江西省吉安市夏造中学高三数学文联考试题含解析

江西省吉安市夏造中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（

）A．2 B．4 C．18 D．36参考答案：C由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．

2.下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.若复数（a2﹣1）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为(

)A．1 B．0 C．1或﹣1 D．﹣1参考答案：D【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；函数思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的实部为0，虚部不为0，求解即可．【解答】解：复数（a2﹣1）+（a﹣1）i是纯虚数，可得a2﹣1=0，并且a﹣1≠0，解得a=﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．4.等差数列，则数列的前9项之和等于（

）A．54 B．48 C．72 D．108参考答案：D略5.在复平面内,复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

参考答案：A略6.已知p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．【解答】解：关于p：?x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，故命题p是真命题，关于q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，∵?x∈（0，+∞），sinx≤1，故命题q是假命题，故p∨￢q是真命题，故选：C．7.x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A．或－1

B．2或

C．2或1

D．2或－1参考答案：【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】D

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．

由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．

若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，

若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y-ax取最大值的最优解不唯一，

则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，

若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y-ax取最大值的最优解不唯一，

则直线y=ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1，

综上a=-1或a=2，故选：D【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．8.若数列的通项公式是，则等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B9.已知函数，则

参考答案：D10.已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状，记表示第行的第个数，则=(

)A.

B.

ks5u

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，若数列是等比数列，且，则有________也是等比数列．参考答案：12.几何证明选讲选做题)如图，⊙O的直径=6cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接，若30°，PC=

。参考答案：略13.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．参考答案：【考点】定积分；几何概型．【专题】计算题．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S==，所以p=．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14.已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个面的面积是__________．参考答案：由三视图可知，该几何体如图所示，且，，，∴，，，且，，，∴，故该三棱锥最小的一个面面积是．15.函数为增函数的区间是________，参考答案：

16.已知，且，则的最小值是

.参考答案：17.如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP=

．参考答案：a【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】先由垂径定理可得直角三角形PAO，从而用a表示BP，再利用圆中线段相交弦关系得关于CP的等式，即可求得CP．【解答】解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，．由相交弦定理知，BP?AP=CP?DP，即，所以．故填：．【点评】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用，本题还考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．19.（13分）在等差数列{an}中，首项a1=1，数列{bn}满足，且b1b2b3=．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）由a1=1，，且b1b2b3==，可求得公差，即可求出an；（2）由（1）得bn=（）n，anbn=，∴数列{anbn}的前n项和Sn可用错位相减法求得．【解答】解：（1）设等差数列数列{an}的公差为d，∵a1=1，，且b1b2b3==，3a1+3d=6∴d=1an=1+（n﹣1）×1=n；（2）由（1）得bn=（）n，anbn=，∴数列{anbn}的前n项和SnSn=，∴sn==∴．【点评】本题考查了等差数列的计算，及错位相减法求和，属于中档题．20.已知函数f（x）=lnx﹣x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1?x22＜2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）确定函数的定义域，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；（2）证明x2＞2，构造g（x）=lnx﹣x﹣m，证明g（x）在（0，1）上单调递增，即可证明结论．【解答】解：（1）f（x）=lnx﹣x的定义域为（0，+∞）

…令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1所以函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）…

…（2）由（1）可设f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，满足lnx﹣x﹣m=0且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0

…由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2

…又由（1）可知f（x）=lnx﹣x在（1，+∞）递减故x2＞2

…令g（x）=lnx﹣x﹣mg（x1）﹣g（）=﹣x2++3lnx2﹣ln2

…令h（t）=+3lnt﹣ln2（t＞2），则h′（t）=﹣．当t＞2时，h′（t）＜0，h（t）是减函数，所以h（t）＜h（2）=2ln2﹣＜0．…所以当x2＞2时，g（x1）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g（）

…因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以x1＜，故x1?x22＜2．

…综上所述：x1?x22＜2

…21.（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．参考答案：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）点B到平面MAC的距离．（12分）22.已知数列满足以下两个条件：①点在直线上，②首项是方程的整数解，（I）求数列的通项公式；（II）数列