点，

,。。是中位线，

：.OD=AE=^AC,

：.AC=2r9

同理可知：AB=2r,

：.AB=ACf

：.ZB=45°,

,:BC=2M

...由勾股定理可知A3=2,

r=1,

.人_90兀Xl_兀

'•DE18Q

故选：B.

C

9.已知二次函数的图象如下，则一次函数y="x-2b与反比例函数y=£■在同

x

一平面直角坐标系中的图象大致是（）

解：二次函数yuaN+bx+c的图象开口向下可知〃VO,对称轴位于y轴左侧，。、〃同号，

即bVO.图象经过y轴正半可知c>0,根据对称轴和一个交点坐标用〃表示出/?,c,b

=2a,c=-3a,

确定一次函数和反比例函数有2个交点，

由QVO,bVO可知，直线26经过一、二、四象限，

由c>0可知，反比例函数y=£■的图象经过第一、三象限，

故选：C.

10.若。，b是方程N+2x—2016=0的两根，则〃2+3〃+b=()

A.2016B.2015C.2014D.2012

解：是方程/+2X-2016=0的实数根，

cfl+la-2016=0,

=一2。+2016,

a2+3a-^-b=-2q+2016+3〃+Z?=4+Z?+2016,

・・・〃、b是方程N+2x-2016=0的两个实数根，

/.a+b=-2,

a2+3a+b=-2+2016=2014.

故选：C.

kn

11.如图，直线/_Lx轴于点尸，且与反比例函数（x>0）及丁2=—―（X>O）的图

xX

象分别交于点A,B,连接。4,OB,已知△。48的面积为2,则屈-左2的值为（）

C.4D.-4

解：根据反比例函数上的几何意义可知：△AOP的面积为红，△BOP的面积为上L,

22

，/\AOB的面积为-±2,

22

•匕卜2=2

k\-比=4,

故选：C.

12.二次函数y=ox2+bx+c（Q=#0）的图象如图所示，对称轴是直线x=l,下列结论:

①〃/?V0；②。2>4〃C；③〃+Z?+2CV0；④3“+CV0.

其中正确的是（）

y

A.①④B.②④c.①②③D.①②③④

解：：抛物线开口向上,

二•抛物线的对称轴为直线x=-上-=1,

2a

:・b=-2〃VO,

：.ab<0,所以①正确；

二,抛物线与x轴有2个交点，

：./\=b2-4ac>0,所以②正确；

,.”=1时,yV0,

〃+/?+cVO,

而c<0,

・・.〃+Z?+2cV0,所以③正确；

•抛物线的对称轴为直线x=--^-=1,

2a

:・b=-la,

而％=-1时，y>0,即Q-Z?+C>0,

.,.〃+2a+c>0,所以④错误.

故选：C.

二.填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果）

13.如图，在矩形ABC。中，AB=3fAD=5f点、E在DC上,将矩形ABC。沿AE折叠,

Q

点。恰好落在边上的点尸处，那么cosNE尸C的值是—.

一5一

解：由翻折变换的性质可知，ZAFE=ZD=90°,AF=AD=5,

：.ZEFC+ZAFB=90°,

VZB=90°,

ZBAF+ZAFB=90°,

・・・/EFC=ZBAF9

cosN/BDA人口F=-B-A-=—3,

FA5

3

AcosZEFC=—,

5

故答案为：—.

5

14.如图，A3是。。的弦，A5=5,点。是。0上的一个动点，且NAQ5=45°,若点M、

N分别是A3、AC的中点，则MN长的最大值是—主返

解：如图，•.•点M,N分别是AB,AC的中点，

：.MN=—BC,

2

.,.当BC取得最大值时，就取得最大值，当2C是直径时，BC最大,

连接80并延长交。。于点C',连接AC',

■：BC,是O。的直径，

AZBAC=90°.

VZACB=45°,AB=5,

：.ZACf8=45

5_

_AB_

—=V2=572,

sin45

:.MN靠大=显2.

2

故答案为：刍返.

2

15.如图，矩形ABC。中，8C=4,CD=2,以AO为直径的半圆。与8C相切于点E,连

接则阴影部分的面积为7T.（结果保留TT）

0

解：连接。E,如图，

:以A。为直径的半圆。与BC相切于点E,

：.OD=2,OE±BC,

易得四边形OECD为正方形，

2

...由弧。E、线段EC、CD所围成的面积=5正、OECD-SMEOO=22-"工.=4-m

360

...阴影部分的面积=Lx2X4-（4-TT）=TT.

2

故答案为TT.

D

C

16.如图，已知。尸的半径为2,圆心尸在抛物线了=工2_1上运动，当op与x轴相切时,

①当P的坐标是（X,2）时，将其代入了=余-1,得

2

解得尤=土

此时P（加，2）或（-加，2）；

②当尸的坐标是（X,-2）时，将其代入y=’2-1,得

-2=-X2-1,即一］=工2

22

无解.

综上所述，符合条件的点尸的坐标是（逐，2）或（-戈，2）；

故答案是：（找，2）或（-戈，2）.

17.已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程％2-8x+15=0的根，则该等腰三角形的

周长为19或21或23.

解：由方程尤2-8x+15=0得：（x-3）（尤-5）=0,

'.x-3=0或x-5=0,

解得：尤=3或x=5,

当等腰三角形的三边长为9、9、3时,其周长为21；

当等腰三角形的三边长为9、9、5时,其周长为23;

当等腰三角形的三边长为9、3、3时,3+3<9,不符合三角形三边关系定理，舍去;

当等腰三角形的三边长为9、5、5时,其周长为19；

综上，该等腰三角形的周长为19或21或23,

故答案为：19或21或23.

18.如图，在△AO8中，NAOB=90°，点A的坐标为（2,1）,80=2疾，反比例函数

y=K的图象经过点B,则k的值为-8.

解：过点A作AC_Lx轴，过点B作轴，垂足分别为C、D,则

90°,

:・NDBO+NBOD=9C,

VZAOB=90°,

：.ZAOC+ZBOD=90°,

：.ZDBO=ZAOCf

：./\DBO^/\COA,

.BO_BD_D0

•前而F，

・・,点A的坐标为(2,1),

：.AC=lfOC=2,

「・A°=l2+22=在，

.即80=4,£)0=2,

V521,

：.B(-2,4),

:反比例函数y=X■的图象经过点B,

x

...左的值为-2X4=-8.

故答案为：-8

三、解答题（本大题共7个小题，共66分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤。）

19.（6分）根据要求解下列一元二次方程：

（1）N+2X-3=0（配方法）；

(2)(x+1)(x-2)=4(公式法).

解：(1)N+2X-3=0,

移项，得炉+2彳=3,

酉己方，得x2+2x+1=3+1,

则(x+l)2=4,

x+l=±2,

x=±2-1,

xi=l,X2=-3;

(2)(x+1)(x-2)=4,

整理得，x2-x-6=0,

〃=1,b=-1,c=-6,

△=Z?2-4QC=(-1)2-4XlX(-6)=25>0,

・・・方程有两个不相等的实数根，

2

¥=-b±Vb-4ac-《I)土5

'2'

xi=3,元2=-2.

20.(8分)已知：如图，△ABC是等边三角形，点。、E分别在边8C、AC上，NADE=

60°.

(1)求证：△ABDs^DCE；

9

(2)如果A3=3,EC=—求。。的长.

3f

【解答】(1)证明：・.•△ABC是等边三角形，

ZB=ZC=60°,AB=AC,

•：NB+NBAD=NADE+NCDE,ZB=ZADE=60°,

・・・NBAD=NCDE

・•・AABDs^DCE;

(2)解：由(1)证得△ABQSADCE,

,*AB-DC，

设CD=x,贝|8。=3-尤,

•,•%—1或x=2,

，OC=1或DC=2.

21.（10分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌

底部。的仰角为60°.沿坡面AB向上走到8处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知

山坡的坡度i=l：7S，AB=10<,AE=15米.（z=l：J获指坡面的铅直高度瓦?

与水平宽度AH的比）

（1）求点8距水平面AE的高度88;

（2）求广告牌CD的高度.

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：注-1.414,我比1.732）

□

□

□

□

□

□

解：（1）过8作BG_LOE于G,

1s

RtZiABH中，i=tanNBAH=*=山

V33

ZBAH=30°,

2

（2）-：BH±HE,GE±HE,BG±DE,

四边形BHEG是矩形.

•.•由（1）得：BH=5,AH=5、R,

；.8G=AH+AE=5扬15,

RtABGC中，NCBG=45°,

...CG=8G=5,/^H5.

RtAWE中，ZDA£=60°,AE=15,

:.DE=RE=15M.

：.CD=CG+GE-D£=57^4-15+5-15，月=20-10日72.7m.

□

□

□

□

□

□

22.(10分)如图，已知△ABC,以AC为直径的。。交A3于点。，点E为弧俞的中点,

连接CE交48于点£JLBF^BC.

(1)求证：8c是OO的切线；

Q

(2)若。0的半径为2,cosB=—,求CE的长.

5

【解答】(1)答：5C与。。相切.

证明：连接AE,

・・・AC是。。的直径

ZE=90°,

/.ZEAZ)+ZAFE=90°,

,:BF=BC,

：・NBCE=NBFC,

•・•£1为弧AO中点,

:・/EAD=NACE,

ZBCE+ZACE=90°,

C.ACA.BC,

;AC为直径，

・・・3。是。0的切线.

(2)解：・・・。。的半为2,

AAC=4,

:・BC=3,A3=5,

：・BF=3,A尸=5-3=2,

9：ZEAD=ZACE,NE=NE,

：.AAEF^ACEA,

.至=迪=工

••而一而一万

：.EC=2EA,

设EA=x,EC=2x,

由勾股定理得：N+4N=16,

冗=*/刍（负数舍去），

5

即以=织1_.

23.(10分)某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千

克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，销售量将减少1千克

(1)现该商场保证每天盈利1500元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？

(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最

大？

解：(1)设每千克应涨价尤元，由题意列方程得:

(5+x)(200-=1500

0.1

解得：x=5或x=10,

答：为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元;

(2)设涨价x元时总利润为y,

贝|y=(5+x)(200-

0.1

=-10x2+150x+1000

=-10(x2-15.r)+1000

=-10(x-7.5)2+1562.5,

答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多.

24.(10分)如图，直线y=znx+〃与双曲线,=坛相交于A(-1,2)、5(2,b)两点，

x

与y轴相交于点C.

(1)求机，n的值；

(2)若点。与点。关于x轴对称，求△A3。的面积；

(3)在坐标轴上是否存在异于。点的点尸，使得打尸钻=5m.？若存在，直接写出尸点

坐标；若不存在，说明理由.

解：(1)•.•点A(-1,2)在双曲线>=工上,

解得，k=-2,

2

・••反比例函数解析式为:y=--

X

-2

:・b=----=-1,

2

则点8的坐标为(2,-1),

.j，-m+n=2

'*l2mtn=-l，

解得，m--1,n=l;

(2)对于y=-x+