高中数学专题训练（教师版）一表面积和体积

高中数学专题训练（教师版）一表面积和体积

一、选择题

1.一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是近，小,乖,这个长方

体的对角线是（）

A.273B.3啦C.6D乖

答案D解析设长方体共一顶点的三棱长分别为4、6、C,

则ab=啦，be=小,ac=乖,

解得:a=y[2,6=1,c=yj3,

故对角线长/=\ja2+b2+c2=y{6.

2.圆柱的侧面展开图是边长为6万和4%的矩形，则圆柱的全面积为（）

A.67r（4%+3）B.8-3TT+1）C.644乃+3）或8%（3兀+1）

D.6兀（4兀+1）或8万）（3兀+2）

答案C解析分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论.

32

3.已知正方体外接球的体积是行心那么正方体的棱长等于（）

A.2啦B.孚C.平D竽

答案D解析由题意知「=%〃=争，...火=2,外接球直径为4,即正

方体的体对角线，设棱长为则体对角线/=/。=4,4

4.（2010•新课标全国卷）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,

顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

711

A.na2C.-^-7tcrD.Sita1答案B

解析如图，O[,。分别为上、下底面的中心，D为OQ的中点，则DB

为球的半径，有

r=DB=\）OD2+OB2=+y

7々27

:•S表=4%/=4ffX—=§兀/.

5.将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面

平行于底面），所得几何体的表面积为（）

A.7^3B.6小C.3小D.答案A

解析原正四面体的表面积为4X乎=九8，每截去一个小正四面体，表

面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4X2X乎=2小,

故所得几何体的表面积为7小•故选A.

6.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右

面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这

个正方体的下面是（）

A.0B.8C.奥D.运

答案B

7.

（2010•北京卷，理）如图，正方体的棱长为2,动点E,F

在棱小囱上，动点P,。分别在棱NDCD±.若EF=1,AxE=x,DQ=y,

DP=z（x,y,z大于零），则四面体产所。的体积（）

A.与x,y,z都有关B.与x有关，与y,z无关

C.与y有关，与x,z无关D.与z有关，与x,y无关

答案D解析由于点0到直线小囱的距离为2啦，钎=1,故/EF0的

面积为定值，所以这个三角形的面积与x,y无关，由于点P到平面的距离

等于点P到平面小囱的距离，这个距离等于点P到直线4D的距离，等于孚

z,故四面体阳0的体积为:X^XIXZ啦X坐z=；z,故四面体PEE0的体积

只与Z有关，与X,y无关.

8.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为

（）

A邓兀6B.晒2C.兀2D.57r12答案B

解析

AOC

方法一：作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为上正方体的棱

长为a,

J2

那么CC'=a,OC=2a-

在RtaC，CO中，由勾股定理得

CC'1+0^=00'2,

即a2+（乎a）?=R2,；.R=乎q,

因此「半球V正方体=当兀/a3=乖兀2.

方法二：将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的

正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它

的外接球的直径，设原正方体棱长为球的半径是凡则根据长方体的对角线

性质，得（2和=J+J+（2。）2,

即4R2=6a2,；.R=2a-

从而「牛年=（孝a），=坐兀

修正方体=

因此入球V正方体=当7toi<73=#兀2.

二、填空题

9.

如图所示，在长方体Z8C。一N'B'CD'中，用截面截下一个棱锥C-

A'DD',求棱锥C-Z'DD'的体积与剩余部分的体积之比为.

解析方法一设4B=a,AD=h,DD'=c,

则长方体/BCO-N'B'CD'的体积P=a6c.

又S"3=*c,且三棱锥C-/'DD'的高为8=a

忆三枝椎C"DD'=亍义/，DD''CD=^abc.

则剩余部分的几何体积入=abc-^abc=^cibc.

方法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱，-

BCCB',设它的底面A'面积为S,高为//,则它的体积为V=S/z.

而棱锥C-Z'DD1的底面面积为上,高是九

因此，棱锥DD'的体积

Vc-A'DD'=］义*"=07?.

余下的体积是Sh-*7?=^Sh.

所以棱锥C-HDD'的体积与剩余部分的体积之比为

yShySh：

66=15.

10.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°,底面圆

的半径为1,则该圆锥的体积为_______.

答案坐

解析因为扇形弧长为271,所以圆锥母线长为3,高为2啦，所求体积r=

^XKXI2X2^/2=2,兀

11.已知N(0,0),8(1,0),C(2,l),。(0,3),四边形488绕y轴旋转210。,

则所得几何体的体积为.

答案

357r

12

解析如图，；嗫位=；(兀・2产2=

17

V^=产T02+2X1+/)=铲..•.四边形Z68绕丁轴旋转360。所得几何体

的体积为竽+净=5兀.

•・•绕丁轴旋转210。所得几何体的体积为瑞乂5兀=若.

12.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶

点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为《底面周长为3,那么这个球的体

O

积为•

47r

答案y

三、解答题

13.(2010•全国卷H,理)已知正四棱锥S-/BCD中，SA=25,那么当该

棱锥的体积最大时，它的高为多少？

解析设正四棱锥S-ABCD的底边长为2x,则AC=BD=2-j2x,高h=

y/l2-2x2,所以体积r=1x4x2^/12-2x2.庐=yx4(12-2x2),.-.(V2)'=”：口

64

x3-^x5,由(户)'=0,得x=2.

14.已知六棱锥尸一/38EE其中底面为正六边形，点尸在底面上的投影

为正六边形中心，底面边长为2cm,侧棱长为3cm,求六棱锥P—N8CQEE的体

积.

分析由已知条件可以判断六棱锥为正六棱锥，要求其体积，求出高即可.

解析

如图，。为正六边形中心，则PO为六棱锥的高，G为中点，则PG为

六棱锥的斜高，由已知得：CD=2cm,则OG=g,CG=1,

在Rt△尸CG中，PC=3,CG=1,则

PG=ylPC2-CG2=2y/2.

在RSPOG中，PG=2®OG=小，则

PO=y/PG2-OG2=y[5.

VP-ABCDEF=^SABCDEF'PO=gX6XX2?XA/5=2^/75.

15.棱长为。的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积.

解析

以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正

方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球.由图知正方体的棱长为彳

”，正方体的对角线长为乎a,设正四面体的外接球的半径为R,则2R=坐/,

_V6

「•火=下"。，

于是球的表面积5=47r,（W（7）2=1^672.

拓展练习•自助餐°。

TUOZHANLIANXIZlZHUCANI新源标版l»»»»....................................................,

1.正六棱锥尸一N8C0EE中，G为尸8的中点，则三棱锥。一GNC与三棱

锥P—G4C体积之比为（）

A.1：1B.1：2

C.2：1D.3：2

答案C

解析

p

VD-GAC=VG-DAC=F"DC予》

Vp-GAC=3Pp.ABC=VG-ABC=个,ABC；

又S“DC:S^ABC=2：1,

J/^D04c•VpGAC=2：1

2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm,要使体积最大，则高应为

解析•设圆锥底面半径为r,高为4,则〃2+,.2=2（）2,.”=4400-川,.•・圆

锥体积/=；兀/。=1■兀（400-炉）。=；兀（4000-盾，令V'=1■兀（400-3//2）=0得h

=笠旦当辰笠但时，V>0；当外笠区时，V<0,.•/=呼时，体积最

［二二二,

（2010•上海春季高考）在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40

cm,母线长最短50cm、最长为80cm,则斜截圆柱侧面面积S=cm2.

答案2600兀

4.把一个棱长为。的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体

的表面积为.

答案18廿

教师备选题

HBJIAOSHIBEIXUANTil新i*标版

1.如图1,一个正三棱柱容器，底面边长为a,高为2a,内装水若干，将

容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2,这时水面恰好为中截面，则图1中容

器内水面的高度是

图2

3

答案2a

解析如图1中容器内液面的高度为h,液体的体积为V,则V=S“Bch,

3

又如题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为了以相。高度为2a,

则忆=/“叱2。,

3

•''h=

S&ABC2“,故填呼.

2.如图所示，已知正方体N88一4囱。。1的棱长为3,长度为2的线段

的一个端点M在。。1上运动，另一端点N在底面N8C。上运动，则的

中点P的轨迹（曲面）与共一-顶点D的三个面所围成的儿何体的体积为.

答案I

解析由于/88-4囱©。|是正方体，所以DDi工DN,故三角形。

是直角三角形，斜边MN=2,又因为P为MM中点，所以。P=l,即P点到定

点。的距离等于常数1,因此P点的轨迹是一个以。为球心，1为半径的球面被

正方体所截得的部分，所以所求几何体的体积r=1x^xi3=J.

030

3.（09•陕西）若正方体的棱长为啦，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸

多面体的体积为（）

A手B芈

63

C亚D?

J33

答案B

解析

由正方体的对称性可知，任意两个面的中心的连线长度相等，故所得凸多面

体为两个共底的特殊正四棱锥，且其棱长均为1,如图，在正四棱锥P-OIO2O3O4

中，底面OQ2O3O4为正方形，易得其面积为1，在三角形尸。2。4

中，易求得其高为乎，故山-。。203。4=/卜坐，从而所求凸多面体的体

积为2吵QQO3O4邛，选B.

4.

如图，在多面体Z8C0EE中，已知四边形4BC。是边长为1的正方形，且

△4DE、ZiBC户均为正三角形，EF//AB,EF=2,则该多面体的体积为.

答案乎

解析过/、8两点分别作NA/、8N垂直于ER垂足分别为〃、N,连结

DM、CN,可证得。"-LEE、CN1EF,多面体Z5C0EF分为三部分，多面体的

体积为VABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNC'

•：NF=；,BF=1,；.BN=坐.

V2

作垂直于BC于上凡则〃为8C的中点，则加=苛.

；.S&BNC=《BCNH=I=4.

.yr___LOA7Z7—

一yF-BNC=W、4BNC'Nr=24，

__巫一啦

VE-AMD=^F-BNC=24'VAMD-BNC=SABNC^N=4•

.v-啦

,•/ABCDEF3.

空间几何体的结构及其三视图和直观图、

空间几何体的表面积与体积

一、选择题

1.（2012•江西高考文科・T7）若一个儿何体的三视图如图所示，则此儿何体

的体积为（）

(B)5（呜(D)4

(A)T

【解题指南】由三视图想象出儿何体的直观图，由直观图求得体积.

【解析】选D.由三视图可判断该儿何体为直六棱柱，其底面积为4,高为1,所以

体积为4.

2.（2012•新课标全国高考文科•T7）与（2012•新课标全国高考理科•T7）

相同

如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某儿何体的三视图，则此儿

何体的体积为（）

(A)6(B)9(D)18

【解题指南】由三视图想象出儿何体的直观图，由直观图求得体积.

【解析】选B.由题意知，此儿何体是三棱锥，其高h=3,相应底面面积为

S=-x6x3=9,:.V=-Sh=-x9x3=9

233

3.（2012•新课标全国高考理科•T11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0

的球面上，4ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC=2,则此棱锥

的体积为（）

,亚百V2V2

A.----——--------

6（B）6（C）3（D）2

【解题指南】思路一：取AB的中点为。，将棱锥分割为两部分，利用

'=VB-CDS+f/.4-CDS求体积；思路二：设点。到面ABC的距离为d,利用

展13sZAX/IDVx2d

求体积;

思路三：利用排除法求解.

【解析】选A.方法一：•••50是球0的直径，，/。45=/。85=90。.

•.•H4=8C=ZC=1,SC=2,NS=8S=G,取AB的中点为。，显然J_CD,

ABLSD,Z8_L平面CDS.

CD=—

在bCDS中，2,口，要SC=2,利用余弦定理可得

cos/CDS=—-^=,

V33

sin/.CDS=,—

故闻，

.c1V3VTT472V2

ASS222V332

]111^2^2

・，=%CDs+G8s=3xS.8sXBD+5S.8sx4D=5SExBA=]XkXl=x

r=在

方法二：MB。的外接圆的半径,一丁，点°到平面的距离

3,

2d2

SC为球°的直径n点S到平面ABC的距离为3

展为“2"*与城=也

此棱锥的体积为33436

।

方法三：'中22'=不，排除8，C，O

4.（2012•新课标全国高考文科・T8）平面a截球0的球面所得圆的半径为1,

球心0到平面a的距离为镜，则此球的体积为（）

（A）^6n（B）473n（C）4^6n（D）6^3n

【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股定

理求得球的半径，然后利用公式求得球的体积.

4I-

I-----亡喂=—7rR3=4Ji1

【解析】选B.设球0的半径为R,则1<=#+(&>=百，故米3

5.（2012•陕西高考文科•T8）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得

【解题指南】结合原正方体，确定两个关键点用，A和两条重要线段.4和3c的

投影.

【解析】选B.图2所示的儿何体的左视图由点A,D,用，2确定外形为正方形,

判断的关键是两条对角线和是一实一虚，其中要把和B。区别开来，

故选B.

6.（2012•浙江高考文科-T3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示,

则该三棱锥的体积是（）

正粳怅

他祝图

(A)1cm3(B)2cm!(C)3cm3(D)6cm3

【解题指南】由三视图可知，儿何体是底面为两直角边分别是1和2的直角三角

形,高为3的棱锥.

【解析】选A.三棱锥的体积为fxlx2x3=l(cmD.

7.(2012•北京高考文科•T7)与(2012•北京高考理科•T7)相同

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()

62k3fk—4—

正(主)视图侧(左)视图

(A)28+6后(B)30+6后(C)56+12^(D)60+12^

【解题指南】由三视图还原直观图，再求表面积.

【解析】选B.直观图如图所示，

底面是边长AC=5,BC=4的直角三角形，且过顶点P向底面作垂线PH,垂足在AC

SMBC=—x4x5=10SAPAC=—X5X4=10

上，AH=2,HC=3,PH=4.2,2.因为「"平

面"BO,所以尸"，鸟。.又因为

BC_L4cPHCUC;H,所以§°_1平面尸月C,所以BC,PC,所以

$叱=于4乂5=10,在好中，PA=2#,PB=AB=a,取PA中点E,连结

S.P.K——x2V5x6=6#s

BE,则8E=6,所以2.因此三棱锥的表面积为

10+10+10+6石=30+6石

8.（2012•湖南高考理科•T3）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该

儿何体的俯视图不可能是（）

【解题指南】从俯视图观察可知，正视图和侧视图不同的是D,正视图应有虚线.

【解析】选D.由“正视图俯视图等长，侧视图俯视图等宽”，知该儿何体正视图

与侧视图相同，而D项中正视图与侧视图不同，可知选D.

9.（2012•湖南高考文科•T4）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则

该几何体的俯视图不可能是（）

【解题指南】找出正视图和侧视图不相同的俯视图.

【解析】选C.“正视图俯视图等长，侧视图俯视图等宽”，本题正视图与侧视图

相同，可知选C.

10.（2012•福建高考文科・T4）与（2012•福建高考理科•T4）相同

一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）

（A）球（B）三棱锥（C）正方体（D）圆柱

【解题指南】通过了解基本空间儿何体的各个视图分别是什么就能直接解题.

【解析】选D.圆柱的三视图，分别是矩形、矩形、圆，不可能三个视图都一样,

而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可

以都是正方形.

11.（2012•广东高考理科*T6）某儿何体的三视图如图所示，

它的体积为（）

（A）12n（B）45n（C）57n（D）81n

【解题指南】根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解决本题的关键.本题

显然是一个由同底的圆柱和圆锥组成的组合体.

【解析】选C.此儿何体是一个组合体，上方为一个圆锥，下方为•个同底的圆

V=^-X32X5+-X^-X32X4=57万

柱，所以其体积为3

12.（2012•广东高考文科•T7）某几何的三视图如图所示，它的体积为

正构图网程图

俯视图

(A)72n(B)48n(C)30n(D)24n

【解题指南】根据三视图准确判断出此几何体的形状是解决本题的关键.显然图

中几何体是一个由半球和倒立的圆锥组成的组合体.

【解析】选C.由三视图可知该儿何体是由半球和倒立的圆锥组成的组合体.

1,____|4

V=-TTX32xJ52-32+—x—%x33=3O万

3V23

13.（2012•湖北高考理科•T4）已知某儿何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积为（

8710不

(A)3⑻3n(03(D)6n

【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积的求法,解答本题的关键是正确地

想象出直观图，再补体代入体积公式求解.

【解析】选B.解答本题可采取补上一个与它完全相同的几何体的方法，

1<2’C

.・.V=一乃xlx6=3万.

2

二、填空题

14.（2012•湖北高考文科・T15）已知某儿何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积为.

【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积求法,解答本题的关键是正确地想

象出直观图,再代入体积公式求解.

【解析】由本题的三视图可知，该几何体是由三个圆柱组合而成，其中左右两个圆

柱等体积.V=nX22XlX2+nX12X4=12n.

【答案】12n

15.（2012•江苏高考•T7）如图，在长方体/8CO-Z4GA中，

AB=AD=3cm,AA,=2cm,则四棱锥〃-BBRD的体积为cm\

【解题指南】关键是求出四棱锥的高，即点A到平面84。刀的距离.再利用公式

进行求解.

【解析】由题意知，四边形ABCD为正方形，连接AC,交BD于0,则ACJ_BD.由

面面垂直的性质定理，可证AOJ_平面86QQ.四棱锥底面88QQ的面积为

372x2=672,从而嗫的qq=；*CMxS长方形附仅=6.

【答案】6

16.（2012•浙江高考理科•T11）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所

示，则该三棱锥的体积等于cm3.

【解题指南】由锥体体积公式可得.

-1x-1-x-3x2c=1,

【解析】三棱锥的体积为：32（cm3）.

【答案】1

17.（2012•天津高考理科•T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,

则该儿何体的体积为

【解题指南】由三视图正确判断出组合体的形状是关键.

【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为6,3,1的长方体，下面是两个

球半径为之3的相切的球体，所以所求的体积是：

2

A3

展2/+4方体=2x2不x（、）+6x3x118+91

【答案】18+9万

18.（2012•天津高考文科•T10）一个儿何体的三视图如图所示（单位：加）,

则该儿何体的体积为认

【解题指南】由三视图正确判断出组合体的形状是关键.

【解析】组合体的底座是一个棱长分别为4,3,2的长方体，上面是一个高为4

3

的四棱柱，底面的面积S=],所以所求的体积是

V=V”生•V-=4X亏-3X4X2=6+24=30.

【答案】30

19.（2012•山东高考理科•T14）如图，正方体44GA的棱长为1,

分别为线段""”瓦。上的点，则三棱锥。一包户的体积为.

/；

【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道8。上的任意

一点到面的距离相等.

【解析】"出〃的面积为正方形面积的一半，三棱锥的高即为正方体的棱长，

}D「EDF=*ED、=；Sgq•〃=1x:xXZ8=J

所以3326.

【答案】6

20.（2012•山东高考文科*T13）如图，正方体"B8-4BCQ的棱长为bE

为线段BC上的一点，则三棱锥A"El的体积为.

【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道8C上的任意

一点到面0力2的距离相等.

【解析】以为底面，则易知三棱锥的高为1,故。=:xgxixixi=；

320

【答案】6

21.（2012•安徽高考理科•T12）某儿何体的三视图如图所示，该儿何体的表

面积是

正（主）视图侧（左）程图

俯径图

【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出儿何体的直观图.

【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱,

S=2X-X(2+5)X4+(2+5+4+J42+(5-2)2)X4=92

几何体的表面积是2

【答案】92

22.（2012•安徽高考文科•T12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的

体积等于

正（主）极图侧（左）攫图

俯视图

【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则得出儿何体的直观图，进

而求得体积.

【解析】该儿何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，则该儿何体的体积是

r=-x(2+5)x4x4=56

【答案】56

23.（2012•辽宁高考理科・T13）一个儿何体的三视图如图所示，则该儿何体

的表面积为.

【解题指南】读懂三视图，它是长方体（挖去一个底面直径为2cm的圆柱），分

别求表面积，注意减去圆柱的两个底面积.

【解析】长方体的长宽高分别为4,3,1,表面积为4x3x2+3x1x2+4x1x2=38；

圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为2"X1X1=2T；圆柱的两个底面积

2XTXF=2%.故该几何体的表面积为38+27-2万=38.

【答案】38

24.（2012-辽宁高考文科•T13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体

的体积为.

【解题指南】读懂三视图，它是圆柱和长方体的组合，分别求体积即可.

【解析】该组合体上边是一个圆柱，底面圆直径为2,母线长为1；体积

匕=S6=乃X『xI=7T,下面是一个长方体，长、宽、高分别为4,3,1,体积

%=4x3x1=12.故组合体体积匕+%=12+上

【答案】12+万

25.（2012•辽宁高考文科・T16）已知点P,A,B,C,D是球0表面上的点,

PA，平面ABCD,四边形ABCD是边长为2G的正方形.若PA=26，则AOAB的面

积为.

【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系，将点P,A,B,C,D看作长方体的顶点

来考虑.

【解析】由题意，PAJ_平面ABCD,则点P,A,B,C,D,可以视为球0的内接长方体

的顶点，球0位于该长方体的对角线的交点处，那么aOAB的面积为长方体对角

面的四分之一.

vAB=2百,PA=2瓜：.PB=6,AO/5的面积=-x2>/3x6=373.

4

【答案】36

三、解答题

26.(2012•新课标全国高考文科•T19)如图，在三棱柱ABC-ABG中，侧棱

垂直底面，ZACB=90°,AC=BC=|AA,,D是棱AAI的中点.

(I)证明：平面BDC」平面BDC；

(II)平面BDG分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

【解题指南】(1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与

另一个平面垂直，要证平面BDG_L平面BDC,可证,G_L平面BDC；

(2)平面BDG分棱柱下面部分8一加℃1为四棱锥，可直接求体积，上面部分

可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比.

［解析］(I)由题设可知BC,CG，8c•L/C，CGn/C=C,所以8C_L平面

ACC,A,

又DC】u平面ACCjA,,所以。G1BC

由题设知乙仙G=N/℃=45。所以NCg=90°,即DCJDC又

DCf)BC=C,

所以Z）G，平面BDC.又DC】u平面BDC],故平面BDC}±平面BDC.

（n）设棱锥8一6CG的体积为匕，4C=1.由题意得

又三棱柱"sc-44a的体积忆=1,所以（八匕）：匕=1:1.

故平面80G分此棱柱所得两部分体积的比为1：1,

27.（2012•江西高考文科•T19）如图，在梯形ABCD中，AB〃CD,E,F是线

段AB上的两点，KDE±AB,CF±AB,AB=12,AD=5,BC=4&,DE=4.现将AADE,

△CFB分别沿DE,CF折起，使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.

（1）求证：平面DEG,平面CFG；.求多面体CDEFG的体积.

【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与

另一个平面垂直，要证平面DEGJ_平面CFG,可证EGJL平面CFG；

（2）多面体CDEFG为四棱锥，由平面DEGJ_平面CFG得到四棱锥的高，利用体

积公式求体积.

【解析】（1）由已知可得AE=3,BF=4,则折叠完后EG=3,GF=4,又因为EF=5,

所以可得EGLG/.

又因为,底面EG尸，可得CF1EG,即EG1平面CFG,所以平面DEG_L平面

CFG.

（2）过点G作GO垂直于EF,GO即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为

1112

—

S氏方形DEFC•GO二一X4X5X—=16.

335

空间几何体的表面积和体积

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体

积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几

何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学

会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求

解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2010年高考有以下特色：

（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转

体中某些元素有关的计算问题；

三.【要点精讲】

1.多面体的面积和体积公式

名称侧面积（SG全面积（S全）体积（V）

棱柱直截面周长XIS底•h=S直截面•h

棱柱S侧+2S底

直棱柱chS底，h

棱锥各侧面积之和

棱：S底•h

S侧+S底

锥正棱锥-chz3

2

棱分各侧面面积之和"h（S上底+S下底

棱

S侧+S上底+S下底

台正棱台(c+c')h'

2+Js下底»s下底）

表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h'表示斜高，1表示侧

棱长。

2.旋转体的面积和体积公式

名称圆柱圆锥圆台球

S«2Jirinrl冗(ri+r2)1

冗(ri+r)1+冗(r2i+r2)

S仝2nr(1+r)nr(1+r)224nR2

222223

Vnrh(UP兀rl)—nrh—nh(ri+rir2+r2)-JiR

333

表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，小r2分别表示圆台上、

下底面半径，R表示半径

四.【典例解析】

题型1:柱体的体积和表面积

例1.一个长方体全面积是20cn?,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.

解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm^1cm

...一2(xy+yz+zx)-20

依题意得：4.(1)

4(x+y+z)-24⑵

由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由(3)—(1)得x?+y2+z2=16

即尸=16

所以/=4(cm),,

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表

面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、

体积之间的关系。

例2.如图1所示，在平行六面体ABCD—AiBQDi中,已知AB=5,AD=4,AA,=3,

71

AB1AD,ZA,AB=ZAAD=—»

I3

(1)求证：顶点A,在底面ABCD上的射影O在NBAD的平分线上；

(2)求这个平行六面体的体积

解析：(1)如图2,连结AQ,贝ijAQJ_底面ABCD。作OM_LAB交AB于M,作ON

J_AD交AD于N,连结A|M,A]N。由三垂线定得得A|M_LAB,A|N_LAD。VZA,AM=

NAiAN,

RtAA|NA^RtAA,MA,.*.AlM=A1N,

从而OM=ON。

...点O在/BAD的平分线上。

/、%13

(2)VAM=AA,cos—=3X-=-

322

.AM3r-

..AO=-------=-J2o

)2

cos一

4

99

又在RL^AOAi中，AIO2=AA!2-AO2=9--=-

22

・・・AQ=nZ，平行六面体的体积为P=5x4x述二30五。

22

题型2：柱体的表面积、体积综合问题

例3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是正,内,而，这个长方体对角线的长是

（）

A.273B.3A/2C.6D.V6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为片1,b=42,c=6则对角线/的长为

/=Ja~+b~+c~—y[6；答案D。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体枳的几何要素一棱长。

例4.如图，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EBC将三棱

柱分成体积为V,、%的两部分，那么V,：V2=o

解：设三棱柱的高为h,匕下底的面积为S,体积为V,则旷=%+%=$11。

VE.F分别为AB、AC的中点，

•••SAAEF=­S,

4

Vi=-h(S+—S+Js•一)=—Sh

34V412

V2=Sh-Vl-—Sh,

12

AV,:V2=7:5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的儿何元素之间的对应

关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可

题型3：锥体的体积和表面积

例5.7.（2009山东卷理）一空间几何体的三视图如

图所示，则该几何体的体积为（）.

A.2乃+2』B.4乃+2百C.

c2由,273

2TT+----D.414-----

33

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2万，四棱锥的底

面

边长为后，高为JL所以体积为

所以该几何体的体积为2乃+空.

3

答案:C正（主）视图侧（左）视图

【命题立意】：本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图，并能准确地

计算出.几何体的体积.

（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，

PA1平面=2AB则下列结论正确的是

A.PB1AD

B.平面尸/8,平面P8C/'\、X

C.直线BC//平面尸/E"

D.直线产。与平面48c所成的角为45°

【答案】D

【解析】VAD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB,平面PAE,所

以平面尸48，平面P8C也不成立；BC〃AD〃平面PAD,直线8C〃平面尸NE也不成

立。在RfAPZD中，PA=AD=2AB,，NPDA=45°.，D正确

（2009全国卷H文）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45。角的平

7乃

面截球O的表面得到圆Co若圆C的面积等于—，则球O的表面积等于X

4

答案：8n

解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由

1.

S=4成2=4%（外才了=8万.

例61.（2009年广东卷文）（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示，墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,

下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图.

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积

（3）证明:直线BDL平面PEG

图4图5图6

【解析】（1）侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为：V=Vp_EFGH=VABCD-EFGH

=；X402*60+402x20=32000+32000=64000(cm2)

(3)如图，连结EQHF及BD,EG与HF相交于O,连结PO.

由正四棱锥的性质可.知，尸01•平面EFGH,PO1HF

又EG工HF：.HF1平面PEG

又BDPHF.•.801.平面PEG：

例7.ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形

ABCD所在的平面，且GC=2,求点B到平面EFC的距离？

解：如图，取EF的中点O,连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B-EFG。

G

3

设点B到平面EFG的距离为h,BD=4jI,EF=2a,CO=-X472=372o

4

GO=>]co2+GC2=7（3V2）2+22=J18+4=V22。

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

由乙.EFG=L口2,得泊・GOi二S：•

63

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B

为顶点，4EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同•个三棱锥的体积的唯性列方

程是解这类题的方法