广西壮族自治区南宁市翰林学校高三数学理月考试题含解析

广西壮族自治区南宁市翰林学校高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略2.过点且垂直于直线的直线方程为

（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略3.抛物线和圆，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于四点，则的值为（

）A．

B．1

C.2

D．4参考答案：B4.下表为第29届奥运会奖牌榜前10名：

设表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两个构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名：首先按由大至小排序（表格中从上至下），若值相同，则按值由大至小排序，若值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是

（

）A．15

B．20

C．24

D．27参考答案：D5.已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C6.函数y=10x2-1(0＜x≤1＝的反函数是(A)

(B)(x＞)(C)(＜x≤

(D)(＜x≤参考答案：D

【解析】本小题主要考查反函数的求法。由得：，即。又因为时，，从而有，即原函数值域为。所以原函数的反函数为，故选D。7.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；等体积法；立体几何．【分析】V=V半球﹣V圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度．【解答】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r；V圆锥=?πr3，V半球=×πr3=πr3，∴V=V半球﹣V圆锥=πr3，∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1，故选：C【点评】本题通过三视图考查几何体体积的运算，关键是掌握体积公式，属于基础题．8.在锐角三角形中，分别为内角的对边，若，给出下列命题：①；②；③．其中正确的个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为

中国古代的算筹数码A.

B.

C.

D.参考答案：C10.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．

B.C．

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：【答案解析】解析：因为，所以，得，所以=得，所以实数的取值范围是.【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答，本题通过替换后可看成关于xy的一次式恒成立问题.12.若对任意正实数a，不等式x≤4+a恒成立，则实数x的最大值为

．参考答案：4【考点】函数恒成立问题．【分析】看成关于a的不等式：x≤4+a，只需求出右式的最小值即可，显然最小值大于4，可得答案．【解答】解：看成关于a的不等式：x≤4+a，a+4的最小值大于4，∴x≤4，故答案为4．13.若的展开式中的系数是，则实数的值是

.参考答案：2略14.已知函数的定义域和值域都是，则实数a的值是

▲___参考答案：215.设不等式组表示的区域为,圆及其内部区域记为.若向区域内投入一点，则该点落在区域内的概率为_____.

参考答案：略16.对于二次函数，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中一定正确的命题是______________.（写出所有正确命题的序号）参考答案：②③17.抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，（1）证明：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，又PA=PC，∴AC⊥PO，∵BD∩PO=O，BD、PO平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵PB平面PBD，∴PB⊥AC．（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PO⊥BD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，∴∠OHC是二面角D﹣PB﹣C的平面角，设PA=AB=a，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，CO=，BO=，在Rt△POB中，PO===，OH==，∴在Rt△COH中，CH===，=，∴二面角D﹣PB﹣C的余弦值．19.（本小题共14分）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形。平面平面，，。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。参考答案：20.如图，在平面四边形中，.（1）求;（2）若,求的面积.

参考答案：(1)2；(2).解析：(1)中，由余弦定理：

2分

6分(2)由

8分

11分

12分

略21.对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果的极差，可实施如下操作：若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为.若，则继续对实施操作，…，实施次操作后的结果记为，其极差记为.例如：，.（Ⅰ）若，求和的值；（Ⅱ）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；（Ⅲ）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足.

参考答案：（Ⅰ）,,---------------------------3分（Ⅱ）法一：①当时，则所以，，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.所以，当时，恒成立.②当时，则所以或所以总有.综上讨论，满足的的取值仅能是2.---------------------8分法二：因为，所以数组的极差所以，若为最大数，则若，则若，则，当时，可得，即由可得所以将代入得所以当时，（）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.所以满足的的取值仅能是2.

---------------------8分（Ⅲ）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以是形如（其中）的数，又因为所以中每两个数的差都是3的倍数.所以的极差是3的倍数.------------------------------------------------9分法1：设，不妨设，依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得.所以，当时，.，依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得.所以，当时，.，所以存在，满足的极差.--------------------------------13分法2：设，则①当中有唯一最大数时，不妨设，则，所以所以，若是3的倍数，则是3的倍数.所以，则，，所以所以-------------------------------------------11分②当中的最大数有两个时，不妨设，则，所以，所以，若是3的倍数，则是3的倍数.所以，则，所以.所