立体几何知识点梳理

立体几何知识点梳理一、空间几何体1。多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.3。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。正四面体的高（）正四面体的体积为（）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）外接球的半径为（是正方体的外接球，则半径）内切球的半径为（是正四面体中心到四个面的距离，则半径）正四面体：4。棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5。旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6。圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)球的截面性质:球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：球面距离：例题1：把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，A、B两点间的球面距离为_____________例题2：三棱锥O-ABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则内切球表面积为______,外接球体积为_____________.例题3：已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC距离为（）A. B. C. D.例题4：已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A. B. C.4πD.内切球和外接球：例题1：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．例题2：正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9例题3：（2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为 （）A．B．C．D．例题4：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________.8。简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）、三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正，宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（2）、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）；俯视图（从上向下正投影）．正视图侧视图俯视图111正视图侧视图俯视图1112（3题图）一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，则其体积为．（3）、空间几何体的直观图——斜二测画法特点：①斜二测坐标系的轴与轴正方向成角；②原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度不变；=3\*GB3③原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半．常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为：1．9、特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）：S=10、柱体、锥体、台体和球的体积公式：V=例题1:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S例题2：右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱垂直于底面，它的三视图正确的是（）二、典型例题：例1.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（0≤≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A. B. C. D.例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为()A．B．C．D．例4。一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_____.三、基础训练：1．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为()2．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． C． D．23.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）（A）(B)(C)(D)4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①② B．①③ C．①④ D．②④5．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6.设是球心的半径的中点，分别过作垂直于的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是.四、巩固练习：1。如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A. B. C. D.2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（）（A）（B）（C）（D）3、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．4.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是()A.EQ\f(3,4)B.EQ\f(4,5)C.EQ\f(3,5)D.－EQ\f(3,5)5．设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）6.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.7．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为二空间直线和平面立体几何点线面的位置关系1,、线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。（2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（4）垂直于同一平面的两直线平行。2.、线线垂直的判断： 若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3、线面平行的判断：（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。D练习1：如图,在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形,DO是AC的中点，D是AB的中点．(Ⅰ)求证：ＯＤ//平面ＳＢＣ；(Ⅱ)求证:SO⊥AB._H_M_N_F_E_D_C_B_A练习2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M_H_M_N_F_E_D_C_B_A4、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。5、面面平行的判断：（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。6、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。练习1、已知正方体，是底对角线的交点.求证：（１）C1O∥面；（2）面．2、已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：EF⊥CD；

3．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC平面BDE线线、线面和面面的成角问题1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O作直线∥,∥,我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。常见角的取值范围：①异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角的取值范围依次②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．例题1：如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（=1\*ROMANI）求证：平面平面； （=2\*ROMANII）求异面直线与所成角的大小．例题2：四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.ABCD例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；ABCD（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．二、典型例题：例1．如图，在正四棱柱中，E、F分别是的中点，则以下结论中不成立的是()A．B.C.D.例2.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.例3.）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.三、基础训练：1．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A． B． C． D．2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四位置关系中，不一定成立的是（）A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥βαβABA′B′3.已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为αβABA′B′(A)(B)c(C)(D)4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为EQ\f(π,4)和EQ\f(π,6)，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝（）（A）2∶1（B）3∶1（C）3∶2（D）4∶35．已知平面α和平面β交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为。6．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件时，有；（ii）当满足条件时，有.（填所选条件的序号）7．三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.PCAB(1)求证AB⊥BC；(2)如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PACPCAB8．如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。（I）证明：⊥BD；（II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。四、巩固练习：1．设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直B．过直线有且只有一个平面与平面垂直C．与直线垂直的直线不可能与平面平行D．与直线平行的平面不可能与平面垂直2.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是()A．若与所成的角相等，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则3．给出下列四个命题:=1\*GB3①垂直于同一直线的两条直线互相平行.=2\*GB3②垂直于同一平面的两个平面互相平行.=3\*GB3③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.=4\*GB3④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)44．设为平面，为直线，则的一个充分条件是()(A) (B)(C) (D)5．设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为：（）A.B.C.D.6．在四面体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，且E,F分别是AB,BD的中点，求证：（Ⅰ）直线EF∥面ACD；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD．ABCMPD7.如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．ABCMPD（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积．三、空间向量与立体几何基础知识归纳：1.向量的数量积：已知非零向量，则叫做的数量积。2.两向量夹角的求法：，立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决。3.⊥4.已知