湖南省益阳市筑金坝中学高三数学理月考试题含解析

湖南省益阳市筑金坝中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设平面向量，则

A．

B．

C.

D.参考答案：D略2.已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（

）参考答案：A3.已知i为虚数单位，复数z满足，则（

）A. B. C. D.参考答案：C由题得.故选C.4.已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值为（）A．14 B．13 C．12 D．11参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2y﹣x的位置，求出最大值．【解答】解：作出约束条件不等式组的可行域如图，目标函数z=2y﹣x在A处取得最小值，由解得A（7，9），目标函数z=2y﹣x的最大值为z=2×9﹣7=11．故选：D．5.复数化简的结果为

A.

B.

C.

D.参考答案：A，选A.6.集合，则=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B7.点p为双曲线：和圆：的一个交点，且,其中，为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（

）A

B

+1

C

1+

D

2参考答案：B8.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，，，，，则图中的值等于A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知向量，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由题意，所以答案A，B都不正确；又，且，所以答案C不正确，应选答案

D。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程在区间上的所有解的和等于

。

参考答案：

12.对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；

④当

时，函数

是区间

上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上所有正确结论的序号）参考答案：①④；13.已知函数，若a,b,c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，

则a＋b＋c的取值范围为

．参考答案：(25,34) 14.△ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，则AB?AC的最大值是．参考答案：

【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n，根据余弦定理建立关系，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：△ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n，cos∠BDA=，cos∠CDA=，∠BDA与∠CDA互补，∴=﹣，可得：2n2+m2=18．那么：AB?AC=m?n=≤×=（当且仅当m=取等号）故答案为．15.若，则ab的值是

．参考答案：-716.直线过椭圆的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为

．参考答案： 17.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有

.参考答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，（）.（1）求函数的单调区间；（2）求证：当时，对于任意，总有成立.参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↘

↗

↘.……2分

当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↗

↘

↗

.……4分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.……5分

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且.

所以时，.因为，所以，令，得.…………7分①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因，对任意，总有.…10分②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，.所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有.

…14分19.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．参考答案：略20.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；（2）由题意和平方关系求出sinB，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a、c，由三角形的面积公式求出答案．【解答】解：（1）由题意知，acosC+asinC﹣b﹣c=0，由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，由sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）得，sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC=0，则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0，又sinC≠0，则sinA﹣cosA=1，化简得，，即，又0＜A＜π，所以A=；（2）在△ABC中，cosB=得，sinB==…则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==…由正弦定理得，==…设a=7x、c=5x，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2?AB?BD?cosB，，解得x=1，则a=7，c=5…所以△ABC的面积S==…21.（本小题满分16分）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．参考答案：解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为．

…………1分由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为．

…………4分或

…………7分∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴,又∵抛物线开口向下，∴a＜0,从而b＞0,故有

∴抛物线的解析式为．

…………10分（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时，，

…………14分∴此时运动员距水面的高为10－＝＜5，因此，此次跳水会失误。

……16分22.如图，正三棱