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文档简介

湖南省益阳市筑金坝中学高三数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设平面向量,则

A.

B.

C.

D.参考答案:D略2.已知函数的定义域为,且满足,当时,,则函数的大致图象为(

)参考答案:A3.已知i为虚数单位,复数z满足,则(

)A. B. C. D.参考答案:C由题得.故选C.4.已知实数x,y满足不等式组,则目标函数z=2y﹣x的最大值为()A.14 B.13 C.12 D.11参考答案:D【考点】简单线性规划.【分析】画出约束条件表示的可行域,判断目标函数z=2y﹣x的位置,求出最大值.【解答】解:作出约束条件不等式组的可行域如图,目标函数z=2y﹣x在A处取得最小值,由解得A(7,9),目标函数z=2y﹣x的最大值为z=2×9﹣7=11.故选:D.5.复数化简的结果为

A.

B.

C.

D.参考答案:A,选A.6.集合,则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案:B7.点p为双曲线:和圆:的一个交点,且,其中,为双曲线的两个焦点,则双曲线的离心率为(

)A

B

+1

C

1+

D

2参考答案:B8.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:,,,,,,则图中的值等于A.

B.

C.

D.参考答案:D略9.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是()

A.

B.

C.

D.参考答案:D10.已知向量,,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案:D由题意,所以答案A,B都不正确;又,且,所以答案C不正确,应选答案

D。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程在区间上的所有解的和等于

参考答案:

12.对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c,使得对任意x1,都有,且对任意x2D,当时,恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法:①“平顶型”函数在定义域内有最大值;②函数为R上的“平顶型”函数;③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数;

④当

时,函数

是区间

上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上所有正确结论的序号)参考答案:①④;13.已知函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),

则a+b+c的取值范围为

.参考答案:(25,34) 14.△ABC中,D是BC上的点,DA=DB=2,DC=1,则AB?AC的最大值是.参考答案:

【考点】三角形中的几何计算.【分析】由题意,D是BC上的点,DA=DB=2,DC=1,设AB=m,AC=n,根据余弦定理建立关系,利用基本不等式的性质求解.【解答】解:△ABC中,D是BC上的点,DA=DB=2,DC=1,设AB=m,AC=n,cos∠BDA=,cos∠CDA=,∠BDA与∠CDA互补,∴=﹣,可得:2n2+m2=18.那么:AB?AC=m?n=≤×=(当且仅当m=取等号)故答案为.15.若,则ab的值是

.参考答案:-716.直线过椭圆的左焦点和一个顶点,则椭圆的方程为

.参考答案: 17.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”,类比猜想在空间中有

.参考答案:正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知函数,().(1)求函数的单调区间;(2)求证:当时,对于任意,总有成立.参考答案:(Ⅰ)函数的定义域为,.当时,当变化时,,的变化情况如下表:00↘

↘.……2分

当时,当变化时,,的变化情况如下表:00↗

.……4分综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.……5分

(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,;在上单调递减,且.

所以时,.因为,所以,令,得.…………7分①当时,由,得;由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以.因,对任意,总有.…10分②当时,在上恒成立,所以函数在上单调递增,.所以对于任意,仍有.综上所述,对于任意,总有.

…14分19.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?(2)在(1)的条件下,该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案:略20.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+asinC﹣b﹣c=0.(1)求A;(2)若AD为BC边上的中线,cosB=,AD=,求△ABC的面积.参考答案:【考点】正弦定理.【分析】(1)由正弦定理化简已知的式子,由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A;(2)由题意和平方关系求出sinB,由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC,由正弦定理求出a和c关系,根据题意和余弦定理列出方程,代入数据求出a、c,由三角形的面积公式求出答案.【解答】解:(1)由题意知,acosC+asinC﹣b﹣c=0,由正弦定理得:sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0,由sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C)得,sinAcosC+sinAsinC﹣sin(A+C)﹣sinC=0,则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0,又sinC≠0,则sinA﹣cosA=1,化简得,,即,又0<A<π,所以A=;(2)在△ABC中,cosB=得,sinB==…则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==…由正弦定理得,==…设a=7x、c=5x,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2﹣2?AB?BD?cosB,,解得x=1,则a=7,c=5…所以△ABC的面积S==…21.(本小题满分16分)某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面米,入水处距池边的距离为4米,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(Ⅰ)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.参考答案:解:(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为.

…………1分由题意,知O(0,0),B(2,-10),且顶点A的纵坐标为.

…………4分或

…………7分∵抛物线对称轴在y轴右侧,∴,又∵抛物线开口向下,∴a<0,从而b>0,故有

∴抛物线的解析式为.

…………10分(2)当运动员在空中距池边的水平距离为米时,即时,,

…………14分∴此时运动员距水面的高为10-=<5,因此,此次跳水会失误。

……16分22.如图,正三棱

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