第05讲 统计与概率14种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第05讲统计与概率14种常见考法归类

《学习目标彳

1.了解简单随机抽样的含义，掌握两种简单的抽样方法：抽签法和随机数法；了解分层随

机抽样，掌握各层样本量比例分配的方法.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设

计恰当的抽样方法解决问题.

2.理解统计图表的含义，能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化

描述，体会合理使用统计图表的重要性.

3.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋

势参数的统计含义.

4.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度

参数的统计含义.

5.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.

6.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.

7.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、

交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.

8.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.

9.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.

10.结合实例，会用频率估计概率.

11.在具体情境中，结合古典概型，了解两个事件相互独立的概念，能计算两个相互独立

事件的概率.

■基础知3

，IlllltUlilllUIIIIUIIIIIIIIIIIIIIIIIIII----------------------

1.随机抽样

（1）简单随机抽样

①定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取〃（1，VN）

个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，

我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未

进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样；

②常用方法：抽签法和随机数法.

（2）分层随机抽样

①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于

一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一

起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，

如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配；

②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机

抽样.

2.常用统计图表

（1）频率分布直方图

①纵轴表示黑，即小长方形的高=鬃；

组距组距

②小长方形的面积=组距X雷=频率；

组距

③各小长方形的面积的总和等于1.

（2）频率分布表的画法

第一步：求极差，决定组数和组距，组距=黑；

组距

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.

（3）条形图、折线图及扇形图

①条形图：建立直角坐标系，用横轴（横轴上的数字）表示样本数据类型，用纵轴上的单

位长度表示一定的数量，根据每个样本（或某个范围内的样本）的数量多少画出长短不同的等

宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条

形图；

②折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定

的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线,

用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图;

③扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小

反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形

图.

3.总体百分位数的估计

（1）百分位数

\定义意义

FI

一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中反映该组数中小

分

至少有0％的数据小于或等于这个值，且至少有（100-P）%的于或等于该百分位数

位

数据大于或等于这个值的分布特点

数

（2）求一组〃个数据的第p百分位数的步骤

第1步：按从小到大排列原始数据；

第2步：计算i=〃Xp%；

第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为则第p百分位数为第/项数据；若，・是

整数，则第p百分位数为第i项与第（z+1）项数据的平均数.

4.总体集中趋势的估计

（1）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个

数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

（2）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

（3）平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，〃个数据XI,及，…，4

-1

的平均数X=-（X]+々+…+X”）.

n

提醒（1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体现

了样本数据的最大集中点，一组数据可能有〃个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、众

数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感.

5.总体离散程度的估计

（1）假设一组数据X2,X3,…，斯的平均数为口，则：

①标准差

S=（L[（11-元）2+（4一君2+…+（口」㈤2];

②方差

52=—[（X|—□）2+（X2—口）？+…+（%„—J）2].

（2）分层随机抽样的均值与方差

分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为方，样本方差为积

以分两层抽样的情况为例.假设第一层有机个数据分别为XI，X2,…，尤,”，平均数为百，

方差为口彳；第二层有"个数据，分别为y1，＞2,…，为，平均数为口，方差为田.则□='gX"

UD=1

im__]□iO_

□?=-Z（--□）2,吁纣,-—百）2.

①则声捻"捻百；

②[□什（百一百）2]+"[彤+（一一百）2]}.

6.随机事件

（1）事件的相关概念

,、」必然事件世鱼隹（一定发生]

乎一4不可能事件居罕!一定不发生）

k随机事件内轴可能发生也可能不发生）

（2）概率和频率

①在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件A是否出现，称〃次试验中事件A出现的次数〃A为

事件A出现的频数，称事件A出现的比例f„（A）=皆为事件A出现的频率；

②对于给定的随机事件A，由于事件4发生的频率（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A）,因

此可以用频率力，（A）来估计概率P（A）.

7.事件的关系和运算

（1）两个事件的关系和运算

事件的关系和运算含义符号表示

包含关系A发生导致8发生AQB

相等关系B2A且A2BA=B

并事件(和事件)A与B至少有一个发生AUB或A+B

交事件(积事件)A与B同时发生ACIB或AB

互斥事件A与B不能同时发生AC\B=00

互为对立事件A与B有且仅有一个发生

AU8=0

(2)概率的几个基本性质

①概率的取值范围：0<P(A)<1；

②必然事件的概率P(。)=1;

③不可能事件的概率P(0)=0.

(3)互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(AU8)=P(A)+P(B)；

(4)对立事件的概率：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1—P(A)或P(A)=1

-P(B).

8.古典概型

(1)古典概型的特征

|有限性一I样本比面的样本点只有有限不

,I,

等一能性一|每个样本点发生的可能性相等

(2)古典概型的概率公式

p⑷_事件4包含的样本点的个数

<)-有限样本空间中样本点的总数.

9.相互独立事件

(1)事件相互独立：在一个随机试验中两个事件48是否发生互不影响，则称事件A与事件B相互

独立，当对于"个事件Ai,4,…，A,”如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,

则称〃个事件4,A2，…，A”相互独立：

(2)独立事件的概率公式

①若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)；

②若事件A”A2,--A"相互独立,则尸(A|A2-A„)=P(AI)P(A2)…P(A“).

提醒P(AB)=P(A)P(B)只有在事件A,B相互独立时，公式才成立，

।曲解题策谒

---------------------IlllllllUIIIUIIIUIIIIUIIIiliillllllll，

1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)

是不放回抽取；(4)是等可能抽取.

2,简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体

数较多的情况).

3.分层随机抽样问题的类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，

列比例式进行计算；

样本量

(3)分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中，抽样比=」［冬*=

总样本量

各层样本数量

各层个体数量.

(4)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为相，平均值为x,第二层的样本量为〃，

平均值为y,则样本的平均值为如上迎.

m+n

4.频率分布直方图的相关结论

(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；

(2)频率分布直方图中纵轴表示空至，故每组样本的频率为组距X彗至，即矩形的面

组距组距

积；

(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率X总数.

5.频率分布直方图中的常见结论

(1)众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；

(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；

(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.

6.平均数、方差的公式推广

若数据xi，X2,•••,X”的平均数为T,方差为S2,那么wtri+a,mxi+a,mx?,+a,•••,的平均

数是，〃甘+。，方差为/"2s2.

7.总体百分位数的估计需要注意的三个问题

(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；

(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值

而非精确值.

(3)确定要求的p%分位数所在分组[A,B),由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A

的频率为“，小于B的频率为所以p%分位数=A+组距X*—.

i--U

8.求众数、中位数、平均数的方法

(1)众数：由定义知，一组数据中出现次数最多的数，即为众数，若有两个或几个数据出现的次数最

多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则

认为这组数据没有众数；

(2)中位数：若一组数据为奇数个，按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间位置的数据

就是这组数据的中位数；若一组数据为偶数个，按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间位置

的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；

(3)平均数：利用百=工2为求解.

=1

9.标准差、方差的应用

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的情况.标准差、方差越大，数据的离

散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.

(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

10.计算分层随机抽样的方差的步骤

(1)确定百□,片，口为

(2)确定百;

(3)应用公式s2=：-|；口什(百一百)2]+—[D^+(H-5)2],计算52.

11.事件关系判断的策略

(1)判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事

件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同

时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发

生，即有且仅有一个发生；

(2)判断事件的交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现

的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.

12.用频率估计概率

(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率

来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.

(2)利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试脸，事件发生的频率会逐步趋近于某一

个常数，这个常数就是才既率.

13.古典概型的概率求解步骤

(1)求出所有样本点的个数”；

(2)求出事件A包含的所有样本点的个数小；

(3)代入公式尸(A)=一求解.

14.求样本空间中样本点个数的方法

(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题；

(2)树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点

个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复；

15.互斥事件概率的两种求法

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；

(2)若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，

可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概

率.

16.求相互独立事件同时发生的概率的策略

(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；

(2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条

件的事件的概率.

Q考点剖析^

_IHlIlUllillUlllliillllltllUllilllllll-，

考点一：简单随机抽样

【多选】(2022秋•高一单元测试)对于简单随机抽样，下列说法正确的是()

A.它要求被抽取样本的总体的个体数有限

B.它是从总体中逐个进行抽取的，在实践中操作起来也比较方便

C.它是一种有放回的抽样

D.它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公

平性

【答案】ABD

【分析】由简单随机抽样的特点逐项分析判断.

【详解】对于A：简单随机抽样要求样本的总体个数有项，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以A

正确；

对于B：由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实

践中进行操作，所以B正确；

对于C：在抽样过程中，为了保证抽取的公平性，样本数据是一种不放回的抽样，所以C错误；

对于D：在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，

所以D正确.

故选：ABD.

变式1.（2023春•江西景德镇•高一统考期中）利用简单随机抽样的方法，从〃个个体（〃>14）中抽取14个

个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为"，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能

性为•

【答案】白7

33

【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为:求得〃，可得答案.

【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率1为则1J4-1=1

5n-\5

即“-1=65,则〃=66,.•.在整个抽样过程中，

每个个体被抽取到的概率为914=《7.

6633

7

故答案为：—.

变式2.（2023・全国•高一专题练习）下列抽样中适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

【答案】B

【分析】由抽签法适用于总体和样本容量少即可判断.

【详解】对于选项AD：由于总体的个体数较多，不适合抽签法，故选项AD错误；

对于选项C：由于甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，也不适合抽签法，故选项C错误；

对于选项B：总体容量和样本容量都较小，适合抽签法，故选项B正确.

故选：B.

]'.例2.（2023・高一单元测试）总体由编号为0L02,,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表

选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则

选出来的第5个个体的编号为.

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

【答案】01

【分析】根据规则选出13个编号，再去掉不在编号范围内的编号以及重复的编号可得答案.

【详解】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，得

65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,去掉不在编号范围内的65,72,63,43,69,97,28,再去掉一个重复的02,

得前5个个体的编号为08,02,14,07,01,

故选出来的第5个个体的编号为01.

故答案为：0L

变式1.（2023春•全国•高一专题练习）欲利用随机数表从00,01,02,L,59这些编号中抽取一个容量

为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，

则第4个被抽取的样本的编号为.

63016378591695556719981950717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【答案】50

【分析】根据随机数表法的读取规则，读取第4个被抽取的样本的编号.

【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16,95,55,67,……，不大

于59的有16,55,19,19（重复划掉），50......第4个被抽取的样本的编号为50.

故答案为：50.

变式2.【多选】（2022秋.高一单元测试）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组:

080151772745318223742111578253

772147740243236002104552164237

291486625236936872037662113990

685141422546427567889629778822

已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方

法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99,所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组

数据，则抽到的4位同学的编号可能是（）

A.15,27,18,53B.27,02,25,52

C.14,25,27,22D.15,27,18,74

【答案】ABC

【分析】结合随机数表法对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A中所得编号为第一行中四组数字的后两位数字，故A有可能；

B中所得编号为第二列中四组数字的后两位数字，故B有可能；

C中所得编号为第四行中四组数字的后两位数字，故C有可能；

D中编号74大于甲班60位同学的最大编号60,不满足题意.

故选:ABC.

考点二：分层随机抽样

（2023・高一单元测试）简单随机抽样，分层抽样之间的共同点是（)

A.都是从总体中逐个抽取

B.将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取

C.抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的

D.将总体分成几层，然后分层按照比例抽取

【答案】C

【分析】根据两种抽样方法的特点可知：抽样过程中每个个体被抽到的机会相同，即可找到答案.

【详解】选项A,只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取，故A错误.

选项B,只有分层抽样是将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取，故B错误.

选项C,简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同，故C正确.

选项D,只有分层抽样是将总体分成几层，分层进行抽取，故D错误.

故选：C

变式1.【多选】（2023春・湖南长沙•高一雅礼中学校考阶段练习）某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车,

产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随

机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（）

A.在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取

B.抽样比为羡

C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆

D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

【答案】BCD

【分析】根据三种随机抽样方法的特点可判断ABD；然后根据分层抽样计算可判断C.

【详解】因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A错误；

在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比为"=£，故B正确：

在按比例分配的分层随机抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；

在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D正确.

故选：BCD

变式2.【多选】（2023秋•江西南昌•高一统考期末）某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型

的商店的数量之比为1:5:9,现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选

项正确的有（）

A.1500家商店是总体

B.样本容量为60

C.大、中、小型商店分别抽取4、20、36家

D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本

【答案】BCD

【分析】A.利用总体的定义判断：B.利用样本容量的定义判断；C,根据三种类型的商店的数量之比为1:5:9

求解判断；D.由样本的定义判断.

【详解】A.1500家商店的每日零售额是总体，故错误；

B.从中随机抽取60家商店，则样本容量为60,故正确；

C.因为三种类型的商店的数量之比为1:5:9,所以大、中、小型商店分别抽取4、20、36家，故正确；

D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本，故正确，

故选：BCD

变式3.（2023春♦陕西西安•高一西安市黄河中学校联考阶段练习）光明社区老年合唱队中，6070岁的有

30人，71~75岁的有15人，76岁及以上的有10人.若用分层抽样的方法抽取,位老人参加某项活动，已知

从71〜75岁的老人中抽取了3人，则”的值为.

【答案】11

【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解.

【详解】根据分层抽样的概念及计算，可得1=—，解得“=11.

故答案为：11.

变式4.（2023春•北京顺义•高一牛栏山一中校考阶段练习）当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收

入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户.若第一批

经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方

法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为.

【答案】30

【分析】先求得每个个体被抽到的概率为进而取得从乙社区中抽取低收入家庭的户数，得到答案.

【详解】根据抽样的定义，可得每个个体被抽到的概率为尸二90:，一=：1

360+270+1809

所以从乙社区中抽取低收入家庭的户数为270x1=30户.

故答案为：30.

变式5.（2023春•江西景德镇•高一统考期中）在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行网上上课，某

校高一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从

这6000名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续

偶数，则该校高二年级的人数为（）

A.1000B.1500C.2000D.1000

【答案】C

【分析】根据分层抽样的性质，结合样本容量进行求解即可.

【详解】因为从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，

所以设高三抽取的人数为2a,则高二抽取的人数为2H-2,高一抽取的人数为2a-4,

因为样本容量为60,所以加+2a-2+2a-4=60n2a=22,

设我校高二年级的人数为x,

x22-2

根据分层抽样得：nx=2000,

600060

故选：C

变式6.（2023春.河北邯郸.高一大名县第一中学校考阶段练习）某学校高一、高二、高三三个年级共有学

生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300,现在按击的比

例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为.

【答案】8

【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的

人数，得到关于高一人数的方程，解得高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果.

【详解】若设高一学生人数为x，则高二学生人数为x+300,高三学生人数为所以有x+x+300+2x

=3500,解得x=800.故高一学生人数为800,因此应抽取高一学生人数为800x击=8.

故答案为：8

:、例4.（2022春・广东江门•高一江门市第一中学校考期中）高一某班级有男生35人，女生15人，用

分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg,抽出的女生平均体

重为50kg,估计该班的平均体重是（）

A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg

【答案】C

【详解】根据分层抽样的定义建立比例关系，再求平均数即可.

【解答】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，

男生平均体重为70kg,女生平均体重为50kg,

m壬口70x7+50x3

该班的平均体重是----------=64kg,

故选：C.

变式1.（2023春・江西南昌•高一南昌市外国语学校校考阶段练习）某学校高一年级有300名男生，200名

女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50,男生平均成绩为120分，女生平

均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

【答案】C

【分析】根据分层抽样求出应抽取男生和女生的人数，求出平均数即可.

400

【详解】由题意，应抽取男生5。、丽西5=3。（人），

?00

应抽取女生5°X砺而=2。（人），

所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为3i二；="6（分）.

故选：C

变式2.（2023春•宁夏•高一六盘山高级中学校考阶段练习）某校有男教师160人，女教师140人，为了调

查教师的运动量的平均值（通过微信步数），按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男

教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为（）

A.12500B.10680

C.8600D.10550

【答案】B

【分析】根据分层抽样平均数的计算方法计算该校教师平均微信步数

【详解】因为分层随机抽样是按比例分配，所以根据公式得该校教师平均微信步数为

—则一X125OO+—"一x8600=10680.

160+140160+140

故选：B

考点三：扇形（饼状）图

［、-例5.【多选】（2023春•陕西西安•高一西安市黄河中学校联考阶段练习）对某地区2023年的学生

人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年级学生人数最多，八年级学生人数最

少，七年级学生人数约为1.2万，则（）

大学生_____

小学生\23%

48%\

A.该地区2023年的学生人数约为15万

B.该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多

C.该地区2023年小学生的人数比初中生、高中生和大学生的人数之和还多

D.该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为34.7%

【答案】AB

【分析】根据扇形统计图表中的数据，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】根据扇形统计图表，可得该地区2023年的学生人数约为照=15万，所以A正确;

该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多，所以B正确；

该地区2023年小学生的人数少于初中生、高中生和大学生的人数之和，所以C不正确；

该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为39.1%,所以D不正确.

故选：AB.

变式1.（2022春.贵州黔东南.高一统考期末）独角兽企业被视为新经济发展的一个重要风向标，2021年中

国独角兽企业行业分布广泛，覆布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中“北上广’'三地的独

角兽企业数量的总占比为70%.则下列说法正确的是（）

A.房产居家和消费行业的独角兽企业数量的总占比不足10%

B.人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量的总占比超过50%

C.“北上广”三地的独角兽企业共有170家

D.电子商务行业的独角兽企业数量最多

【答案】D

（分析］根据给出的图中信息依次分析选项即可.

【详解】将图中各行业数量加和，可知2021年我国独角兽企业共有170家，且“北上广”三地的独角兽企业

数量的总占比为70%,则170x0.7=119家，故C错误；

对于A选项，由图表可知房产居家和消费行业共4+13=17家，占比林X100%=10%，故A错误；

对于B选项，人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量为22+25+13=60家，占比

100%=35.3%,故B错误；

观察图表可知电子商务行业的独角兽企业数量最多，故D正确.

故选:D.

变式2.（2022春•云南昆明•高一统考期末）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔

（FlorenceNightingale1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某

机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图,

B.2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多

C.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

D.2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

【答案】D

【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.

【详解】对于A,由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确；

对于BD,知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.96-0.48=0.48；

2017年，1.88-0.96=0.92；2018年，2.95-1.88=1.07；2019年，3.56-2.95=0.61；

2020年，4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；2022年，5.27-4.77=0.5,

可知知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，故B正确，D错误；

对于C,由5.27>0.48x10,即2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故C正

确；

故选：D

变式3.（2022.高一单元测试）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选

择性考试（选择考）.其中“选择考''成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分

数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、。、E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年

参加"选择考''总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年

选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的

是（）

2016年该校“选择考”等级统计2018年该校“选择考”等级统计

■4等级28%

■8等级32%

■C等级30%

。等级8%

■E等级2%

A.获得A等级的人数减少了

B.获得8等级的人数增加了1.5倍

C.获得。等级的人数减少了一半

D.获得E等级的人数相同

【答案】B

【分析】直接把2016、2018两年参加选择考的人数设出来，再由所给图象把获得每个等级的人数列出来,

即可得到答案.

【详解】设2016年参加考试x人，则2018年参加考试2x人,

根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：

年份ABCDE

20160.28x0.32x0.3x0.08x0.02x

20180.48x0.8x0.56x0.12x0.04x

由图可知A、C、D选项错，B选项对.

故选:B.

考点四：条形图与折线图

6.（2022春・吉林长春•高一长春外国语学校校考期末）某学校为了解高三年级学生在线学习情况,

统计了2021年2月18日-27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形

图与折线图的组合图.

140070%

1200—-60%

1000—-50%

800—7\-40%

600—-30%

400—20%

200—10%

n—0

18日19日20日21日22日23日24日25日26日27日

在线人数一在线人数增长比例

根据组合图判断，下列结论正确的是（）

A.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差

B.前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差

C.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大

D.这10天学生在线学习人数在逐日增加

【答案】D

【分析】对于A,由条形图可得前5天学习人数的方差小，由此得以判断：对于B,大约估算前5天与后5

天在线学习人数增长比例的极差，从而得以判断；对于C,观察到23日到24日在线学习人数的的增长比例

在下降，由此得以判断；对于D,易得学习人数在逐日增加，从而得以判断.

【详解】对于A,由条形图可得，前5天在线学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A

错误；

对于B,由折线图可得，前5天在线学习人数的增长比例的极差大约为15%-5%=10%,后5天在线学习

人数的增长比例的极差大约为50%-7%=43%,

所以前5天在线学习人数的增长比例的极差小于后5天在线学习人数的增长比例的极差，故B错误.

对于C,由折线图可以看到，23日到24日的在线学习人数增长比例在下降，故C错误；

对于D,由条形图可得，这10天学生在线学习人数在逐日增加，故D正确.

故选：D.

变式1.（2023春•江西吉安・高一江西省泰和中学校考期末）某家庭2020年收入的各种用途占比统计如图1

所示，2021年收入的各种用途占比统计如图2所示.已知2021年的“旅行”费用比2020年增加了500元，

则该家庭2021年的“衣食住”费用比2020年增加了（）

八百分比

40%

一

35%

%丁

30-

25%

20%K-

15%l-

1%l-

0l-一

5%一

O

O%

45%

40%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

A.2000兀B.2500兀C.3000兀D.3500兀

【答案】C

【分析】设该家庭2020年的收入为x元，2021年的收入为y元，根据题意可得10000,然后结统计

图可求得答案.

【详解】设该家庭2020年的收入为x元，2021年的收入为y元.

由题意得，5%y-5%x=5OO,即y-x=l0000,

所以2021年的“衣食住”费用比2020年增加了30%y-30%x=3000（元）.

故选：C

变式2.（2022秋•北京丰台.高一统考期末）网上一家电子产品店，今年1-4月的电子产品销售总额如图1,

其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2.

销售总额/万元百分比

A.从1月到4月，电子产品销售总额为290万元

B.该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降

C.今年1-4月中，该款平板电脑售额最低的是3月

D.该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了

【答案】B

【分析】结合图1、图2即可计算出该款平板电脑1-4月份的销售额，即可出答案.

【详解】由图1可知从I月到4月，电子产品销售总额为85+80+60+65=290万元，A正确；

该款平板电脑3月份的销售额为60xl8%=10.8万元，

4月份的销售额为65xl7%=11.05万元，

则该款平板电脑4月份的销售额比3月份多了11.05-10.8=0.25万元B错误；

该款平板电脑1月份的销售额为85x23%=19.55万元，

2月份的销售额为80x15%=12万元，

所以今年1-4月中，该款平板电脑售额最低的是3月10.8万元，C正确；

由图2可知该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，D

正确.

故选：B.

变式3.（2022春.广西河池.高一统考期末）某保险公司推出了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；

丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险.现对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统

计图：

参保人数比例

参保险种比例

用样本估计总体，以下四个选项错误的是（）

A.30~41周岁参保人数最多

B.随着年龄的增长，人均参保费用越来越多

C.54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8%

D.定期寿险最受参保人青睐

【答案】C

【分析】根据所给的统计表与统计图逐个选项分析即可

【详解】由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故选项A正确;

由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B正确；

由扇形图可知，54周岁以下的参保人数约占总参保人数的92%,故选项C错误;

由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确.

故选：C

考点五：频率分布直方图