新教材高中数学必修第一册5 .1 .2 弧度制

5.1.2弧度制

【学习目标】1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“1弧度的角

的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一度量角的两种单位制

1.角度制：

(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制.

(2)1度的角：周角的击.

2.弧度制：

⑴定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

知识点二弧度数的计算

思考比值(与所取的圆的半径大小是否有关？

答案一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.

知识点三角度与弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°—2TIrad2兀rad=3602

180°=7irad7irad=180°

711rad=(^|o^57.30°

1°—IQCrad^0.01745rad

loU

度数X］；0—弧度数弧度数义(詈)。=度数

知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,a(0<a<2兀)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l=aR.

(2)扇形面积公式：S^^lR—^aR2.

思考扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？

答案扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧

是底，半径是底上的高.

预习小测自我检验

1.18°=rad.

较口案木—]0

2诃=---------

答案54°

3.若a=£,则a是第象限角.

答案一

4.圆心角为或弧度，半径为6的扇形的面积为.

答案6兀

1JT

解析扇形的面积为962x1=6兀

题型探究探究重点素养提升

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一、弧度制的概念

例1下列说法正确的是()

A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径

B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大

C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等

D.用弧度表示的角都是正角

考点弧度制

题点弧度制定义

答案A

解析对于A,根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；

对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C,不在同

圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D,用弧度表示的角也

可以不是正角，故D错误.

反思感悟对弧度制定义的三点说明

(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值.

(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2rad可简写为2.

(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.

跟踪训练1下列各说法中，错误的是()

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角

C.根据弧度的定义，180。一定等于兀弧度

D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

答案D

解析根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无

关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，其他A,B,C正确.

二、角度制与弧度制的互化

例2把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

2兀

(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-y.

解⑴72。=72乂^^=知；

71

(2)—300。=—300X研

loU

反思感悟角度与弧度互化技巧

JT

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式兀rad=180。是关键，由它可以得到：度教又两=

1OU

弧度数，弧度数=度数.

717Tt

跟踪训练2已知1=15。，4=元，了=1，9=105。，9=五，试比较a,乃仇夕的大小.

角翠"w＜e=cp.

三、与扇形的弧长、面积有关的计算

例3已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数.

解设扇形圆心角的弧度数为。(0＜。＜2兀)，弧长为/cm,半径为Rem,

7+2R=10,①

依题意有11„

51R=4.②

①代入②得R2—5R+4=0,解之得RI=1,&=4.

当R=1时，1=8,此时，。=8rad>2兀rad舍去.

21

当H=4时，1=2,此时，9=w=](rad).

综上可知，扇形圆心角的弧度数为3rad.

延伸探究

1.已知一扇形的圆心角是72。，半径为20,求扇形的面积.

解设扇形弧长为/,因为圆心角72。=72乂忐=胃rad,

所以扇形弧长/=|a|-r=^X20=8兀，

于是，扇形的面积S=]/"=5X871X20=807：.

2.已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？

解设扇形圆心角的弧度数为伏0<，<2兀)，弧长为/,半径为r,面积为S,

则/+2厂=4,所以/=4—

所以S=^l-r=1X(4—2r)Xr=—r2+2r=—(r—1)2+1,

所以当厂=1时，S最大，且Smax=l,

„I4-2X1

因m此，0=：=---[---=2(rad).

反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略

(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=3/R=3aR2(其中/是扇形的弧长，R是扇形的半径,

a是扇形圆心角的弧度数，0<a<2兀).

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中

已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

跟踪训练3已知扇形的半径为10cm,圆心角为60。，求扇形的弧长和面积.

1T

解已知扇形的圆心角1=60。=1,半径厂=10cm,

则弧长/=a•厂=界10=当％m),

于是面积S=^r=T><3^X10=当匹(cn?).

随堂演练基础巩固学以致用

1.下列说法中，错误的是（）

A.半圆所对的圆心角是兀rad

B.周角的大小等于2兀

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

答案D

解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确，D错误.

2.若a=—2rad,则a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（）

1414

A.-ynB.一W兀

77

CT8兀D--同兀

答案B

解析显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了17周，转过的弧度为一17*2兀

14

=一不兀

4.在半径为10的圆中，葭的圆心角所对弧长为（）

40兀20兀200兀400兀

3D.3,31^.3

答案A

47r40JT

解析由于r=10,a=W，所以弧长/=八1=亍.

5.周长为9,圆心角为1rad的扇形面积为.

宏安—9

口水2

{2r+l=9,什=3,

解析由题意可知，所以，。

[l=r,〔/=3,

19

所以S=/=].

■课堂小结

1.知识清单：

(1)弧度制的概念.

(2)弧度与角度的相互转化.

(3)扇形的弧长与面积的计算.

2.方法归纳：消元法解方程组.

3.常见误区：弧度与角度混用.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.-120。化为弧度为()

,5c兀〃2r3

A.—B.-2C.—D.一下

答案c

TT

解析由于1°=由ed，

所以一120。=—120X^=一铝，故选C.

1OU3

2.若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，贝1()

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

答案B

解析'.'l=\a\R,/.|a|=^.

当R,/均变为原来的2倍时，⑸不变.

而S=£|a|R2中，不变，变为原来的4倍.

3.用弧度制表示终边与150。角相同的角的集合为()

A"jB=—^+2kn,kez]

B”[=4+k360。,kQZj

C.\/3夕=华+2E，\

D./夕=d+2析，k^Z|

答案D

解析150。=150乂焉="，故终边与角150。相同的角的集合为旧片得+2E,kGZ1.故

选D.

4.圆的半径为广，该圆上长为右的弧所对的圆心角是（）

2323

AqradB.]radC.g兀D.]兀

答案B

3

、I2r3

解析由弧度数公式。=；,得。=：=],

因此圆弧所对的圆心角是方rad.

5.集合卜左兀+畀餐E+多1中角所表示的范围（阴影部分）是（）

答案C

解析左为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分（包含边界），左为奇数时

集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分（包含边界）.故选C.

6^rad=度，rad=—480°.

答案15-y

解析台=喑=15。，―480。=—480义念=一等.

1Z1Z1oUJ

7.把角一690。化为2E+a（0Wa<2兀，kGZ）的形式为.

答案-47c+f

解析方法一一690。=—（690Xe）=一磊r.

237E7T

因为一%~兀=—4兀+不所以一690。=—4兀+%.

方法二一690°=一2X360°+30°,

-TT

则一690。=-4兀+4.

8.在扇形中，已知半径为8,弧长为12,则圆心角是弧度，扇形面积是

答案148

解析@=:=¥=|,

S-2l-r=1X12X8=48.

9.将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角.

(1)-1725°；(2)-60°+360°-M^eZ).

5IT

角翠(1)一1725°=75°—5X360°=—5X2兀+五

=—*,是第一象限角.

TT

次=一=兀戈

(2)—60°+360°loUX60+2

IT

——g+2防t(kez),是第四象限角.

10.已知半径为10的圆。中，弦的长为10.

(1)求弦所对的圆心角a的大小；

(2)求a所在的扇形的弧长/及弧所在的弓形的面积S.

解(1)由。。的半径r=10=AB,

知△AOB是等边三角形，

71

a=ZAOB=60°=].

IT

(2)由(1)可知。=Q,r=10,

・••弧长/=a-r=^X10=

.c1,1、/0兀、八八5071

・・S扇形=/=]><io=^-,

而SAAOB=^AB.专AB=3X10X54=254,

X综合运用

11.下列表示中不正确的是()

A.终边在x轴上角的集合是{a|a=M,kGZ}

B.终边在y轴上角的集合是，a=E+fat,左GZ

C.终边在坐标轴上角的集合是jaOt=y,|

D.终边在直线尸x上角的集合是,a=l+2kn,k^ZJ

答案D

解析对于A,终边在x轴上角的集合是｛a|a=E,k*Z],故A正确；

对于B,终边在y轴上的角的集合是1aa=^+kn,kUj,故B正确；

对于C,终边在x轴上的角的集合为｛a|a=E,k”,终边在y轴上的角的集合为

a=^+kn,k《Zj,其并集为]atx=y,k^Zj,故C正确；

对于D,终边在直线y=x上的角的集合是1a=^+kn,kQZj,故D不正确.

12.圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）

A.1B,^

7L_457r7T_457r

%或不D.薄不

答案C

解析设该弦所对的圆周角为a,

则其圆心角为2a或2K—2a,

由于弦长等