河北省石家庄市第二职业中学高三数学理期末试卷含解析

河北省石家庄市第二职业中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设∈R，则“＞”是“2＋－1＞0”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.定义在(-1,1)上的函数，设,且的零点均在区间(a,b)内，其中a,b∈z，a<b，则圆x2+y2=b-a的面积的最小值为

A．π B．2π C．3π D．4π参考答案：A3.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（

）A.4 B.6 C.8 D.12参考答案：试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B4.如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】D9：排列、组合及简单计数问题；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有84﹣6=78种，从而求得所求事件的概率．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C13种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有×=6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，∴所求的概率为

=．故答案选

D．【点评】本题考查简单计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．5.在梯形ABCD中，=3，则等于（）A．﹣+ B．﹣+ C．﹣+ D．﹣﹣参考答案：A【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】根据几何图形得出=+==，注意向量的化简运用算．【解答】解：∵在梯形ABCD中，=3，∴=+==故选：A6.已知双曲线x2+=1的焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解∵x2+=1表示双曲线，∴b2＜4，方程x2+=1可化为，取一个焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=±∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，解得=2∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选：C7.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（

）A.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 D.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛参考答案：B【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.【详解】由题得，，所以.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，所以要派甲参加.故选：B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上一点，，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．参考答案：D设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以

9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为（

）（A）-1

（B）1

（C）3

（D）9参考答案：C10.设是直线的倾斜角，且，则的值为（

）

A．；

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.锐角△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=4，b=3，且△ABC的面积为，则c=________．参考答案：解：由题意得，又锐角，所以，由余弦定理得12.已知直线与互相垂直，则____________.参考答案：2或-3略13.已知无穷等比数列{an}中，，，则=．参考答案：【考点】数列的极限．【分析】设无穷等比数列{an}的公比为q，运用等比数列的通项公式解方程可得q，再由等比数列的前n项和的公式，结合极限公式，即可得到所求值．【解答】解：设无穷等比数列{an}的公比为q，由，，可得q?q2=﹣，解得q=﹣，则====．故答案为：．14.若曲线在点处的切线平行于轴，则

．参考答案：本题考查切线方程、方程的思想.依题意15.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是

参考答案：[1,4].设=（0≤≤1），则=,=，则===+++,又∵=0，∴=，∵0≤≤1，∴1≤≤4，即的取值范围是[1,4].16.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．参考答案：【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．17.已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，则

____________________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex?cosx，g（x）=x?sinx，其中e为自然对数的底数；（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣，0]，不等式f（x）≥g（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）试探究x∈[﹣，]时，方程f（x）﹣g（x）=0解的个数，并说明理由．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数y=f（x）的导函数，得到函数在点（0，f（0））处的导数值，再求得f（0），然后利用直线方程的点斜式得切线方程；（Ⅱ）利用导数求出函数在[﹣，0]上的最小值，函数g（x）在[﹣，0]上的最大值，把不等式f（x）≥g（x）+m恒成立转化为两个函数最值间的关系求得实数m的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）中的单调性即可说明方程f（x）﹣g（x）=0在[﹣，0]上有一解，再利用导数判断两函数在（0，]上的单调性，结合单调性与极值说明在（0，]上方程f（x）﹣g（x）=0也只有一解．解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ex?cosx，得f′（x）=excosx﹣exsinx=ex（cosx﹣sinx）．∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，又f（0）=e0cos0=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1；（Ⅱ）∵f′（x）=ex?cosx﹣exsinx=ex（cosx﹣sinx），当x∈[﹣，0]时f′（x）＞0，f（x）在[﹣，0]上为增函数，则，g′（x）=sinx+xcosx，当x∈[﹣，0]时，g′（x）≤0，g（x）在[﹣，0]上为减函数，则．要使不等式f（x）≥g（x）+m恒成立，则恒成立，∴．故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x∈[﹣，0]时，f（x）为增函数，g（x）为减函数，且f（﹣）＜g（﹣），f（0）＞g（0），∴在[﹣，0]上方程f（x）﹣g（x）=0有一解；当x∈（0，]时，g′（x）=sinx+xcosx＞0，函数g（x）在（0，]上为增函数，当x∈（0，）时，f′（x）=ex（cosx﹣sinx）＞0，当x∈（，]时，f′（x）=ex（cosx﹣sinx）＜0，∴在（0，]上f（x）有极大值，而f（）=＞=g（），，g（）=1．∴在（0，]上方程f（x）﹣g（x）=0也只有一解．∴x∈[﹣，]时，方程f（x）﹣g（x）=0解的个数是2个．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判断方法，分类讨论是解答该提的关键，是压轴题．19.如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．

参考答案：解析：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．证明如下：在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．因为面，，所以．又，所以．于是．20.如果存在常数a，使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷等差数列{bn}的项数是，所有项之和是B，求证：数列{bn}是“兑换数列”，并用和B表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.参考答案：（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）本试题主要考查了数列的运用。解：（1）因为数列：1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分故a-m=1,a-4=2-------------------3分即a=6,m=5-------------------4分（2）设数列的公差为d，因为数列是项数为项的有穷等差数列若即对数列中的任意一项-------------------6分同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是“兑换数列”；-------------------8分又因为数列所有项之和是B，所以，即------10分（3）假设存在这样等比数列，设它的公比为q,(q>1)，因为数列为递增数列，所以又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数故数列必为有穷数列，不妨设项数为n项，------------------12分则----------14分①n=3则有，又，由此得q=1，与q>1矛盾；-------------------15分②若。由，即()，故q=1，与q>1矛盾；-------------------17分综合①②得，不存在满足条件的数列。-------------------18分21.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）时，增区间为；时，增区间为；时，增区间为，；（2）.【分析】（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间；（2）由（1）知，且，，恒成立，可化为恒成立，利用导数求出函数，的最小值即可得结果.【详解】（1）函数的定义域为，，令，，若时，，在恒成立，函数在上单调递增.若，，方程，两根为，，当时，，，，单调递增.当时，，，，，单调递增，，，单调递增.综上，时，函数单调递增区间为，时，函数单调递增区间为，时，函数单调递增区间为，.（2）由（1）知，存在两个极值点时，且，，则，，且，.此时恒成立，可化为恒成立，设，，，因为，所以，，所以，